理論力學課后習題詳解-第11章-動量矩定理

1、 156A 第 12 章 動量矩定理 第 12 章 動量矩定理 12-1 質量為 m 的點在平面 Oxy 內運動，其運動方程為 t b yt a xωω2 sincos==式中 a，b 和ω 為常量。求質點對原點 O 的動量矩。 解 由運動方程對時間的 1 階導數得原點的速度 t b ty vt a tx vyxω ωω ω2 cos 2 ddsin dd= =? = =（1） 質點對點 O 的動量矩為 t a t b m t

2、b t a mx mv y mv m M m M L y x O Oω ω ω ω ω ω cos 2 cos 2 2 sin ) sin () ( ) ( 0? ? + ? ? ? ? =? + ? ? = + = y x v vt mab ω ω 3 cos 2 =用矢量表示有 ( ) ( ) ( )k j i j i v r L x ym y xm y m x m y x m O & & & & ?

3、 = + × + = × =其中 y x & &, 由式（1）確定。 12-2 無重桿 OA 以角速度 0 ω 繞軸 O 轉動，質量 m = 25 kg，半徑 R = 200 mm 的均質圓盤以 3 種方式安裝于桿 OA 的點 A，如圖 12-12a 所示。在圖 12-12a 中，圓盤與桿 OA 焊接在一起，在圖 12-12b 中，圓盤與桿 OA 在點 A 鉸接，且相對桿 OA 以角速度 r ω 逆

4、時針向轉動。 在圖 12-12c 中， 圓盤相對桿 OA 以角速度 r ω 順時針向轉動。 已知 rad/s4 r = = ω ωO ，計算在此 3 種情況下，圓盤對軸 O 的動量矩。 r ωR 2A vO0 ω RAr ωR 2A vO0 ω(b1) (c1) 圖 12-2 解 （1） 在圖 12-2a 中，輪 A 繞 O 定軸轉動 2 2 2 29 ) 2 ( 21 mR R m mR

5、JO = + =/s kgm18 29 2 2 = = = mR J L O O O O ω ω（2）在圖 12-2b1 中，輪 A 作平面運動 a O 2 ω A A J R v m L + ? ? =/s kgm20 5 ) ( 21 2 2 2 2 O r O 2 O = = + ? + ? ? = mR mR R R m ω ω ω ω158人隨圓盤轉的牽連速度和人對圓盤的相對速度都沿圓周切向。 以反時針轉為正向， 牽連速度 的

6、投影為 ω r ，相對速度的投影為 at s ? = ? &人對地面的絕對速度的投影為 at r s r v ? = ? = ω ω & 0其方向與 r 垂直，所以人對軸 O 的動量矩為 r at r m L ? ? = ) ( 2 2 ω由質點系動量矩守恒定律有 r at r m R m ? ? + = ) ( 2 0 22 1 ω ω2 2 1 2 2 22r m m Rart m+ = ω2 2 1 2 2 22

7、r m m Rar m+ = = ω α &12-5 如圖 12-5a 所示水平圓板可繞軸 z 轉動。在圓板上有 1 質點 M 作圓周運動，已知其速度的大小為常量，等于 v0，質點 M 的質量為 m，圓的半徑為 r，圓心到 z 軸的距離為 l， 點 M 在圓板的位置由角? 確定，如圖 12-5a 所示。如圓板的轉動慣量為 J，并且當點 M 離軸 z 最遠在點 M0 時，圓板的角速度為零。軸的摩擦和空氣阻力略去不計，求圓板的角速

8、度與角? 的關系。 1 oxy ?e vωr O0 vl(a) (b) 圖 12-5 解 以圓板和質點 M 為系統，因為系統所受外力（包括重力和約束力）對軸 z 的矩均為零，故系統對軸 z 動量矩守恒。在任意時刻點 M 的速度包含相對速度 v0 和牽連速度 ve。 其中 ω ? = OM ve設質點 M 在 M0 位置為起始位置，該瞬時系統對軸 z 的動量矩 ) ( 0 1 r l mv Lz + =(1) 在任意時刻： ) (

9、 ) ( ) ( e 0 2 v v v m M m M J m M J L z z M z z + + = + = ω ω由圖 12-5b 中，可得 [ ] ω ? ? ω ) cos 2 ( cos 2 2 0 2 lr r l m r l mv J Lz + + + + + =(2) 根據動量矩守恒定律 2 1 z z L L =(3) 由式（1） 、 （2） 、 （3）得 ) cos 2 () cos 1 (2 2 0 ?? ω