小學(xué)奧數(shù)數(shù)論50題

1、數(shù)論 數(shù)論 50 50 題1． 由 1，3，4，5，7，8 這六個數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被 這六個數(shù)字所組成的六位數(shù)中，能被 11 11 整除的最大的數(shù)是多少？ 整除的最大的數(shù)是多少？【分析】 【分析】 各位數(shù)字和為 1+3+4+5+7+8=28所以偶數(shù)位和奇數(shù)位上數(shù)字和均為 14為了使得該數(shù)最大，首位必須是 8，第 2 位是 7，14-8=6那么第 3 位一定是 5，第 5 位為 1該數(shù)最大為 875413。2． 請用 請用 1，2

2、，5，7，8，9 這六個數(shù)字（每個數(shù)字至多用一次）來組成一個五位數(shù)，使得它能被 這六個數(shù)字（每個數(shù)字至多用一次）來組成一個五位數(shù)，使得它能被75 75 整除，并求出這 整除，并求出這樣的五位數(shù)有幾個？ 樣的五位數(shù)有幾個？【分析】 【分析】 75=3×25若被 3 整除，則各位數(shù)字和是 3 的倍數(shù)，1+2+5+7+8+9=32所以應(yīng)該去掉一個被 3 除余 2 的，因此要么去掉 2 要么去掉 8先任給一個去掉 8 的，17925

3、即滿足要求1） 若去掉 8則末 2 位要么是 25 要么是 75，前 3 位則任意排，有 3！=6 種排法因此若去掉 8 則有 2*6=12 個滿足要求的數(shù)2） 若去掉 2則末 2 位只能是 75，前 3 位任意排，有 6 種排法所以有 6 個滿足要求綜上所述，滿足要求的五位數(shù)有 18 個。3． 已知道六位數(shù) 已知道六位數(shù) 20 20□279 279 是 13 13 的倍數(shù)，求□中的數(shù)字是幾？ 的倍數(shù)，求□中的數(shù)字是幾？【分析】 【分析

4、】 根據(jù)被 13 整除的判別方法，用末三位減去前面的部分得到一個兩位數(shù)，十位是7，個位是（ 9-□） ，它應(yīng)該是 13 的倍數(shù)，因為 13|78,所以 9-□=8□中的數(shù)字是 14． 某自然數(shù)， 某自然數(shù)， 它可以表示成 它可以表示成 9 個連續(xù)自然數(shù)的和， 個連續(xù)自然數(shù)的和， 又可以表示成 又可以表示成 10 10 個連續(xù)自然數(shù)的和， 個連續(xù)自然數(shù)的和， 還可以表示成 還可以表示成 11 11 個連續(xù)自 個連續(xù)自然數(shù)的和，那么符合以上

5、條件的最小自然數(shù)是？（ 然數(shù)的和，那么符合以上條件的最小自然數(shù)是？（2005 2005 全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽） 全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽）【分析】 【分析】 可以表示成連續(xù) 9 個自然數(shù)的和說明該數(shù)能被 9 整除，可以表示成連續(xù) 10 個自然數(shù)的和說明該數(shù)能被 5整除，可表示成連續(xù) 11 個自然數(shù)的和說明該數(shù)能被 11 整除因此該數(shù)是[9,5,11]=495，因此符合條件的最小自然數(shù)是495。5． 一次考試中，某班同學(xué)有 一次考試中，某班同學(xué)有 1

6、 1 1考了優(yōu)秀， 考了優(yōu)秀， 考了良好， 考了良好， 考了及格，剩下的人不及格，已知該班同學(xué)的人數(shù)不超 考了及格，剩下的人不及格，已知該班同學(xué)的人數(shù)不超 3 2 7過 50 50，求有多少人不及格？ ，求有多少人不及格？【分析】 【分析】 乍一看這應(yīng)該是一個分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，但實際上用到的卻是數(shù)論的知識，由于人數(shù)必須是整數(shù)，所以該班同學(xué)的人數(shù)必須同時是 2，3，7 的倍數(shù)，也就是 42 的倍數(shù)，又因為人數(shù)不超過 50，所以只能是 42 人，

7、因此不及格的人數(shù)為（1- 1 1 1- - ）×42=1 人 2 3 76． （1）從 ）從 1 到 3998 3998 這 3998 3998 個自然數(shù)中，有多少個能被 個自然數(shù)中，有多少個能被 4 整除？ 整除？（2）從 ）從 1 到 3998 3998 這 3998 3998 個自然數(shù)中，有多少個數(shù)的各位數(shù)字之和能被 個自然數(shù)中，有多少個數(shù)的各位數(shù)字之和能被 4 整除？ 整除？（第14 14屆迎春杯考題） 屆迎春杯考題）

