管理統(tǒng)計(jì)學(xué)ppt教學(xué)課件-第一章 概率論基礎(chǔ)

1、管理統(tǒng)計(jì)學(xué),2010年,1 概率論基礎(chǔ),1.1 事件與概率1.2 概率的基本性質(zhì)1.3 條件概率與事件獨(dú)立性1.4 隨機(jī)變量及其分布,1.1 事件與概率,自然界和人類社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐中的兩類現(xiàn)象確定性現(xiàn)象：具有確定結(jié)果的現(xiàn)象不確定性現(xiàn)象/隨機(jī)現(xiàn)象：在基本條件不變的情況下，一系列試驗(yàn)或觀察會(huì)得到不同的結(jié)果，并且在每次試驗(yàn)或觀察之前不能預(yù)知會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果概率論研究的對(duì)象——隨機(jī)現(xiàn)象,例1.1 生活中的隨機(jī)現(xiàn)象,生活中隨機(jī)現(xiàn)象

2、的例子拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)一天內(nèi)進(jìn)入某超市的顧客數(shù)某一生產(chǎn)線生產(chǎn)出的燈泡的壽命某批產(chǎn)品的不合格率,1.1.1 隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件,隨機(jī)試驗(yàn)：滿足以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)有多種可能的結(jié)果，并且事先可以明確所有可能出現(xiàn)的結(jié)果試驗(yàn)完成之前不能預(yù)知會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)的結(jié)果樣本空間(?)：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果的集合樣本點(diǎn)(?)：試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果,例1.2 隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間,試列出例1.1中隨

3、機(jī)現(xiàn)象的樣本空間擲一顆骰子的樣本空間：Ω1={ω1,ω2,…,ω6}，其中ωi表示出現(xiàn)i點(diǎn)，i=1,2,…,6。也即擲一顆骰子的樣本空間為：Ω1={1,2,…,6}一天內(nèi)進(jìn)入某超市顧客數(shù)的樣本空間：Ω2={0,1,2,…}，其中0表示一天內(nèi)無人光顧某生產(chǎn)線生產(chǎn)出燈泡的壽命的樣本空間：Ω3={t|t≥0}產(chǎn)品的不合格率一定是介于0與1之間的一個(gè)實(shí)數(shù)，因此其樣本空間：Ω4={y|0≤y≤1},隨機(jī)事件,隨機(jī)事件/事件(A,B,C…)

4、：樣本空間?的某個(gè)子集事件A發(fā)生：當(dāng)且僅當(dāng)事件A所包含的某一樣本點(diǎn)出現(xiàn)隨機(jī)事件的幾個(gè)概念基本事件：僅包含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件例如，擲一顆均勻的骰子，事件B“擲出2點(diǎn)”復(fù)合事件：包含多個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件例如，擲一顆均勻的骰子，事件C“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”必然事件(?)：包含全部樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件例如，擲一顆均勻的骰子，事件D“點(diǎn)數(shù)小于7”不可能事件(Ø)：不包含任何樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件例如，擲一顆均勻的骰子，事件E“點(diǎn)數(shù)大

5、于6”,1.1.2 事件的關(guān)系及運(yùn)算,文氏圖展示在不同事物群組（集合）之間的數(shù)學(xué)或邏輯聯(lián)系 用一個(gè)長方形表示樣本空間Ω，用其中的一個(gè)圓或其他圖形表示隨機(jī)事件A,(1)事件之間的關(guān)系（待續(xù)）,事件的包含A包含于B / / ?事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,,,,A包含于B,事件之間的關(guān)系（續(xù)）,事件的相等A與B相等/ A=B ?事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，同時(shí)事件Ｂ發(fā)生必然導(dǎo)致事件A發(fā)生事

6、件的互不相容A與B互不相容?事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生,A=B,A與B互不相容,(2)事件的運(yùn)算（待續(xù)）,事件的并A與B的并/A∪B ?屬于事件A或B的所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合 事件的交A與B的交/A∩B/AB ?同時(shí)屬于事件A和B的所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合,A∪B,A∩B,事件的運(yùn)算（續(xù)）,事件的差A(yù)與B的差/A-B ?屬于事件A、不屬于事件B的所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合 事件的對(duì)立（逆）A的對(duì)立（逆）/ ?樣本空間中不屬于

