八年級(jí)數(shù)學(xué)（下冊(cè)） 17.1反比例函數(shù) 函數(shù)理解三境界素材 新人教版

1、1函數(shù)理解三境界函數(shù)理解三境界凡是學(xué)數(shù)學(xué)者無(wú)不對(duì)函數(shù)概念印象深刻記憶猶新.皆因函數(shù)乃數(shù)學(xué)之基石它自始至終引領(lǐng)數(shù)學(xué)之潮流.欲知函數(shù)為何物必先知其來(lái)自何方圣地縱觀上下五千年方圓數(shù)萬(wàn)里一切皆在運(yùn)動(dòng)變化之中而現(xiàn)實(shí)世界中的許多運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象都表現(xiàn)出變量之間的依賴關(guān)系.數(shù)學(xué)上我們用函數(shù)模型描述這種依賴關(guān)系并通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)了解他們的變化規(guī)律.可見函數(shù)不過(guò)是我們認(rèn)識(shí)世界改造世界之一種數(shù)學(xué)工具.于是在初中數(shù)學(xué)中就有了傳統(tǒng)意義的函數(shù)定義:在某一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化

2、的過(guò)程中有兩個(gè)變量xy對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)值按照某種對(duì)應(yīng)法則f變量y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)這時(shí)就說(shuō)y是x的函數(shù)記為y=f(x)其中x叫做自變量x的取值范圍就是定義域?qū)?yīng)的y的值叫函數(shù)值函數(shù)值的取值范圍就是值域.顯然這里的函數(shù)定義來(lái)自于初中物理的運(yùn)動(dòng)學(xué)內(nèi)容其實(shí)數(shù)學(xué)就是在科學(xué)尤其是物理學(xué)發(fā)展的過(guò)程中逐漸產(chǎn)生并壯大起來(lái)的為了丈量土地產(chǎn)生了平面幾何在研究天文學(xué)的過(guò)程中產(chǎn)生了三角與圓錐曲線；在研究不規(guī)則圖形的面積問(wèn)題中產(chǎn)生了微積分；而函數(shù)

3、顯然就是研究運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律中出現(xiàn)的，因而它的概念有明顯的物理背景.但在現(xiàn)實(shí)中，函數(shù)本身的概念常常被遺忘，一提到函數(shù)，我們立刻會(huì)聯(lián)想到正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)，我想這大概是先入為主的緣故吧！因?yàn)檎J(rèn)識(shí)事物，往往第一印象是很關(guān)鍵的，可對(duì)函數(shù)概念這樣的理解，就只能算是初級(jí)境界了，畢竟在諸多函數(shù)中，上述幾類具體函數(shù)只不過(guò)是特例而已，更多的函數(shù)并不見得能歸入這些類型，何況，能寫出表達(dá)式的函數(shù)也是很有限的.高中一年級(jí)的學(xué)生，基本是停

4、留在這個(gè)境界的，有些甚至還達(dá)不到這樣的要求，他的印象中只有函數(shù)、正比例、反比例、一次、二次這樣的名稱，要進(jìn)一步問(wèn)他具體內(nèi)容，就只能搖頭說(shuō)不明白了.從高中進(jìn)校開始，我們接觸到了集合的概念，包括集合間的包含關(guān)系，運(yùn)算關(guān)系等，許多同學(xué)不明白為什么要學(xué)習(xí)集合，等到函數(shù)定義出來(lái)時(shí)才知道，原來(lái)現(xiàn)在的函數(shù)定義是建立在兩個(gè)非空數(shù)集上的一種對(duì)應(yīng)，包括一對(duì)一、多對(duì)一兩種情形.由原來(lái)運(yùn)動(dòng)變化基礎(chǔ)上的定義到如今建立在兩個(gè)集合對(duì)應(yīng)之上的定義，這是一種視角的改變，

5、也是一種觀念的更新，這個(gè)所謂“近代定義”中有幾點(diǎn)需要注意：一是必須是兩個(gè)非空的數(shù)集A和B，而不是其他的集合；二是對(duì)A中的任意一個(gè)元素x在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用之下，在B中必有一個(gè)元素f(x)與它對(duì)應(yīng)；三是f:A→B中A、B是有順序的，有主次之分的；四是明白A是所有x的集合，叫做函數(shù)的定義域，所有對(duì)應(yīng)元素f(x)的集合f(x)|x∈A叫做函數(shù)的值域，特別要清楚，一般情況下值域f(x)|x∈A是集合B的子集，言下之意B中可以有元素不是A中元素的對(duì)

6、應(yīng)元素.對(duì)于函數(shù)概念一定要把握其三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域，還要堅(jiān)持一個(gè)原則：定義域優(yōu)先.對(duì)集合觀點(diǎn)下的函數(shù)定義如果能抓住這樣幾點(diǎn)，就說(shuō)對(duì)函數(shù)概念的理解又上升了一個(gè)層次，達(dá)到了更高的境界.然而我們更重要的是應(yīng)該明白：函數(shù)雖然有解析法、列表法和圖象法等常用的方法來(lái)表示，但函數(shù)不光是像正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等這樣既能夠用解析法來(lái)表示，又能夠用列表法和圖象法來(lái)表示的，還有許多的函數(shù)關(guān)系只能用圖象表示，如現(xiàn)在證券公司的大

7、屏幕上顯示的“股價(jià)走勢(shì)圖”，，或者只能用列表的辦法來(lái)表示的，如年份與國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且還有的函數(shù)需要在不同的范圍內(nèi)用不同的解析2式來(lái)表示，就稱為“分段函數(shù)”，如出租車的收費(fèi)與行駛路程的函數(shù)關(guān)系，郵寄包裹時(shí)的費(fèi)用與包裹重量的函數(shù)關(guān)系等.學(xué)習(xí)到這里，不僅需要掌握函數(shù)的基本表示方法，還要明確什么樣的函數(shù)用什么樣的方法表示是適當(dāng)?shù)模獙W(xué)會(huì)在具體問(wèn)題中選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)表示函數(shù)關(guān)系，另外還要掌握常見函數(shù)的三種表示方法之間的相互轉(zhuǎn)

8、化，尤其是提高學(xué)生的讀圖能力，使之能充分利用函數(shù)圖像提供的信息，解決相關(guān)問(wèn)題，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合意識(shí).既然函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，那么了解了函數(shù)的變化規(guī)律，也就基本把握了相應(yīng)事物的變化規(guī)律.因此研究函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)在什么時(shí)候遞增或遞減，有沒有最大值或最小值，函數(shù)圖象圖有什么特征等，是非常重要和必要的.這里就涉及函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)的奇偶性等.要從數(shù)量與圖形兩個(gè)方面對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有所把握，即要學(xué)會(huì)利用定義判斷一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)