[數(shù)學教案]圓錐曲線(復習課)

1、1圓錐曲線（復習課） 圓錐曲線（復習課）教學目的 教學目的1．理解橢圓、雙曲線的第一定義及橢圓、雙曲線和拋物線的統(tǒng)一定義，并能利用定義求出與圓錐曲線有關的量，也能利用定義求出圓錐曲線方程．2．掌握橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程及相應圖象，并掌握相應的性質(zhì)：圖形范圍、對稱性、頂點、長軸、短軸、實軸、虛軸、焦距、焦點、離心率、準線、漸近線．3．掌握中心在(h，k)的橢圓和雙曲線的方程及頂點在(h，k)的拋物線的方程及相應圖形與性質(zhì)(性質(zhì)同

2、2)．4．掌握方程 Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 所表示的曲線的分類．5．理解解析幾何用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)的學習特點．重點難點 重點難點重點一是熟練掌握圓錐曲線的標準方程及相應的圖形和性質(zhì)，以及中心在(h，k)的橢圓、雙曲線和頂點在(h，k)的拋物線的方程及相應圖形和性質(zhì)，特別要注意形與數(shù)的一一對應．重點二是掌握圓錐曲線的定義，能在已知條件合適時，自覺地想到利用定義求圓錐曲線方程，或利用定義求圓錐曲線有關的量．難點在于不易

3、利用平面幾何知識選擇最簡便的方法去解決問題．解析幾何固然是用代數(shù)方法研究幾何問題，但畢竟它仍是幾何問題，因而幾何圖形原有的性質(zhì)也不能拋棄不用．教學過程 教學過程橢圓、雙曲線和拋物線是解析幾何重點研究的曲線．研究的主要內(nèi)容是橢圓、雙曲線和拋物線的形成，即它們的定義及相應的方程；又由方程的代數(shù)性質(zhì)研究曲線的幾何性質(zhì)；圓錐曲線的一般方程是怎樣分類的，從而知道它們可表示不同的圓錐曲線；經(jīng)過平移后圓錐曲線的方程和相應性質(zhì)．在整個復習課的過程中，強

4、調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想方法，利用圖形探索解題方法及解的不同情況，特別是有關中心在(h，k)的橢圓、雙曲線和頂點在(h，k)的拋物線的問題，更要依據(jù)數(shù)形結(jié)合解決問題，而盡可能避免使用坐標平移公式．突出利用方程思想實施待定系數(shù)法求圓錐曲線方程．并注意利用定義得方程和求有關圓錐曲線的量．同時不能忽視平面幾何的圖形性質(zhì)的利用．一、復習定義對于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，圓錐曲線上一點到焦點的距離與到相應準線距離之比為正常數(shù) e，當 0＜e＜1 時，動點軌跡為

5、橢圓；當 e=1 時，動點軌跡為拋物線；當 e＞1 時，動點軌跡為雙曲線．(利用計算機《幾何畫板》演示隨 e 的變化，動點曲線由橢圓到拋物線到雙曲線的變化)．例 1 拋物線 y2=8px(p＞0)上一點 M 到焦點的距離為 a，則點 M 到 y 軸的距離為______．分析 過 M 點作 MH⊥y 軸于 H，則所求即|MH|．由定義知 M 點到焦點的距離 a=M 點到準線的距離，所以延長 MH 交準線于 M′，則|MM′|=a，而拋

6、物線頂點到準線的距離為 2p，故|MH|=|MM′|-2p=a-2p．例 2 雙曲線實軸長為 2a，過焦點 F1 的弦的兩個端點 A，B 均在左支上，且|AB|=m，F(xiàn)2 為右焦點，則△ABF2 的周長是______．分析 由第一定義有|AF2|-|AF1|=2a，|BF2|-|BF1|=2a，兩式相加得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a，即|AF2|+|BF2|-|AB|=4a，所以|AF2|+|BF2|=

7、4a+m，則△ABF2 的周長=|AB|+|AF2|+|BF2|=m+4a+m=4a+2m．分析 不妨設|PF1|=m，|PF2|=n，由第一定義知 m+n=2a=20，又則 P 點坐標為______．例 3 一動圓與兩已知圓 O1：x2+y2+4x+3=0 和圓 O2：x2+y2-4x-5=0 都內(nèi)切，則動圓圓心軌跡為 [ ]A．橢圓 B．雙曲線一支C．拋物線