7、事件A的所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合,A-B,例1.3 產(chǎn)品抽樣檢查,已知一批外形無差別的產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)隨機(jī)地從這批產(chǎn)品中依次抽取3件，分別以A、B、C代表第一次、第二次、第三次抽到次品試表示①三次都抽到次品②只有第一次抽到次品③三次都沒有抽到次品④至少抽到一件次品⑤最多抽到一件次品⑥最多抽到兩件次品,解：①三次都抽到次品：②只有第一次抽到次品：③三次都沒有抽到次品：④至少抽到一件次品：⑤最多抽到一件次品，即A，B

8、，C中只有一個(gè)發(fā)生或A，B，C全不發(fā)生： ⑥最多抽到兩件次品，即是A，B，C全發(fā)生的對(duì)立事件：,(3)事件運(yùn)算的性質(zhì),事件運(yùn)算遵循的法則交換率： ，結(jié)合率： ，分配率： 對(duì)偶率（德莫根公式）：,,1.1.

9、3 事件的概率,概率：隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的量度常用P(A) 表示隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小,(1)概率的統(tǒng)計(jì)定義（待續(xù)）,頻率：FN(A)=n/N，其中n為事件A發(fā)生的次數(shù) ，N為試驗(yàn)總次數(shù)頻率的性質(zhì)非負(fù)性：FN(A)≥0規(guī)范性：FN(Ω)=1 可加性：若A、B互不相容，則FN(A∪B)= FN(A)＋FN(B),概率的統(tǒng)計(jì)定義（續(xù)）,頻率穩(wěn)定性：在相同條件下進(jìn)行的多次重復(fù)試驗(yàn)，隨著試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)N的增加，隨機(jī)事件A的頻率FN

10、(A)會(huì)在某一固定的常數(shù)a附近擺動(dòng)，這個(gè)固定的常數(shù)a就是我們所說的概率,歷史上拋硬幣試驗(yàn)的若干結(jié)果,(2)概率的古典定義,古典概型：具有以下兩個(gè)基本特點(diǎn)的概率模型試驗(yàn)具有有限個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果試驗(yàn)的每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性都是相等的古典概型中基本事件ω的概率（假定樣本空間?={ω1，ω2，…，ωn} ）古典概型中隨機(jī)事件A的概率 其中，事件A包含樣本點(diǎn)又稱為A的“有利場合”,,例1.4 摸球模型,已知袋中有5個(gè)白球、

11、3個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)求取到的兩個(gè)球顏色不同的概率解：從8個(gè)球中任取2個(gè)有 種不同的取法，記“取到的2個(gè)球顏色不同”為事件A，則事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)為 ，故取到兩個(gè)不同顏色球的概率為,摸球模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用將“白球”、“黑球”替換為“正品”、“次品”，就可以用來求解產(chǎn)品質(zhì)量抽樣檢查問題向口袋中加入其他顏色的球，可以描述具有更多等級(jí)的產(chǎn)品抽樣問題，如將產(chǎn)品分為一等品、二等品、三等品、等外品的產(chǎn)品抽樣檢

12、查問題,(3)概率的幾何定義,幾何概型：設(shè)在空間上有一區(qū)域? ，隨機(jī)地向?內(nèi)投擲一點(diǎn)M，滿足M落在區(qū)域Ω內(nèi)的任意位置的概率都是相等的 M落在區(qū)域Ω的任何部分區(qū)域g內(nèi)的概率只與g的測度（長度、面積、體積等）成正比，并且與g的位置和形狀無關(guān)幾何概型中隨機(jī)事件Ag的概率,,例1.5 會(huì)面問題,已知甲、乙兩人約定在6到7時(shí)間在某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人20分鐘，過時(shí)即可離去求兩人能會(huì)面的概率解：以甲到達(dá)的時(shí)刻為x軸，以乙到達(dá)

13、的時(shí)刻為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系 坐標(biāo)平面（x，y）的所有可能結(jié)果為圖中所示邊長為60的正方形，由此得到樣本空間Ω的測度為SΩ=602 如果兩人能夠會(huì)面，需要滿足條件|x-y|≤20，即圖中的陰影部分，其面積為Sg=602-402，故兩人能會(huì)面的概率為,(4)主觀概率,主觀概率：對(duì)于一些不能重復(fù)的或不能大量重復(fù)的現(xiàn)象，根據(jù)個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性進(jìn)行估計(jì)得出的概率 例如氣象預(yù)報(bào)“今天夜間多云有陣雨，降水

