3.2空間向量在立體幾何中的應用

1、第1頁共15頁3.2空間向量在立體幾何中的應用空間向量在立體幾何中的應用3.2.1直線的方向向量與直線的向量方程直線的方向向量與直線的向量方程學習目標學習目標1.掌握直線的方向向量、直線的向量方程有關概念，并會用數(shù)學語言表述2.能正確運用向量方法證明線與線、線與面、面與面的平行和垂直關系3.能根據(jù)具體問題合理選定基底教學過程教學過程1.用向量表示直線或點在直線上的位置在平面向量的學習中，我們得知①M、A、B三點共線②A、B是直線l上任意

2、兩點。O是l外一點.動點P在l的充要條件是，稱作直線l的向量參數(shù)方程式，).(1RtOBtOAtOP????）（實數(shù)t叫參數(shù)。給定一個定點A和一個向量a，如圖所示，再任給一個實數(shù)t以A為起點作向量①.taAP?這時點P的位置被完全確定，容易看到，當t在實數(shù)集R中取遍所有值時，點P的軌跡是一條通過點A且平行于向量a的一條直線l.反之，在直線l上任取一點P，一定存在一個實數(shù)t，使.taAP?向量方程①通常稱作直線l的參數(shù)方程。向量a稱為該直

3、線的方向向量。注:⑴向量方程兩要素:定點A方向向量a⑵t為參數(shù)且t是實數(shù)反向和同向和aAPtaAPt????00直線的向量方程①還可作如下的表示:對空間任一個確定的點O(如圖所示)點P在直線l上的充要條件是存在惟一的實數(shù)t滿足等式②.taOAOP??如果在l上取則②式可化為aAB?)(OAOBtOAABtOAOP?????即③OBtOAtOP???)1(①或②或③都叫做空間直線的向量參數(shù)方程注:⑴當t=時.此時P是線段AB的中點這就是線

4、段AB中點21OBOAOP2121??.aOMBPlta第3頁共15頁3.用向量方法證明兩直線垂直或兩直線成角的問題設兩條直線所成的角為θ(銳角)，則直線方向向量間的夾角與θ相等或互補線線垂直、線線成角與向量的關系：設直線和的方向向量分別為和，則l1l2ν1ν2.|cos|cos212121??????vvvvll?（1）用向量法證兩直線垂直的步驟：A.不以共面的三向量為基底，B.用基底表示欲證的兩直線的方向向量，C.驗證這兩個方向向量

5、的數(shù)量積為零。注：空間四邊形中，有兩組對邊垂直，則第三組對邊也垂直。.)3(cos)2()1(.29014.11111111111MCBACBBABNAABANMAABCACBCAABCCBAABC????????????求證的值；求的長；求的中點、是分別、棱中底面直三棱柱如圖例.1xyzOzyxCCCBCAC?如圖空間直角坐標系軸建立、、所在直線為、、為原點，解：以)210()000()010()201()2(11BCBA依題意有3)

6、210()211(1111??????CBBACBBA..5611??CBBA.30101cos111111????????CBBACBBACBBA)22121()200()3(1MC依題意得)02121()211(11?????MCBA，00212111???????MCBA.11MCBA??小結(jié)：小結(jié)：1.直線的向量方程；2.用向量方法證明直線與直線平行；3.用向量方法證明直線與平面平行；4.用向量方法證明平面與平面平行；5.用向量