歷年考研真題：考研數(shù)學(xué)(三)真題（1987-2018）

1、1987 年 ? 第 1 頁 1987 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù) 學(xué) 試 題 參 考 解 答 數(shù) 學(xué) 試 題 參 考 解 答數(shù) 學(xué)（試卷Ⅰ） 學(xué)（試卷Ⅰ） 一、填空題（每小題 一、填空題（每小題 3 分，滿分 分，滿分 15 分. 只寫答案不寫解題過程） 只寫答案不寫解題過程） (1) 與兩直線112xy tz t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?及 1 2 11 2 1x y z ? ?

2、 ? ? ?都平行，且過原點(diǎn)的平面方程是5 0 x y ? ? ?(2) 當(dāng) x ? 1/ln2 ? ；時(shí)，函數(shù) 2x y x ? 取得極小值.(3) 由 ln y x ? 與兩直線 ( 1) y e x ? ? ? 及 0 y ? 圍成圖形的面積= 3 / 2(4) 設(shè) L 為取正向的圓周 9 2 2 ? ? y x ，則曲線積分 dy x x dx y xy L ) 4 ( ) 2 2 ( 2 ? ? ? ? 的值是? 18 ?

3、 .(5) 已知三維線性空間的一組基底 ) 1 , 1 , 0 ( , ) 1 , 0 , 1 ( , ) 0 , 1 , 1 ( 3 2 1 ? ? ? ? ? ? ，則向量? ＝( 2 , 0 , 0 ) 在上述基底下的坐標(biāo)是 ( 1 , 1 , -1 )二、 （本題滿分 二、 （本題滿分 8 分） 分） 求正的常數(shù)a 與b ，使式 1 sin1 lim 0 220 ? ? ? ? ? dt t atx bxxx 成立. 解：

4、 解：假若 1 b ? ，則根據(jù)洛必達(dá)法則有 2 22 2 0 0 0 1 1 lim lim( ) 0 1 sin cosxx x t x dt bx x b x a t a x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 與題設(shè)矛盾， 于是 1 b ? .此時(shí)2 2 22 1 2 2 2 0 0 0 0 21 1 1 2 lim lim( ) lim( ) sin 1 cosxx x x t x x dt bx x x x a

5、a t a x a x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，即 2 1 a ? ，因此 4 a ? .三、 （本題滿分 三、 （本題滿分 7 分） 分） (1) 設(shè)函數(shù) , f g 連續(xù)可微， ( , ), ( ) u f x xy v g x xy ? ? ? ，求 , . u vx x? ?? ?解： 解： 1 2 1 2 ( ) u x xy f f f y f x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?

6、? ? ? ? ? ? ? ?； ( ) (1 ) v x xy g y g x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.第 1 頁1987 年 ? 第 3 頁 令 1 2x ? ，知原級(jí)數(shù)在開區(qū)間( 2,2) ? 內(nèi)每一點(diǎn)都收斂.又當(dāng) 2 x ? ? 時(shí)，原級(jí)數(shù)= 1 11 11 1 ( 2) 2 ( 1) 2n nn n n n n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ，故由萊布尼茲判別法知其收斂；而當(dāng) 2 x ? 時(shí)

7、， 原級(jí)數(shù)= 1 11 11 1 2 2 ( 1) 2n nn n n n n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ， 顯然發(fā)散， 故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?) 2 , 2 [? . 又記 1 1 1 11 1 ( ) ( ) ( ) 2 2n nn n nx S x x x xS x n n? ? ?? ? ? ? ? ? ? ，其中 1 11 ( ) ( ) 2nnx S x n?? ?? ，有 1 1 11 ( ) ( ) 2 1 /

8、2nnx S x x? ?? ? ? ? ? ? ，于是 1 0 2 ( ) 2ln( ) 1 /2 2x dx S x x x ? ? ? ? ? ，因此冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為 2 ( ) 2 ln 2 S x x x ? ?， [ 2,2) x? ? . 七、 （本題滿分 七、 （本題滿分 10 分） 分） 計(jì)算曲面積分 2 (8 1) 2(1 ) 4 S I x y dydz y dzdx yzdxdy ? ? ? ? ? ?? ，其中

9、 s 是曲線 ) 3 1 ( 01 ? ? ? ? ??? ? y xy z 繞 Y 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，它的法向量與 Y 軸 正向的夾角恒大于 / 2 ? ．解： 解：S 的方程為 2 2 1 y x z ? ? ? ，記 1 S ： 2 2 3, ( ) y x z ? ? ，知 1 S S ? 為封閉曲面，設(shè)其 方向取外側(cè)，所圍區(qū)域?yàn)? ，則由高斯公式，有 12 (8 1) 2(1 ) 4 S S I x y dydz y

10、dzdx yzdxdy ? ? ? ? ? ? ?? ? 12 (8 1) 2(1 ) 4 S x y dydz y dzdx yzdxdy ? ? ? ? ? ??12 1 0 2(1 ) 0 S dv y dydz ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? =3 21 2(1 3 )y z x D D dy dzdx dzdx ? ? ? ?? ??31 ( 1) 16 2 34 y dy ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 八

11、、 （本題滿分 八、 （本題滿分 10 分） 分） 設(shè)函數(shù) ) (x f 在閉區(qū)間[0,1] 上可微，對(duì)于[0,1] 上的每個(gè) x ，函數(shù)的值都在開區(qū)間(0,1)內(nèi)，且 1 ) ( ? ? x f .證明 在(0,1) 內(nèi)有且僅有一個(gè) x ，使 ( ) f x x ? ． 證： 證：令 ( ) ( ) h t f t t ? ? ，知 ( ) h t 在閉區(qū)間[0,1] 上連續(xù)，又由題設(shè)知0 ( ) 1 f x ? ? ，于是 有 (0

12、) (0) 0 0, (1) (1) 1 0 h f h f ? ? ? ? ? ? . 故由零點(diǎn)定理，在(0,1) 內(nèi)有 x ，使 ( ) f x x ? . 假若 ) (x f 在開區(qū)間(0,1) 內(nèi)有兩個(gè)不同的點(diǎn) 1 x 和 2 x ，使得 1 1 ( ) f x x ? ， 2 2 ( ) f x x ? ， 不妨設(shè) 1 2 x x ? ， 則易見 ) (x f 在閉區(qū)間[0,1] 上連續(xù)， 在(0,1) 內(nèi)可導(dǎo)， 故由拉格朗日