14、概率60%” ，外科醫(yī)生認(rèn)為某患者“手術(shù)成功的可能性為90%”,1.2 概率的基本性質(zhì),根據(jù)概率的公理化定義，有性質(zhì)1（非負(fù)性）：對(duì)于任意事件A，有P(A)≥0 性質(zhì)2（規(guī)范性）：必然事件Ω的概率為1，即P(?)=1 性質(zhì)3（可列可加性）：對(duì)于可列個(gè)兩兩互不相容事件A1，A2，…，有P(A1∪A2∪…)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An),公理導(dǎo)出性質(zhì)（待續(xù)）,根據(jù)性質(zhì)1、2、3，有性質(zhì)4：不可能事件Ø的概率

15、為0，即P(Ø)=0 性質(zhì)5（有限可加性）：對(duì)于任意n個(gè)事件A1,A2,…An，若AiAj= Ø （i,j=1,2,…,n；i≠j），則P(A1∪A2∪…∪An)= P(A1)+ P(A2)+…+P(An)性質(zhì)6：對(duì)于任意事件A，有P( )=1-P(A),公理導(dǎo)出性質(zhì)（續(xù)）,性質(zhì)7：對(duì)于任意事件A和B，若AB，則P(A-B)=P(A)-P(B) 性質(zhì)8（減法公式）：對(duì)于任意事件A和B，有P(A-B

16、)=P(A)-P(AB)性質(zhì)9（加法公式） 對(duì)于任意事件A和B，有P(A∪B)=P(A)＋P(B)-P(AB) 性質(zhì)10（一般加法公式） 對(duì)任意n個(gè)事件A1，A2，…，An，有,,例1.6 職工代表,已知某班組有男工7人、女工4人，現(xiàn)要選出3個(gè)代表求3個(gè)代表中至少有一個(gè)女工的概率解法1：樣本空間包含的全部樣本點(diǎn)數(shù)為 ，以A記“3個(gè)代表中至少有一個(gè)女工” ，Ai記“3個(gè)代表中有i個(gè)女工”(i=1,2,3)，則A=

17、A1＋A2＋A3，故所求概率為解法2：將“3個(gè)代表中至少有一個(gè)女工”記為事件A，則 =“3個(gè)代表全部為男工”，而 ，根據(jù)性質(zhì)6可求得,例1.7 電子刊物訂閱,已知某學(xué)校向?qū)W生發(fā)行兩種電子刊物A和B，且該校學(xué)生中訂閱刊物A的占65%，訂閱刊物B的占50%，同時(shí)訂閱刊物A和B的占30%求：從該學(xué)校學(xué)生中隨機(jī)地抽取一名，該學(xué)生訂閱電子刊物的概率解：若以A記“學(xué)生訂閱刊物A”，以B記“

18、學(xué)生訂閱刊物B”，則學(xué)生訂閱電子刊物為事件A∪B。根據(jù)概率的加法公式，學(xué)生訂閱電子刊物的概率為P(A∪B)=P(A)＋P(B)-P(AB)=0.65＋0.5-0.3=0.85,例1.8 匹配問題,已知某人寫好n封信，又寫好n只信封，然后在黑暗中把每封信放入一只信封中求至少有一封信與信封匹配的概率 解：若以Ai記第i封信與信封匹配，則所求事件為A1∪A2∪…∪An，因此，根據(jù)一般加法公式有,…因此有,1.3 條件概率與事件獨(dú)立

19、性,1.3.1 條件概率與乘法公式1.3.2 事件獨(dú)立性1.3.3 全概率公式1.3.4 貝葉斯公式,1.3.1 條件概率與乘法公式,條件概率：P(A|B)表示事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率條件概率公式： ，其中A、B為任意兩個(gè)事件，且P(B)>0,例1.9 員工升職問題,某公司有1200名員工(包括男性960人，女性240人)，過去的三年里員工提升情況見表中數(shù)據(jù)試

