小學(xué)奧數(shù)數(shù)論50題_第1頁(yè)
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1、數(shù)論 數(shù)論 50 50 題1. 由 1,3,4,5,7,8 這六個(gè)數(shù)字所組成的六位數(shù)中,能被 這六個(gè)數(shù)字所組成的六位數(shù)中,能被 11 11 整除的最大的數(shù)是多少? 整除的最大的數(shù)是多少?【分析】 【分析】 各位數(shù)字和為 1+3+4+5+7+8=28所以偶數(shù)位和奇數(shù)位上數(shù)字和均為 14為了使得該數(shù)最大,首位必須是 8,第 2 位是 7,14-8=6那么第 3 位一定是 5,第 5 位為 1該數(shù)最大為 875413。2. 請(qǐng)用 請(qǐng)用 1,2

2、,5,7,8,9 這六個(gè)數(shù)字(每個(gè)數(shù)字至多用一次)來(lái)組成一個(gè)五位數(shù),使得它能被 這六個(gè)數(shù)字(每個(gè)數(shù)字至多用一次)來(lái)組成一個(gè)五位數(shù),使得它能被75 75 整除,并求出這 整除,并求出這樣的五位數(shù)有幾個(gè)? 樣的五位數(shù)有幾個(gè)?【分析】 【分析】 75=3×25若被 3 整除,則各位數(shù)字和是 3 的倍數(shù),1+2+5+7+8+9=32所以應(yīng)該去掉一個(gè)被 3 除余 2 的,因此要么去掉 2 要么去掉 8先任給一個(gè)去掉 8 的,17925

3、即滿足要求1) 若去掉 8則末 2 位要么是 25 要么是 75,前 3 位則任意排,有 3!=6 種排法因此若去掉 8 則有 2*6=12 個(gè)滿足要求的數(shù)2) 若去掉 2則末 2 位只能是 75,前 3 位任意排,有 6 種排法所以有 6 個(gè)滿足要求綜上所述,滿足要求的五位數(shù)有 18 個(gè)。3. 已知道六位數(shù) 已知道六位數(shù) 20 20□279 279 是 13 13 的倍數(shù),求□中的數(shù)字是幾? 的倍數(shù),求□中的數(shù)字是幾?【分析】 【分析

4、】 根據(jù)被 13 整除的判別方法,用末三位減去前面的部分得到一個(gè)兩位數(shù),十位是7,個(gè)位是( 9-□) ,它應(yīng)該是 13 的倍數(shù),因?yàn)?13|78,所以 9-□=8□中的數(shù)字是 14. 某自然數(shù), 某自然數(shù), 它可以表示成 它可以表示成 9 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和, 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和, 又可以表示成 又可以表示成 10 10 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和, 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和, 還可以表示成 還可以表示成 11 11 個(gè)連續(xù)自 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和,那么符合以上

5、條件的最小自然數(shù)是?( 然數(shù)的和,那么符合以上條件的最小自然數(shù)是?(2005 2005 全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽) 全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽)【分析】 【分析】 可以表示成連續(xù) 9 個(gè)自然數(shù)的和說(shuō)明該數(shù)能被 9 整除,可以表示成連續(xù) 10 個(gè)自然數(shù)的和說(shuō)明該數(shù)能被 5整除,可表示成連續(xù) 11 個(gè)自然數(shù)的和說(shuō)明該數(shù)能被 11 整除因此該數(shù)是[9,5,11]=495,因此符合條件的最小自然數(shù)是495。5. 一次考試中,某班同學(xué)有 一次考試中,某班同學(xué)有 1

6、 1 1考了優(yōu)秀, 考了優(yōu)秀, 考了良好, 考了良好, 考了及格,剩下的人不及格,已知該班同學(xué)的人數(shù)不超 考了及格,剩下的人不及格,已知該班同學(xué)的人數(shù)不超 3 2 7過 50 50,求有多少人不及格? ,求有多少人不及格?【分析】 【分析】 乍一看這應(yīng)該是一個(gè)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題,但實(shí)際上用到的卻是數(shù)論的知識(shí),由于人數(shù)必須是整數(shù),所以該班同學(xué)的人數(shù)必須同時(shí)是 2,3,7 的倍數(shù),也就是 42 的倍數(shù),又因?yàn)槿藬?shù)不超過 50,所以只能是 42 人,

7、因此不及格的人數(shù)為(1- 1 1 1- - )×42=1 人 2 3 76. (1)從 )從 1 到 3998 3998 這 3998 3998 個(gè)自然數(shù)中,有多少個(gè)能被 個(gè)自然數(shù)中,有多少個(gè)能被 4 整除? 整除?(2)從 )從 1 到 3998 3998 這 3998 3998 個(gè)自然數(shù)中,有多少個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被 個(gè)自然數(shù)中,有多少個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被 4 整除? 整除?(第14 14屆迎春杯考題) 屆迎春杯考題)

