第4章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

1、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的對(duì)比(一),質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律的對(duì)比(二),第四章 部分習(xí)題分析與解答,4 －10　如圖(a)所示，圓盤(pán)的質(zhì)量為m，半徑為R．求：(1) 以O(shè)為中心，將半徑為R／2 的部分挖去，剩余部分對(duì)OO 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(2) 剩余部分對(duì)O′O′軸(即通過(guò)圓盤(pán)邊緣且平行于盤(pán)中心軸)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．,（1）解1　轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義，剩余部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,,解2　整個(gè)圓盤(pán)對(duì)OO 軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,挖去的小圓盤(pán)對(duì)OO

2、 軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,剩余部分對(duì)OO 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,(2) 由平行軸定理，剩余部分對(duì)O′O′軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,,4-13 　如圖所示，質(zhì)量m1=16 kg的實(shí)心圓柱體A，其半徑為r =15cm，可以繞其固定水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，阻力忽略不計(jì)．一條輕的柔繩繞在圓柱體上，其另一端系一個(gè)質(zhì)量為m2=8.0kg的物體B，求：（1）物體B由靜止開(kāi)始下降1.0s后的距離；（2）繩的張力．,解　(1) 對(duì)實(shí)心圓柱體而言，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得,對(duì)懸掛物體而言，依據(jù)牛頓定律，有,

3、（1）,（2）,,且FＴ ＝FＴ′ .又由角量與線量之間的關(guān)系，得,解上述方程組，可得物體下落的加速度,在t ＝1.0 s 時(shí)，B 下落的距離為,,,(2) 由式(2)可得繩中的張力為,（3）,分析：對(duì)平動(dòng)的物體和轉(zhuǎn)動(dòng)的組合輪分別列出動(dòng)力學(xué)方程，結(jié)合角加速度和線加速度之間的關(guān)系即可解得。,解 取分別對(duì)兩物體及組合輪作受力分析如下圖,4-14 質(zhì)量為m1和m2的兩物體A、B分別懸掛在如圖所示的組合輪兩端。設(shè)兩輪的半徑分別為R和r，兩輪的

4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2，輪與軸承間、繩索與輪間的摩擦力均略去不計(jì)，繩的質(zhì)量也略去不計(jì)。試求兩物體的加速度和強(qiáng)繩的張力。,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的牛頓定律和剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有,由角加速度和線加速度之間的關(guān)系，有,解上述方程組，可得,分析：圓盤(pán)各部分的摩擦力的力臂不同，為此，可將圓盤(pán)分割成許多同心圓環(huán)，對(duì)環(huán)的摩擦力矩積分即可得總力矩。另由于摩擦力矩是恒力矩，由角動(dòng)量定理可求得圓盤(pán)停止前所經(jīng)歷的時(shí)間。,解 （1）圓盤(pán)上半徑為r、寬度為dr的同心圓環(huán)所受的

5、摩擦力矩為,4-17 一半徑為R，質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓盤(pán)，以角速度ω繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)將它平放在一水平板上，盤(pán)與板表面的摩擦因數(shù)為μ。（1）求圓盤(pán)所受的摩擦力矩。（2）問(wèn)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)才能停止？,由于摩擦力矩是一恒力矩，圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=mR2/2，由角動(dòng)量定理可得圓盤(pán)停止的時(shí)間為,對(duì)上式沿徑向積分得圓盤(pán)所受的總摩擦力矩大小,分析：由于空氣的阻力矩與角速度成正比，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律可知轉(zhuǎn)動(dòng)是變角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)，須從角加速度和角速度的定義出發(fā)