20、計(jì)算①若一個(gè)員工為男性，則其得到提升的概率 ②若一個(gè)員工為女性，則其得到提升的概率,解：根據(jù)題意，分別以M記 “某員工為男性”、W記 “某員工為女性”，以A記 “某員工得到提升” ，由表中數(shù)據(jù)有 P(M)=960/1200=0.80P(W)=240/1200=0.20P(MA)=288/1200=0.24P(WA)=36/1200=0.03①若一個(gè)員工為男性，則其得到提升的概率為②若一個(gè)員工為女性，則其得到提升的概

21、率,員工提升情況表,條件概率的性質(zhì)（待續(xù)）,性質(zhì)1：對(duì)于任意事件A和B，有P(A|B)≥0性質(zhì)2：在事件B發(fā)生的條件下，必然事件Ω發(fā)生的概率為1，即P(Ω|B)=1性質(zhì)3：對(duì)于可列個(gè)兩兩互不相容事件A1,A2,…，以及任意事件B，有 性質(zhì)4：對(duì)于任意事件B，有P(Ø |B)=0,條件概率的性質(zhì)（續(xù)）,性質(zhì)5：對(duì)于任意n個(gè)兩兩互不相容事件A1,A2,…An，有 P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P

22、(An)性質(zhì)6：對(duì)于任意事件A和B，有P(A|B)=1-P( |B) 性質(zhì)7：對(duì)于任意事件A1，A2和B，有P[(A1∪A2)|B]=P(A1|B)＋P(A2|B)-P(A1A2|B)特別地，當(dāng)B=Ω時(shí)，條件概率轉(zhuǎn)化為無條件的一般概率,乘法公式,乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B) 乘法公式的推廣：當(dāng)P(A1A2…An)>0時(shí)，有 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A

23、n|A1A2…An-1),例1.10 零件出售“假一賠十”,已知：商店出售某零件每箱裝這種零件100件，且包括4件次品假一賠十：顧客買一箱零件，如果隨機(jī)取1件發(fā)現(xiàn)是次品，商店立刻用10件合格品取代其放入箱中某顧客在一個(gè)箱子中先后取了3件進(jìn)行測試求這3件都不是合格品的概率,解：以Ai記“顧客在第i次取到不合格品”(i=1,2,3)，則有 根據(jù)乘法公式可知，顧客取出的3件都不是合格品的概率為,1.3.2 事件獨(dú)立性,

24、相互獨(dú)立事件：對(duì)于任意事件A和B，如果有P(AB)=P(A)P(B) ，則稱事件A與B相互獨(dú)立/A與B獨(dú)立相互獨(dú)立事件的性質(zhì) 性質(zhì)1 若事件A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)=P(B) 性質(zhì)2 若事件A與B相互獨(dú)立，則 與B、A與 、 與 均獨(dú)立,例1.11 射擊問題,已知甲、乙二人獨(dú)立地向同一目標(biāo)射擊，其命中率分別為0.6和0.7求目標(biāo)被射中的概率 解：根據(jù)題意，以A記“甲射中目標(biāo)”，以B記“乙射中目

25、標(biāo)”，以C記“目標(biāo)被射中”，因此有C= A∪B。由于事件A和B是相互獨(dú)立的，故目標(biāo)被射中的概率為 P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.6+0.7-0.6×0.7=0.88 也可以先考慮C的對(duì)立事件，顯然有 P(C)=1-P( )=1- P( )=1-P( )=1-P( )P( )=1- (1-0.6)×(1-0.3)

26、=0.88,,1.3.3 全概率公式,完備事件組：若A1,A2,…An兩兩互斥，且A1∪A2∪…∪An=Ω，則稱A1,A2,…,An是樣本空間Ω的一個(gè)完備事件組全概率公式： ，其中A1,A2,…,An是樣本空間Ω的一個(gè)完備事件組 ，P(Ai)>0,例1.12 零件加工,已知某車間有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線加工一批零件，各生產(chǎn)線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的40%、35

27、%和25%，且這三條生產(chǎn)線加工該零件的次品率分別為2%、4%和5%求從這批零件中任意取出一個(gè)零件是次品的概率 解：分別以A1、A2、A3記零件來自甲、乙、丙生產(chǎn)線，以B記“取出次品”，顯然A1，A2，A3構(gòu)成這一隨機(jī)取樣試驗(yàn)樣本空間Ω的完備事件組,由已知條件可知P(A1)=0.40P(A2)=0.35P(A3)=0.25P(B|A1)=0.02P(B|A2)=0.04P(B|A3)=0.05根據(jù)全概率公式，取出次品