8、 D．兩條相交直線3分析 求離心率只需找到關于 a，b，c 的一個方程即可．本題在⊙F 中，已知|MF|=|MO|，且|FO|=|FM|=r，所以|OM|=|OF|=c，由等邊△=c2，化簡為 4a2b2-b2c2-3a2c2=0，將 b2=a2-c2 代入得 4a2(a2-c2)-c2·(a2-c2)-3a2c2=0，化簡為 c4-8a2c2+4a4=0，方程兩邊同除以 a4 得 e4-8e2+4=0，評述 本題若

9、設橢圓兩焦點為 F1，F(xiàn)2，連結(jié) MF2，MO，MF1．由等邊△OMF2 有|MO|=|MF2|=|OF2|=c，且|OF1|=c，則|F1F2|=2|MO|，一個三角形一邊上的中線等于此邊之半，則這個三角形為 Rt△，即∠比較兩種解法得到的 a，b，c 的方程，可知評述中的解法捷便得多．這就是充分利用圓錐曲線的定義及圖形的平面幾何性質(zhì)的優(yōu)越性．本例還可用許多方法得到 a，b，c 的不同方程來求 e，但均不如評述中的方便簡捷．例 8

10、 拋物線 x2=2y 上離點 A(0，a)(a＞0)最近的點恰好是頂點，該結(jié)論成立的充要條件是 [ ]A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≥1分析 在拋物線 x2=2y 上任取一點 P(x，y)，|PA|2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2+(2-2a)y+a2(y≥0)，記y0=a-1．當 P 點為拋物線頂點 O(0，0)時，即 y=0 時|PA|2 取得最小值的充要條件是 y0≤0，即 a-1≤0

11、，又已知 a＞0，則 a 的取值范圍是(0，1)，故選 D．評述 自例 11 以后，問題都比較綜合，涉及到直線、圓、函數(shù)、最值、平面幾何、圓錐曲線定義等各方面知識，需要訓練轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，將條件逐步轉(zhuǎn)化到已掌握的知識內(nèi)容上去，從而使問題得以解決．(老師在引導學生尋找解題思路時，應著重滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想)．三、復習圓錐曲線的分類及中心在(h，k)的橢圓、雙曲線和頂點在(h，k)的拋物線的方程及對應圖形與性質(zhì)．(圓錐曲線的分類學生遺忘得

12、比較厲害，還需認真復習知識點．)中心在(h，k)的橢圓、雙曲線和頂點在(h，k)的拋物線的方程及對應圖形與性質(zhì)的復習與“二”處相同，強調(diào)數(shù)形結(jié)合得性質(zhì)，切忌死記硬背結(jié)論)．例 9 若拋物線 y2=a(x+1)的準線方程是 x=-3，則這條拋物線的焦點坐標為 [ ]A．(1，0) B．(2，0)C．(3，0) D．(-1，0)分析 拋物線頂點在(-1，0)，到準線 x

13、=-3 的距離為 2，則焦點到頂點的距離也為 2，故焦點坐標為(1，0)，應選 A．例 10 焦點是(2，1)和(2，-3)，半徑軸長為 3 的橢圓方程是______．例 29 拋物線(y+2)2=4(x+a)的焦點坐標是(0，-2)，則 a 的值等于 [ ]A．-1 B．1C．2 D．-2則頂點應為(-1，-2)，故-a=-1，即 a=1，故選 B

14、．例 11 平移坐標軸，把原點移至 O′(-2，0)，在新坐標系中雙曲線方程 x2-2y2-2ax=0 可化為標準方程則此雙曲線在原坐標系中的漸近線方程是 即中心在(a，0)，又依題設知中心為點(-2，0)，故 a＝-2．所以雙曲線已知雙曲線方程求漸近線如本例，這樣易掌握方法．方程為[ ] A．y2＝18(x-5)

15、 B．y2＝8(x-5)C．y2＝-36(x-5) D．y2＝-36(x+5)分析 已知雙曲線的右焦點(5，0)，左頂點(-4，0)，即分別為所方程為 y2＝-2p(x-5)＝-36(x-5)，應選 C．例 12 若 k∈R，討論方程(9-k)x2+(25-k)y2＝(9-k)(25-k)表示的曲線．①當 k＜9 時，25-k＞0，9-k＞0，方程表示的曲線是橢圓．②當 k＝9 時，方程化為(25-