教學(xué)目標(biāo)掌握線性變換的三種運(yùn)算及

1、一. 線性變換的三種運(yùn)算,記號:,設(shè)σ,τ∈ L(V)，規(guī)定它們的和σ+ τ 為(σ+τ)(α)＝σ(α)+τ(α), α∈V.,1 加法,則σ+τ也是V 的一個線性變換.,證　(σ+ τ)(α +β)＝σ(α +β)+ τ(α +β)＝(σ(α)+σ(β))+(τ(α)+τ(β))＝(σ(α)+τ(α))+(σ(β)+τ(β))＝(σ+τ)(α)+(σ+τ)(β)，,(σ+τ)(k α)=σ(kα)+τ(kα)=kσ(α

2、)+ τ(k α)=k(σ(α)+ τ(α))=k(σ+τ)(α).其中α,β是V中任意向量，k是F 中的任意數(shù).,設(shè)σ∈L(V), k∈F, 定義k與σ的數(shù)乘積kσ為(kσ)(α) = kσ(α), α∈V.,2 數(shù)乘,容易驗(yàn)證，kσ也是V的一個線性變換.,L(V)中的加法與數(shù)乘運(yùn)算滿足線性空間的八條基本規(guī)律：,（2）σ+τ＝τ+σ；,（3）σ+θ＝σ；,（4）對每個σ∈L(V)，定義它的負(fù)變換-σ為 (

3、-σ)(α)＝-σ(α)，α∈V. 容易證明，-σ也是V的線性變換，且有 σ+(-σ)＝θ；,(5) k（σ+τ）=kσ+kτ;,(6) ( k+l ) σ=kσ+lσ;,(7) ( kl ) = k( lσ);,其中,σ,τ, ∈L(V) ,θ是V的零變換，k,l∈F.,(8) 1σ=σ.,這說明L(V)對上面定義的加法和數(shù)乘法構(gòu)成數(shù)域 F 上的一個線性空間.,還可規(guī)定 L(V) 中的減

4、法：σ- τ＝σ+（-τ）．,線性空間的線性變換作為映射的特殊情形可以定義乘法（映射的合成）.,則στ也是V的線性變換.,3 乘法,設(shè)σ,τ∈L(V)，定義它們的乘積στ為στ(α)＝σ(τ(α)),α∈V,(στ)(kα)＝σ(τ(kα))＝σ(kτ(α)) ＝kσ(τ(α)) ＝k(στ)(α),證　對任意的α、β∈V，k∈F,(στ)(α+β)＝σ(τ(α+β))＝σ(τ(α)+τ(β))＝σ(τ(α))+σ(τ(

5、β))＝(στ)(α)+(στ)(β);,2）對于k∈F，有k（στ）＝（kσ）τ＝σ（kτ）；,4）乘法有單位元ι，使σι＝ισ＝σ；,與矩陣的乘法一樣，線性變換的乘法滿足：,6）乘法有零因子存在，即由στ＝θ，　不能斷定必有σ＝θ或τ＝θ.　因而，消去律不成立.,5）在一般情況下，στ≠τσ；,上面的σ，τ，　是V的線性變換，θ是零變換，ι是V的單位變換，k是F中的數(shù).,二. 線性變換的逆變換,設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，如

6、果σ是V的可逆線性變換，那么它的逆σ-1也是V的線性變換.,證 對任意的α，β∈V 和 k∈F，有,σ -1(α+β)= σ -1((σ σ -1))(α)+(σ σ -1(β))= σ -1(σ(σ -1(α)+ σ -1(β)))= σ -1 σ(σ -1(α)+ σ -1(β))= σ -1(α)+ σ -1(β).,σ-1(kα)= σ-1(k(σσ-1)( α)) = σ-1(σ(kσ

7、-1(α)) = σ-1σ(kσ-1(α)) =kσ-1(α).,三、線性變換的多項(xiàng)式,由三個線性變換的乘法的結(jié)合律成立，可推得n(≥3)個線性變換乘法的結(jié)合律成立.,因此，我們可以合理地定義線性變換的n次冪:,1. 線性變換的冪,其中, N 表示正整數(shù)集,ε為恒等變換.,設(shè) f(x) = a0+a1 x+…+anxn∈F[x],σ∈L(V), 以σ代替x，以a0ε代替a0，得

8、到V的一個線性變換：f(σ)＝a0ε+ a1σ+…+anσn叫做σ的多項(xiàng)式.,2. 線性變換的多項(xiàng)式,如果在F［x］中，u ( x ) = f ( x ) + g ( x ),v ( x ) = f ( x ) g ( x ). 則u (σ) = f (σ)+g (σ), v (σ) = f (σ) g (σ).,例　對于R2中的線性變換σ,τσ( x , y) = ( 0 , x) , τ( x , y ) = ( x ,

9、0 ) (x , y) ∈R2,求στ，τσ，σ-3τ，σ2和τ2.,3. 線性變換多項(xiàng)式的可代入性,τ2(x , y)= τ(τ(x , y))=(x , 0)=(x , 0).,解　對任意的( x , y ) ∈R2. στ(x , y)= σ(τ(x , y))= σ(x, 0)=(0, x);,τσ(x , y)= τ(σ(x , y))= τ(0 , x)=(0 , 0);,(σ-3τ)(x , y)=σ(x , y)

10、+(-3τ) (x , y)=(0 , x)-(3x , 0)=(-3x , x);,σ2(x , y)= σ(σ(x , y))= σ(0 , x)=(0 , 0);,（3）τσ＝σ2，σ≠θ，但τ≠σ，　　故線性變換的乘法不滿足消去率.,（2）τσ＝θ，但σ≠θ，τ≠ θ ，　　即線性變換的乘法有零因子.,（1）στ≠τσ，　　故線性變換的乘法不滿足交換律.,從這個例子中我們可以看出：,最后我們指出，由于在L(V)中引入了三

11、種運(yùn)算，L(V)中一些較復(fù)雜的線性變換可以用較簡單的線性變換表示，正如一些較復(fù)雜的函數(shù)可通過函數(shù)的運(yùn)算用初等函數(shù)表示一樣.,習(xí)題　6.21.設(shè)σ、τ是線性空間F［x］的線性變換，σ(f(x))＝f′(x),τ(f(x))＝x f(x)，f(x) ∈F［x］.　證明：（1）στ≠τσ，（2）στ-τσ＝ε.,精品課件！,精品課件！,2.設(shè)σ,τ為線性空間V的兩個線性變換.證明：如果στ-τσ=ι，則對任意自然數(shù)n都有σnτ-