28、的概率為P(B)=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) =0.40×0.02＋0.35×0.04＋0.25×0.05=0.0345,1.3.4 貝葉斯公式,貝葉斯公式： ，其中A1,A2,…,An是樣本空間Ω的一個(gè)完備事件組 ，P(B)>0，P(Ai)>0,例1.13 零件

29、加工,在例1.12中，如果取出的零件是次品，分別求這個(gè)零件是由甲、乙、丙生產(chǎn)線加工的概率 解：分別以A1、A2、A3記取出的零件來自甲、乙、丙生產(chǎn)線，以B記“取出次品”，則根據(jù)例1.12，有 根據(jù)貝葉斯公式，可以得到,1.4 隨機(jī)變量及其分布,1.4.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù)1.4.2 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.4.3 常用的離散型分布1.4.4 常用的連續(xù)型分布,1.4.1 隨機(jī)變量及其函數(shù)分布,隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果數(shù)量形

30、式的，例如擲一顆骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) 非數(shù)量形式的，例如拋一枚硬幣的結(jié)果隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量化的表現(xiàn)——隨機(jī)變量,(1)隨機(jī)變量與分布函數(shù),隨機(jī)變量(X,Y,Z…)：定義在樣本空間Ω上的取值為實(shí)數(shù)的函數(shù)，滿足Ω中每一個(gè)點(diǎn)，即每個(gè)基本事件都有實(shí)軸上的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng) 離散型隨機(jī)變量：所有可能取值都能逐個(gè)列舉出來 連續(xù)型隨機(jī)變量：取值不能逐個(gè)列舉，而是充滿數(shù)軸上的某一區(qū)間 分布函數(shù)：F(x)=P(X≤x)，分布函數(shù)F(x)在x處的函數(shù)值就表示隨機(jī)

31、變量X落在區(qū)間(-?,x]上的概率,(2)離散型隨機(jī)變量及其分布,離散型隨機(jī)變量的分布列：pi=P(X=xi)，其中xi為離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值，i=1,2,…,n,…分布列的表格形式離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)：,離散型隨機(jī)變量的分布列,分布列的性質(zhì),分布列的性質(zhì)：非負(fù)性：pi≥0 正則性：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b(a<b)，有,,例1.14 骰子點(diǎn)數(shù)之和,擲兩顆骰子，以X記出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和求X的分布列 解：擲

32、兩顆骰子，可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的組合為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)

33、，(6,5)，(6,6)計(jì)算可得X的分布列為,表1-1 兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和的分布列,例1.15 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù),設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為 求X的分布函數(shù) 解：根據(jù)分布列，得到X的分布函數(shù)如下,F(x)的圖形呈一條階梯狀的曲線，且取值1、2、3處為跳躍點(diǎn)，其跳躍度分別為0.2、0.3、0.4,(3)連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)： 其中，p(x)是實(shí)數(shù)軸上的非負(fù)可積函數(shù)，稱為隨機(jī)變量X的概率

34、密度函數(shù)/密度函數(shù) 密度函數(shù)的性質(zhì)：非負(fù)性：p(x)≥0 正則性： 對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b(a<b)，有,例1.16 隨機(jī)變量的分布函數(shù)（待續(xù)）,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 求X的分布函數(shù)F(x) 解：由分布函數(shù)的定義可得當(dāng)x<-1時(shí)，p(x)=0，所以,,,隨機(jī)變量的分布函數(shù)（續(xù)）,當(dāng)-1≤x<0時(shí)當(dāng)0≤x<1時(shí)當(dāng)x≥1時(shí)綜上所述，X的分布函數(shù)為,1.4.2 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,

35、隨機(jī)變量的數(shù)字特征：用來表示隨機(jī)變量分布的某些重要特征的數(shù)字指標(biāo)常用的數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望：隨機(jī)變量所有可能取值的平均水平 方差和標(biāo)準(zhǔn)差：隨機(jī)變量的取值相對(duì)平均水平的偏離程度,(1)數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望(E(x)/?)：隨機(jī)變量所有可能取值的平均水平離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，即X的所有可能取值為x1,x2,…,xn…關(guān)于權(quán)p1,p2,…,pn…的加權(quán)平均值連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：,,,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