6、，通過(guò)積分的方法求解。,4-18 如圖示，一通風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)部分以初角速度 ω0繞其軸轉(zhuǎn)動(dòng)，空氣的阻力矩與角速度成正比，比例系數(shù)C為一常量。若轉(zhuǎn)動(dòng)部分對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，問(wèn)（1）經(jīng)過(guò)多小時(shí)間后其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度減少為初角速度的一半？（2）在此時(shí)間內(nèi)共轉(zhuǎn)過(guò)多少轉(zhuǎn)？,解 （1）通風(fēng)機(jī)葉片所受的阻力矩為M=－Cω,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得,對(duì)上式分離變量，根據(jù)初始條件積分有,由于C和J均為常量，得,當(dāng)角速度由ω0→ω0/2時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)所需的時(shí)間為,在時(shí)間t內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的

7、圈數(shù)為,（2）根據(jù)角速度定義和初始條件積分得（其中 ）,4-20　一質(zhì)量為m’、半徑為R的均勻圓盤(pán)，通過(guò)其中心且與盤(pán)面垂直的水平軸以角速度w 轉(zhuǎn)動(dòng)，若在某時(shí)刻，一質(zhì)量為m的小碎塊從盤(pán)邊緣裂開(kāi)，且恰好沿垂直方向上拋，問(wèn)它可能達(dá)到的高度是多少？破裂后圓盤(pán)的角動(dòng)量為多大？,解　(1) 碎塊拋出時(shí)的初速度為,由于碎塊豎直上拋運(yùn)動(dòng)，它所能到達(dá)的高度為,,圓盤(pán)在裂開(kāi)的過(guò)程中，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，故有,式中,

8、為圓盤(pán)未碎時(shí)的角動(dòng)量；,為碎塊被視為質(zhì)點(diǎn)時(shí)，碎塊對(duì)軸的角動(dòng)量；,L 為破裂后盤(pán)的角動(dòng)量，則,4-21 在光滑的水平面上有一木桿,其質(zhì)量m1=1.0kg,長(zhǎng)l=40cm,可繞通過(guò)其中點(diǎn)并與之垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng).一質(zhì)量為m2=10g的子彈,以v=2.0×102m·s-1的速度射入桿端,其方向與桿及軸正交.若子彈陷入桿中,試求所得到的角速度.,分析:,子彈與桿相互作用的瞬間,可將子彈視為繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng),這樣,子彈射入桿前的角速度可

9、表示為ω,子彈陷入桿后,它們將一起以角速度ωˊ轉(zhuǎn)動(dòng),若將子彈和桿視為系統(tǒng), 系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒.由角動(dòng)量守恒定律可解得桿的角速度.,解答:,根據(jù)角動(dòng)量守恒定理:,式中 為子彈繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 為子彈在陷入桿前的角動(dòng)量, 為子彈在此刻繞軸的角速度, 為桿繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.可得桿的角速度為:

10、,4-24 一轉(zhuǎn)臺(tái)繞其中心的豎直軸以角速度ω0 =πs-1 轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0 = 4.0×10-3 kg·m2 。今有沙粒以Q = 2t g·s-1的流量豎直落至轉(zhuǎn)臺(tái)，并粘附于臺(tái)面形成一圓環(huán)，若環(huán)的半徑為r = 0.10m，求沙粒下落t = 10 s 時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度。,解：在0 ?t s內(nèi)落至臺(tái)面的沙粒質(zhì)量為：,沙粒下落對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)不產(chǎn)生力矩作用（沖擊力與軸平行）,則任意時(shí)刻系統(tǒng)角動(dòng)量守恒：,t

11、 = 10 s 時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度：,4-32 A與B兩飛輪的軸桿可由摩擦嚙合器使之連接,A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1=10.0kg.m2,開(kāi)始時(shí)B輪靜止,A輪以n1=600r.min-1的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng),然后使A與B連接,因而B(niǎo)輪的到加速而A輪減速,直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于n=200r.min-1為止.求(1)B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;(2)在嚙合過(guò)程中損失的機(jī)械能.,解:,(1)取兩飛輪為系統(tǒng),因軸向力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩；據(jù)系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒,有,則B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,