8、【分析】 【分析】 （1）3998/4=999….6 所以 1-3998 中有 996 個能被 4 整除的（2）考慮數(shù)字和，如果一個一個找規(guī)律我們會發(fā)現(xiàn)規(guī)律是不存在的因此我們考慮分組的方法c=(1999+b)/(5b-1) b=7時 算得c=59，是質(zhì)數(shù)，符合要求因此a=5，b=7，c=59為滿足條件的三個質(zhì)數(shù)。12 12． 利用約數(shù)個數(shù)公式 利用約數(shù)個數(shù)公式1）分別求 分別求12 12，35 35和420 420的約數(shù)個數(shù) 的約數(shù)個

9、數(shù)2）分別求 ）分別求4，6，和 ，和24 24的約數(shù)個數(shù) 的約數(shù)個數(shù)問題 問題1：對于 ：對于1）的結(jié)果，你是否發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ ）的結(jié)果，你是否發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？問題 問題2：對于 ：對于2）該規(guī)律是否仍然成立？ ）該規(guī)律是否仍然成立？問題 問題3：該規(guī)律成立的條件是什么，并證明你的結(jié)論 ：該規(guī)律成立的條件是什么，并證明你的結(jié)論【分析】 【分析】 1）d(12)=6 d(35)=4 d(420)=24規(guī)律：12×35=420

10、d(12)×d(35)=d(420)2) d(4)=3 d(6)=4 d(24)=8,規(guī)律不再成立3） 規(guī)律是若(a,b)=1，則d(a)×d(b)=d(ab)證明用約數(shù)個數(shù)公式即可13 13． 一個數(shù)的完全平方有 一個數(shù)的完全平方有 39 39 個約數(shù)，求該數(shù)的約數(shù)個數(shù)是多少？ 個約數(shù)，求該數(shù)的約數(shù)個數(shù)是多少？【分析】 【分析】 設(shè)該數(shù)為 p1^a1×p2^a2×…pn^an那么它的平方就是p1

11、^(2a1)×p2^(2a2)…×pn(2an)因此(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1)=39由于39=3×13=1×39（1）所以2a1+1=3,2a2+1=13a1=1,a2=6故該數(shù)的約數(shù)個數(shù)為(1+1)×(6+1)=14（2）或者：2a1+1=39a1=19,那么19+1=20個14 14． 從 1/2 1/4 1/6 1/8 1/10 1/12 1/2 1/4 1/6

12、1/8 1/10 1/12 中去掉 中去掉 2 個分?jǐn)?shù)，可使得剩下 個分?jǐn)?shù)，可使得剩下 4 個分?jǐn)?shù)之和為 個分?jǐn)?shù)之和為 1，問去掉哪兩個？（希望杯 ，問去掉哪兩個？（希望杯試題） 試題）【分析】 【分析】 單純試的方法當(dāng)然可以，但本題如果我們對數(shù)論知識理解透徹并應(yīng)用上的話不需要任何計算就可以“看出”去掉的是 1/8 和 1/10理由如下1）因為分母里8是獨一無二的有3個質(zhì)因子2的，所以必須去掉2）因為10是分母里獨一無二的含有質(zhì)因子5的

13、，所以也必須去掉15 15． 甲乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是 甲乙兩數(shù)最小公倍數(shù)是 60 60，最大公約數(shù)是 ，最大公約數(shù)是 6，已知甲數(shù)是 ，已知甲數(shù)是 12 12，求乙數(shù)。 ，求乙數(shù)?！痉治觥?【分析】 直接用公式[a,b]×(a,b)=ab，代入即得乙數(shù)=3016 16． 已知甲乙兩數(shù)的和加上它們的最大公約數(shù)恰好等于它們的最小公倍數(shù)，求它們的最小公倍數(shù)除以它們的最大 已知甲乙兩數(shù)的和加上它們的最大公約數(shù)恰好等于它們的最小公倍數(shù)，求

14、它們的最小公倍數(shù)除以它們的最大公約數(shù)所得的商是幾？ 公約數(shù)所得的商是幾？【分析】 【分析】 設(shè)甲數(shù)為 a，乙數(shù)為 b，并設(shè) a=（a,b）×a’，b=(a,b)×b’,則[a,b]=(a,b)a’b’根據(jù)題意得 (a,b)a’b’=（a,b）×a’+(a,b)×b’+（a,b）兩邊同時約掉(a,b)得到 a’b’=a’+b’+1所以a’b’-a’-b’+1=2 (a’-1)(b’-1)=2 得