36、,性質(zhì)1 對(duì)于任意常數(shù)c，有E(c)=c 性質(zhì)2 對(duì)于任意隨機(jī)變量X和常數(shù)a、b，有E(aX)=aE(X) E(X+b)=E(X)+b 性質(zhì)3 對(duì)于任意隨機(jī)變量X和Y，有E(XY)=E(X)E(Y) 性質(zhì)4 對(duì)于任意隨機(jī)變量X和Y，若X與Y相互獨(dú)立，有E(XY)=E(X)E(

37、Y),例1.17 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,試求例1.14中隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望 解：根據(jù)表1-1中的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算得到X的數(shù)學(xué)期望為,,例1.18 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,試求例1.16中隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望 解：已知X的密度函數(shù)為因此X的數(shù)學(xué)期望為,,,(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差,方差：D(X)= E [X-E(X)] 2，當(dāng)且僅當(dāng)E [X-E(X)] 2存在時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差：離散型隨機(jī)變量的方差：連續(xù)型隨機(jī)變量的方差：,

38、,,,方差的性質(zhì),性質(zhì)1 對(duì)于任意常數(shù)c，有D(c)=0 性質(zhì)2 對(duì)于任意隨機(jī)變量X和常數(shù)a、b，有D(aX)=a2D(X) D(X+b)=D(X) 性質(zhì)3 對(duì)于任意隨機(jī)變量X和Y，若X與Y相互獨(dú)立，有D(X+Y)=D(X)+D(Y)

39、 性質(zhì)4 對(duì)于任意隨機(jī)變量X，有D(X)=E(X2)+[E(X)]2,1.4.3 常用的離散型分布,(1)0-1分布,0-1分布/兩點(diǎn)分布/伯努利分布 隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的0-1分布/X~B(1,p) ?離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，（0<p<1）0-1分布的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差 E(X)=1×p＋0×(1-p)=pD(X)=(1-

40、p)2×p＋(0-p)2×(1-p)=p(1-p),0-1分布的分布列,(2)二項(xiàng)分布,n重伯努利試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E只可能有兩個(gè)結(jié)果：A和 ，將E獨(dú)立的重復(fù)地進(jìn)行n次，則這一穿重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)二項(xiàng)分布n重伯努利試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)為隨機(jī)變量X隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布/X~B(n,p) ?隨機(jī)變量X的概率分布為：二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差 E(X)

41、=np D(X) =np(1-p),,例1.19 產(chǎn)品抽樣檢查,已知在10件產(chǎn)品中混入了2件次品，現(xiàn)有放回地先后取出3件產(chǎn)品，用隨機(jī)變量X表示次品數(shù)求X的分布列，E(X)，D(X) 解：由于抽樣是有放回的，因此每次取出次品的概率都相同，這是一個(gè)n重伯努利試驗(yàn)。隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3，且,故X的分布列為另外，有,,,(3)泊松分布,泊松分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為?的泊松分布/X~P(?) ?隨機(jī)

42、變量X的概率分布為：泊松分布的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差E(X) = ?D(X) = ?二項(xiàng)分布的泊松近似在n重伯努利試驗(yàn)中，當(dāng)n很大，而A“成功”發(fā)生的概率p很小時(shí)，二項(xiàng)分布可以用?=np的泊松分布來近似,,例1.20 訂票電話次數(shù),假定某航空公司預(yù)訂票處十分鐘內(nèi)接到訂票電話的次數(shù)服從參數(shù)為7的泊松分布求訂票處在十分鐘內(nèi)恰好接到6次電話的概率解：以隨機(jī)變量X表示訂票處在十分鐘內(nèi)接到訂票電話的次數(shù)，且X~P(8)，故

43、利用泊松分布表，當(dāng)k=6， ? =7時(shí),,,例1.21 疾病普查,已知某種疾病的發(fā)病率為0.001，某地區(qū)共有5000居民，現(xiàn)有一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為該地區(qū)居民義務(wù)會(huì)診求該地區(qū)患有這種疾病的人數(shù)不超過5人的概率 解：以隨機(jī)變量X記該地區(qū)患有這種疾病的人數(shù)，則X~B(5000，0.001)，所以有 通過二項(xiàng)分布來求解這個(gè)問題計(jì)算量是很大的，由于n很大，而p很小，這時(shí)我們可以利用泊松分布來求解? =np=5000×0.

