人教版八年級(jí)數(shù)學(xué) 勾股定理的8種證明方法

1、勾股定理的8種證明方法這個(gè)定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數(shù)學(xué)眾多定理中最多的。路明思（ElishaScottLoomis）的PythageanProposition（《畢達(dá)哥拉斯命題》）一書中總共提到367種證明方式。有人會(huì)嘗試以三角恒等式（例如：正弦和余弦函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)）來(lái)證明勾股定理，但是，因?yàn)樗械幕救呛愕仁蕉际墙ɑ诠垂啥ɡ恚圆荒茏鳛楣垂啥ɡ淼淖C明（參見(jiàn)循環(huán)論證）。證法1作四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角

2、邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c.把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上.過(guò)點(diǎn)C作AC的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)P.∵D、E、F在一條直線上且RtΔGEF≌RtΔEBD∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF∠GEF=90，∴∠BED∠GEF=90，∴∠BEG=180―90=90又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.∴∠ABC∠CBE=90∵RtΔABC≌RtΔEBD∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD∠CBE=9

3、0即∠CBD=90又∵∠BDE=90，∠BCP=90，BC=BD=a.∴BDPC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.同理，HPFG是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則a^2b^2=c^2∠CJB=∠CFD=90，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理，RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE∴∠ABG=∠BCJ∵∠BCJ∠CBJ=90∴∠ABG∠CBJ=90∵∠ABC=90∴GBIJ在同一

4、直線上，a^2b^2=c^2證法4作三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的三角形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD.過(guò)C作CL⊥DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面積等于，ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，∴矩形ADLM的面積=.同理可證，矩形MLEB的面積=.∵正方形ADEB的面積=矩形ADLM的面積矩形MLEB的面積∴即

5、a^2b^2=c^2證法5(歐幾里得的證法)《幾何原本》中的證明在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明后可成立。設(shè)△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊上的正方形。此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。在正式的證明中，我們需要四個(gè)輔助定理如下：如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的