8、【分析】 【分析】 (1)3998/4=999….6 所以 1-3998 中有 996 個(gè)能被 4 整除的(2)考慮數(shù)字和,如果一個(gè)一個(gè)找規(guī)律我們會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律是不存在的因此我們考慮分組的方法c=(1999+b)/(5b-1) b=7時(shí) 算得c=59,是質(zhì)數(shù),符合要求因此a=5,b=7,c=59為滿足條件的三個(gè)質(zhì)數(shù)。12 12. 利用約數(shù)個(gè)數(shù)公式 利用約數(shù)個(gè)數(shù)公式1)分別求 分別求12 12,35 35和420 420的約數(shù)個(gè)數(shù) 的約數(shù)個(gè)

9、數(shù)2)分別求 )分別求4,6,和 ,和24 24的約數(shù)個(gè)數(shù) 的約數(shù)個(gè)數(shù)問題 問題1:對(duì)于 :對(duì)于1)的結(jié)果,你是否發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律? )的結(jié)果,你是否發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?問題 問題2:對(duì)于 :對(duì)于2)該規(guī)律是否仍然成立? )該規(guī)律是否仍然成立?問題 問題3:該規(guī)律成立的條件是什么,并證明你的結(jié)論 :該規(guī)律成立的條件是什么,并證明你的結(jié)論【分析】 【分析】 1)d(12)=6 d(35)=4 d(420)=24規(guī)律:12×35=420

10、d(12)×d(35)=d(420)2) d(4)=3 d(6)=4 d(24)=8,規(guī)律不再成立3) 規(guī)律是若(a,b)=1,則d(a)×d(b)=d(ab)證明用約數(shù)個(gè)數(shù)公式即可13 13. 一個(gè)數(shù)的完全平方有 一個(gè)數(shù)的完全平方有 39 39 個(gè)約數(shù),求該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是多少? 個(gè)約數(shù),求該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是多少?【分析】 【分析】 設(shè)該數(shù)為 p1^a1×p2^a2×…pn^an那么它的平方就是p1

11、^(2a1)×p2^(2a2)…×pn(2an)因此(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1)=39由于39=3×13=1×39(1)所以2a1+1=3,2a2+1=13a1=1,a2=6故該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)為(1+1)×(6+1)=14(2)或者:2a1+1=39a1=19,那么19+1=20個(gè)14 14. 從 1/2 1/4 1/6 1/8 1/10 1/12 1/2 1/4 1/6

12、1/8 1/10 1/12 中去掉 中去掉 2 個(gè)分?jǐn)?shù),可使得剩下 個(gè)分?jǐn)?shù),可使得剩下 4 個(gè)分?jǐn)?shù)之和為 個(gè)分?jǐn)?shù)之和為 1,問去掉哪兩個(gè)?(希望杯 ,問去掉哪兩個(gè)?(希望杯試題) 試題)【分析】 【分析】 單純?cè)嚨姆椒ó?dāng)然可以,但本題如果我們對(duì)數(shù)論知識(shí)理解透徹并應(yīng)用上的話不需要任何計(jì)算就可以“看出”去掉的是 1/8 和 1/10理由如下1)因?yàn)榉帜咐?是獨(dú)一無(wú)二的有3個(gè)質(zhì)因子2的,所以必須去掉2)因?yàn)?0是分母里獨(dú)一無(wú)二的含有質(zhì)因子5的

13、,所以也必須去掉15 15. 甲乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是 甲乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是 60 60,最大公約數(shù)是 ,最大公約數(shù)是 6,已知甲數(shù)是 ,已知甲數(shù)是 12 12,求乙數(shù)。 ,求乙數(shù)?!痉治觥?【分析】 直接用公式[a,b]×(a,b)=ab,代入即得乙數(shù)=3016 16. 已知甲乙兩數(shù)的和加上它們的最大公約數(shù)恰好等于它們的最小公倍數(shù),求它們的最小公倍數(shù)除以它們的最大 已知甲乙兩數(shù)的和加上它們的最大公約數(shù)恰好等于它們的最小公倍數(shù),求

14、它們的最小公倍數(shù)除以它們的最大公約數(shù)所得的商是幾? 公約數(shù)所得的商是幾?【分析】 【分析】 設(shè)甲數(shù)為 a,乙數(shù)為 b,并設(shè) a=(a,b)×a’,b=(a,b)×b’,則[a,b]=(a,b)a’b’根據(jù)題意得 (a,b)a’b’=(a,b)×a’+(a,b)×b’+(a,b)兩邊同時(shí)約掉(a,b)得到 a’b’=a’+b’+1所以a’b’-a’-b’+1=2 (a’-1)(b’-1)=2 得

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