求面角的基本方法

1、1求二面角的基本方法求二面角的基本方法——定義法與法向量法一、在所給立體圖形中直接尋找：看是否有二面角的平面角；尋找平面角的主要依據(jù)是根據(jù)二面角的平面角的主要特征——頂點在棱上，角的兩邊分別在兩個半平面內(nèi)且都與棱垂直（或角所在平面垂直于棱）。例1如圖1在三棱錐S—ABC中SA⊥底面ABCAB⊥BCDE垂直平分SC且分別交AC、SC于D、E.又SA＝ABSB＝BC.求以BD為棱以BDE與BDC為面的二面角的度數(shù).解析由于SB＝BC且E是S

2、C的中點因此BE是等腰三角形SBC底邊SC的中線所以SC⊥BE.又已知SC⊥DEBE∩DE＝E∴SC⊥面BDE∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABCBD在底面ABC上∴SA⊥BD.而SC∩SA＝S∴BD⊥面SAC.∵DE＝面SAC∩面BDEDC＝面SAC∩面BDC∴BD⊥DEBD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC∴SA⊥ABSA⊥AC.設(shè)SA＝a又因為AB⊥BC∴∠ACS＝30.又DE⊥SC所以∠EDC＝60即所求

3、的二面角等于60.二根據(jù)定義作出平面角：主要有兩種作法，一是對于具有某種對稱性立體圖形，可以考慮利用定義，在棱上選擇一點作棱的垂面，與兩個半平面的交線所構(gòu)成的角即為平面角；二是在其中一個半平面內(nèi)選擇一點向另一個半平M面引垂線（垂足為），過向棱引垂線（垂足為），由三垂線定理可知HHlN，則即為平面角（或其補角）。lPN?PNH?例2如圖2，正三角形ABC的邊長為3，過其中心G作BC邊的平行線，分別交AB、AC于、將沿折起到的位置，使點1B

4、1C11CAB?11CB111CBA?1A在平面上的射影恰是線段BC的中點M求：二面角CCBB11MCBA??111的大小。1圖3底面上的射影為，設(shè)AA1=A1B1=a，易算得111CBA?.4643221111aSaSCEACBA????于是=SS射影??cos.4224643221111????????aaSSCEACBA三、法向量法求二面角是近些年來高考經(jīng)常考查的內(nèi)容要求考生能盡快分析出空間線面關(guān)系準確作出二面角的平面角未給出二面

5、角棱的，要先作出棱后找平面角再計算這些都需要很強的空間想象能力與靈活轉(zhuǎn)化能力一般考生難以完成而應(yīng)用法向量來解決只需求兩半平面法向量的夾角用公式即可.2121nnnncos???這樣避免了空間線線、線面、面面關(guān)系的抽象分析，從而使考生從復雜抽象的思考中解放出來，提高解題效率.如對上述例3：建系如圖如圖4平面的法向量。????001001CB??1000210SD??????SAB???????0210AD，。????????0211DC?