44、001=5,,(4)超幾何分布（待續(xù)）,超幾何分布 從混有M件不合格品的N件產(chǎn)品中不放回地先后抽取n件，其中含有的不合格品的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X隨機(jī)變量X服從超幾何分布/X~H(n,N,M) ?隨機(jī)變量X的概率分布為 其中m=min{M,n}，且M≤N，n≤N，n，N，M均為正整數(shù),,超幾何分布（續(xù)）,超幾何分布的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差超幾何分布的二項(xiàng)近似當(dāng)抽樣的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于產(chǎn)品的總數(shù)時(shí)，不放回抽樣可以

45、近似地看成有放回抽樣,,,,1.4.4 常用的連續(xù)型分布,(1)均勻分布,均勻分布 隨機(jī)變量 X服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布/X~U(a,b) ?隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為均勻分布的分布函數(shù)均勻分布的數(shù)學(xué)期望，方差和標(biāo)準(zhǔn)差,例1.22 均勻分布概率,設(shè)隨機(jī)變量X服從(0,10)上的均勻分布求P(3<x<7)與P(5<x≤12) 解：由X服從(0,10)上的均勻分布可知 因此,,,,(2

46、)指數(shù)分布,指數(shù)分布：隨機(jī)變量X服從參數(shù)為?的指數(shù)分布/X~Exp(?) ?隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為（ ? >0 ） 指數(shù)分布的分布函數(shù)指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,,例1.23 等待時(shí)間,假設(shè)某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一個(gè)顧客到達(dá)的等待時(shí)間（以分鐘記）服從參數(shù)?=0.4的指數(shù)分布求等待時(shí)間不超過3分鐘的概率 解：根據(jù)題意，可知等待時(shí)間X的分布函數(shù)為因此，等待時(shí)間不超過3分鐘的概率為 P(X≤3

47、)=F(3)=1-e-0.4×3=1-e-1.2=0.699,,(3)正態(tài)分布（待續(xù)）,正態(tài)分布隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布/X~N(?, ?2) ?隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為(-?0)正態(tài)分布的分布函數(shù),正態(tài)密度函數(shù),正態(tài)分布（續(xù)）,正態(tài)分布的密度函數(shù)具有如下性質(zhì)正態(tài)密度函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系的位置由參數(shù)?確定正態(tài)密度函數(shù)的尺度由參數(shù)?所確定 正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差E(X)= ?

48、D(X)= ?2 ?(X)= ?,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：參數(shù)?=0, ?=1時(shí)，正態(tài)分布N(0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化：對(duì)于一般正態(tài)分布，作變換 ，將其轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Z~N(0,1),,例1.24 上班路線選擇,已知：王某家住市區(qū)西郊，他到東郊工作單位的上班的路線可以有兩種選擇：一是橫穿市區(qū)，這條路線路程較短，但

49、交通堵塞嚴(yán)重，所需時(shí)間X~N(30,100)；二是選擇環(huán)城公路，這條路線路程較遠(yuǎn)，但堵塞少，所需時(shí)間Y~N(40,16)求：①若距上班時(shí)間還有50分鐘，應(yīng)選擇哪條路線②若距上班時(shí)間還有45分鐘，應(yīng)選擇哪條路線解：根據(jù)題意，設(shè)王某選擇第一條路線需要花費(fèi)的時(shí)間為x，選擇第二條路線需要花費(fèi)的時(shí)間為y,解題過程,①若距離上班時(shí)間還有50分鐘，則對(duì)于兩條路線，王某準(zhǔn)時(shí)上班的概率分別為 此時(shí)選擇第二條路線時(shí)準(zhǔn)

50、時(shí)上班的概率較大，因此應(yīng)選第二條路線,②若距離上班時(shí)間還有45分鐘，則對(duì)于兩條路線，王某準(zhǔn)時(shí)上班的概率分別為 此時(shí)選擇第一條路線時(shí)準(zhǔn)時(shí)上班的概率較大，因此應(yīng)選第一條路線,,,3?原則,3?原則：如果隨機(jī)變量X ~N(0,1),則 P(|X-?|≤?)=0.6826P(|X-?|≤2?)=0.9545P(|X-?|≤3?)=0.9973,(4) ?2分布，t分布，F(xiàn)分布,設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立且