數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文近世代數(shù)

1、0群及其簡單性質(zhì) 群及其簡單性質(zhì)摘 要：首先本文給出群的定義，繼而討論群的各種基本性質(zhì)。并且討論了一種很重要的群——循環(huán)群。本文的最后詳細(xì)講解了群同態(tài)的一些性質(zhì)及其應(yīng)用。關(guān)鍵詞：群、群的性質(zhì)、循環(huán)群、群同態(tài)；Group and its simple propertiesAbstract：First the definition of group is given, and groups of all kinds of basic pro

2、perties are discussed .and it discusses on an important group of cyclic group. at the end of this article some properties and applications of the group of homomorphism are discussed in detail.Key Words：group, the prop

3、erties of group, cyclic group，group of homomorphism；0 前言： 前言：近世代數(shù)（modern algebra）又稱為抽象代數(shù)（abstract algebra） ，它的研究對(duì)象是代數(shù)系統(tǒng)，所謂代數(shù)系統(tǒng)，是由一個(gè)集合和定義在這個(gè)集合中的一種或若干種運(yùn)算所構(gòu)成的一個(gè)系統(tǒng)。由于代數(shù)系統(tǒng)中運(yùn)算個(gè)數(shù)以及對(duì)運(yùn)算所要求的附加條件不同，從而產(chǎn)生了各種不同的代數(shù)系統(tǒng)，這就形成了近世代數(shù)各個(gè)不同

4、的分支。其中最基本、最重要的分支是：群論、環(huán)論和域論，其中群論是基礎(chǔ)。體系的性質(zhì)取決于一些基本定律(如閉合律、結(jié)合律、交換律、分配律、零和單位元素、負(fù)和逆等)中有哪些成立。人們研究滿足某些特定定律的抽象體系，而群是現(xiàn)代代數(shù)學(xué)中最基本、最重要的代數(shù)系，是一個(gè)非?；钴S的領(lǐng)域，也是目前研究成果最豐富、研究最廣泛的代數(shù)系。群，簡而言之是對(duì)某種運(yùn)算滿足閉合律、結(jié)合律、單位元素和逆這些定律的代數(shù)系。這一代數(shù)系的提出，對(duì)于當(dāng)代數(shù)學(xué)及其它領(lǐng)域有著不可估

5、量的作用，是代數(shù)發(fā)展史上由古典代數(shù)進(jìn)入近世代數(shù)的里程碑。1 群的基本概念 群的基本概念1.1 1.1 群的定義 群的定義 2（稱為模 n 的加法）為 。 b a b a ? ? ?由于同余類的代表元有不同的選擇，我們必須驗(yàn)證以上定義的運(yùn)算結(jié)果與代表元的選擇無關(guān)。設(shè) ， ，則有 ， 2 1 a a ? 2 1 b b ? ) ( 2 1 a a n ?? ? ? ? 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 ) ( )

6、 ( ) ( ) ( ) ( b a b a b a b a n b b a a n b b n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以模 的加法是 中的一個(gè)二元運(yùn)算。顯然，單位元是 ， ， 的逆 n n Z 0 n Z k ? ? k元是 。所以 是群。 k n ? ) , ( ? n Z例 2：設(shè) ，在 中定義乘法（稱為模 n 的乘法） ? ? 1 ) , ( , ? ? ?? n k Z k k Z n n?n Z

7、為 。 ab b a ? ?對(duì)這個(gè)運(yùn)算不僅需要檢驗(yàn)它的唯一性，而且要檢驗(yàn)它的封閉性，因?yàn)橛桑?得出 并不明顯。? ? n Z a? ? n Z b? ? n Z ab先證封閉性：因?yàn)橛?和 ，所以 1 ) , ( , ? ? ?? n a Z b a n 1 ) , ( 1 ) , ( ? ? ? n ab n b。? ? n Z ab再證唯一性：設(shè) ， ，則有 ， 2 1 a a ? 2 1 b b ? ) ( 2 1 a a n

8、?? ?2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 22 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1) ( )] ( ) () [( ) ( ) ( ) ( ) (b a b a b a b a n b b a b a ab a b a n b a b a b a b a n b b a a n b b n? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以模 n 的乘法是 中的一

9、個(gè)二元運(yùn)算。?n Z結(jié)合律顯然滿足。單位元是 。對(duì) ，由 知 ，使 1? ? ? n Z a 1 ) , ( ? n a Z q p ? ? ,，因而有 ，即 ，所以 ，即 中 1 ? ? qn pa ) (mod 1 n pa ? 1 ? ? ? pa a p p a ? ?1 ?n Z每一元素均有逆元。綜上， 對(duì)模 n 的乘法構(gòu)成群。?n Z的階數(shù)為 —?dú)W拉函數(shù)：小于 n 并與 n 互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)。?n Z ) (n ?1.3