數(shù)學物理方程十一章 柱函數(shù)1

1、,其中 Γ-函數(shù)定義為,它有遞推關(guān)系：,當 x 為 正整數(shù),另一個解,通解：,(2) m 階貝塞耳方程,階貝塞耳函數(shù),階貝塞耳函數(shù),,只能從 開始。,不再是通解。,與,相互不獨立。,(3) 諾依曼函數(shù),它與,和,都相互獨立。,階貝塞耳方程的通解又可以寫作,m 階貝塞耳方程的通解只能寫作,(4) 第一種和第二種漢克爾函數(shù),階貝塞耳方程的通解又可以寫作,(5),第一類柱函數(shù)：貝塞耳函數(shù),第二類柱函數(shù)：諾依曼函數(shù)

2、,第三類柱函數(shù)：漢克爾函數(shù),圖,3. 和 的行為,需專門計算,都有限！,4. 遞推公式,對,、m,諾依曼函數(shù)、漢克爾函數(shù)滿足同樣關(guān)系。,寫作,5.虛宗量貝塞耳方程,階虛宗量貝塞耳方程,定義：,通解：,m 階虛宗量貝塞耳方程,另一個獨立解需要另外研究。,,圖,,,,,,,11.2,貝塞耳方程,描寫沿 的變化，邊界條件確定在柱面上。,,1. 本征值問題,m 已定，須定,A. 柱

3、面的第一類齊次邊界條件：,對于不同的 n，有,的離散本征值,零點,B. 第二類齊次邊界條件：,僅有貝塞耳函數(shù)具有這種性質(zhì)，兩個零點之間必有極值。,同樣，,為貝塞耳函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的零點序列，則本征值為,m=0 的情況:,即：,C. 第二類齊次邊界條件：,將是上上述方程度解。,2. 正交關(guān)系,貝塞耳方程是施圖姆－劉維爾本征值方程：,故它有正交關(guān)系,3. 模,對三個不同的本征值序列成立。,三個不同的本征值序列，有三個不同的模。,或,同一個方程的三

4、個不同的施圖姆－劉維爾本征值問題。,A. 第一類齊次邊界條件：,由,B. 第二類齊次邊界條件：,C. 第三類齊次邊界條件：,4. 廣義傅立葉級數(shù),指定的m，次序由n給出。,權(quán),幾個有用的公式：,由遞推公式,傅立葉-貝塞耳積分,的情況,例1,利用遞推公式求積分,例2,方程指定了為第一類邊界條件,或者,單位一！,例4,,,,,,,,軸對稱,1.,2.,例5,方程如P.179，習題5 （圓錐改為方錐）,1. 分離變量,2. 貝塞耳方程,