函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性

1、函數(shù)的性質(zhì) --對(duì)稱(chēng)性、周期性,(1)若 關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng),一、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,若函數(shù) 上任意一點(diǎn)關(guān)于某直線（或某點(diǎn)）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在 上，就稱(chēng) 關(guān)于某直線（或某點(diǎn)）對(duì)稱(chēng)，這種對(duì)稱(chēng)性稱(chēng)為自對(duì)稱(chēng)。,(2)若 關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng),兩個(gè)恒等式的形式均不唯一，要記住本質(zhì)構(gòu)造.,定理：若函數(shù) 滿足

2、，那么函數(shù)以 為對(duì)稱(chēng)軸。,cor.若函數(shù) 滿足 ，那么函數(shù)以 為對(duì)稱(chēng)軸。,即：,定理：若函數(shù) 滿足 ，那么函數(shù)關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)。,cor.若函數(shù) 滿足 ，那么函數(shù)關(guān)于點(diǎn)

3、對(duì)稱(chēng) 。,即：,2)若 ,則函數(shù) 關(guān)于______________對(duì)稱(chēng);,注：1.當(dāng) 時(shí),函數(shù)關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng),2.當(dāng) 時(shí),函數(shù)關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng),偶函數(shù)----特殊的軸對(duì)稱(chēng)函數(shù),奇函數(shù)----特殊的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)函數(shù),一般地,1)若 ,則函數(shù) 關(guān)于 對(duì)稱(chēng).,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),f(

4、x)=f-1(x),f(x)=f(2m-x),f(x)=2n-f(2m-x),Ex:若函數(shù),12,關(guān)于x=0對(duì)稱(chēng),例1：已知 的圖象,畫(huà)出 和 的圖象，并指出兩者的關(guān)系。,,,若函數(shù) 上任意一點(diǎn)關(guān)于某直線（或某點(diǎn)）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在 上，就稱(chēng) 和 關(guān)于某直線（或某點(diǎn)）對(duì)稱(chēng)，這種對(duì)稱(chēng)性稱(chēng)為互對(duì)稱(chēng)。,一般地, 函數(shù)

5、 和 關(guān)于_______對(duì)稱(chēng).,記憶：令x+a=-x+b，可求得對(duì)稱(chēng)軸.,y=-f(-x),y=-f(x),y=f(-x),y=f-1(x),y=-f-1(-x),y=f(2m-x),y=2n-f(x),y=2n-f(2m-x),例3：設(shè) 的圖象與 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，求 的解析式。,例2:將函數(shù) 右移2個(gè)單位得到圖像C1，有C1和C2的圖像

6、關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)，求C2的函數(shù)解析式。,利用對(duì)稱(chēng)性求解析式,（一）、互對(duì)稱(chēng)問(wèn)題常用軌跡代入法求解析式,例4：設(shè) 圖象關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng),在 上， 求當(dāng) 時(shí) 的解析式。,例5：設(shè) 是定義在R上的偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，已知 時(shí),函數(shù) 求當(dāng) 時(shí) 的解析式,(二)、自對(duì)

7、稱(chēng)問(wèn)題常聯(lián)系恒等式進(jìn)行x的變換,關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng),關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng),關(guān)于 對(duì)稱(chēng),關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng),常見(jiàn)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,一個(gè)函數(shù)本身的對(duì)稱(chēng)性稱(chēng)為自對(duì)稱(chēng),分成 關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)或某點(diǎn)對(duì)稱(chēng).,原點(diǎn),二、函數(shù)的周期性,理解?（1）.是否所有周期函數(shù)都有最小正周期？,1.定義:對(duì)于函數(shù) ，若存在非零常數(shù)T，使得 恒成立，則稱(chēng)

8、 為周期函數(shù)，T是函數(shù)的一個(gè)周期。若所有周期中存在一個(gè)最小正數(shù)，則稱(chēng)它是函數(shù)的最小正周期。,(2).若T是 的一個(gè)周期，則kT（k是非零整數(shù)）均是 的周期嗎？ (3)周期函數(shù)的定義域D可以為閉區(qū)間嗎？,T= (a-b),思考：若 ,函數(shù) 具有什么性質(zhì)？,注：除了定義式是充要條件外，其余均為充分非必要條件,2、常見(jiàn)的判斷周期的恒等式(可用遞推法證明),3.

9、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期性的幾個(gè)常見(jiàn)性質(zhì)。性質(zhì)1.若函數(shù) 以 為對(duì)稱(chēng)軸，那么此函數(shù)是周期函數(shù)，周期T=,,,,,,X=a,X=b,,,,,,,,性質(zhì)2.若函數(shù) 以 為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，那么此函數(shù)是周期函數(shù)，周期T=,假定,,,,(a,0),(b,0),,,,,,,,,,,,,性質(zhì)3.若函數(shù) 以 為對(duì)稱(chēng)

10、點(diǎn)，以 為對(duì)稱(chēng)軸，那么此函數(shù)是周期函數(shù)，周期 T=,假定,,,,,,X=b,(a,0),X,,Y,O,,,,,,,,,,,,練習(xí)1:定義在R上的函數(shù) 滿足且方程 有1001個(gè)根，則這1001個(gè)根的和？,4:如果 那么,3：如果 那么,2:函數(shù) 圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)，則,5:(1)定義在R上偶函數(shù) 滿

11、足 則方程 在區(qū)間 上至少有( )個(gè)根。(2)將上題中的“偶函數(shù)”改成“奇函數(shù)”，其余條件不變，則在區(qū)間 至少有( )個(gè)根。,重要結(jié)論：若 奇，且周期為T(mén)，則必有,注：可用模擬圖，直觀明了,思考：若 周期為 ，又 關(guān)于 對(duì)稱(chēng)，能否推出 是偶函數(shù)？

12、若能，能否嚴(yán)格證明？,練習(xí):1.若 為定義在R上的奇函數(shù)，且關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，問(wèn)： 是否為周期函數(shù)？若是，求出它的一個(gè)周期。,2. 若 為定義在R上偶函數(shù)且滿足 問(wèn)： 是否關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)？若是，請(qǐng)給出證明。,3：設(shè)奇函數(shù) ，且當(dāng) 則,,,,5：設(shè) 是定義在R上的偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于