關(guān)于Euler-Poisson方程組和Euler方程組的漸近性研究.pdf

1、本文概述了半導(dǎo)體器件模型的分類及近期發(fā)展，重點探討了半導(dǎo)體模型中的Euler-Poisson方程組(也稱經(jīng)典的流體動力學(xué)模型)和一類帶阻尼項的可壓型Euler方程組在平衡態(tài)附近的擾動問題。基于Littlewood-Paley分解和仿微分演算的技術(shù)，我們降低了初值所在空間的正則性，進而改進了在Sobolev空間中已有的一些結(jié)果。在Besov空間的框架下，相應(yīng)地，我們建立了經(jīng)典解的整體存在性，唯一性和穩(wěn)定性，并進一步考察了流體旋度隨時間的發(fā)

2、展情況。在此適定性結(jié)果的基礎(chǔ)上，相關(guān)的馳豫極限問題也被考慮。 略微具體地說，我們研究了三個問題，分別將其放入本文的第三章，第四章以及第五章。 在第三章中，作為研究的出發(fā)點，我們首先考慮了半導(dǎo)體模型中的高維簡化(等熵或等熱情形)Euler-Poisson方程組(1.2.2)的柯西問題，當(dāng)初值在平衡態(tài)附近擾動時，建立了該問題經(jīng)典解的整體存在性，唯一性和指數(shù)穩(wěn)定性。過去十年里，在光滑解的適定性以及穩(wěn)定性方面，許多學(xué)者關(guān)于Eul

3、er-Poisson方程組的柯西問題和初邊值問題分別在一維空間或高維空間中已做了不少的結(jié)果，這些結(jié)果基本上是在Sobolev空間H<'e>(R<'d>)的框架下得到的。由于人們借助于經(jīng)典分析方法的緣故，導(dǎo)致空間的正則性要求相當(dāng)高(e>1+d/2，e∈Z)。在本章中，我們將研究指標的極限情形e=1+d/2。在這種情形下，關(guān)于Kato的經(jīng)典局部存在性理論就不適用了，我們所選取的工作空間是一類Besov空間B<'1+d/2><,2,1>(R<

4、'd>)，而不再是H<'1+d/2>(R<'d>)。第一步，利用正則化手段和緊性方法，我們證明了該方程組的柯西問題在一般初值下經(jīng)典解的局部存在性和唯一性。盡管主要的思路是將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個對稱雙曲系統(tǒng)來處理，但一些來于Poisson方程的具體內(nèi)容仍需要考慮。在經(jīng)典解的局部存在性基礎(chǔ)上，第二步，當(dāng)初值在平衡態(tài)附近擾動時，我們證得了經(jīng)典解的整體存在性和指數(shù)衰減性。所用的證明方法是高低頻分解方法。在證明中，我們獲悉了馳豫項僅對解的整體存在性起

5、作用；同時也理解了Poisson方程在低頻估計過程中所起的關(guān)鍵作用，此作用導(dǎo)致了經(jīng)典解的指數(shù)衰減性。這里，我們沒有對方程組解假設(shè)任何幾何結(jié)構(gòu)，進而，在整體解的基礎(chǔ)上，在Besov空間中我們刻畫了旋度隨時間發(fā)展呈指數(shù)性衰減。 依照類似的過程，我們把結(jié)果推廣到完整的流體動力學(xué)模型(1.2.1)零熱傳導(dǎo)情形。除了更加繁瑣的計算外，在譜局部化過程中，一些新的困難會出現(xiàn)。幸運的是，我們發(fā)掘了隱藏在質(zhì)量守恒方程以及能量守恒方程中的信息，最終

6、幫助我們克服了這些困難。簡明起見，我們僅陳述相關(guān)的結(jié)果，詳細的證明見[24]。這些結(jié)果可以認為是Hsiao[38]和An[1]等人成果的改進。 在第四章中，我們在Besov空間框架下研究了帶阻尼項的高維可壓型Euler方程組的柯西問題。與半導(dǎo)體中的簡化流體動力學(xué)模型相比，方程組少了關(guān)于靜電勢耦合的Poisson方程。在本章中，我們?nèi)匀豢紤]系統(tǒng)在平衡態(tài)附近的擾動問題?；诘谌戮植看嬖谛远ɡ淼淖C明，類似地，我們可獲得帶阻尼項的可壓

7、型Euler方程組的柯西問題經(jīng)典解的局部存在性和唯一性，此時空間維數(shù)可包含一維情形。因低頻估計的差異，為了確保經(jīng)典解的整體存在性，我們需要選取比B<'1+d/2><,2,1>(R<'d>)更強的空間B<'1+d/2><,2,2>(R<'d>)(ε>0)。由于技巧上的緣故，我們要限制空間維數(shù)d≥3。作為直接的推論，我們證明了當(dāng)時間t→∞時，經(jīng)典解在某Besov空間中趨向于平衡態(tài)的漸近行為。最后，同樣也刻畫了旋度隨時間發(fā)展的指數(shù)衰減性。這些

8、結(jié)果可以視為Sideris[75]等人成果的改進。 在第五章中，我們觀察了方程組解關(guān)于馳豫時間τ的大時間尺度變換的一個有趣現(xiàn)象。對于半導(dǎo)體模型中的等熱Euler-Poisson方程組，我們進一步精細了第三章中的先驗估計，使得整體存在性定理中的一些常數(shù)不依賴于τ，然后利用弱收斂方法和緊性方法，即得零馳豫時間極限：以τ作為時間尺度變換后的經(jīng)典解強收斂到漂移擴散模型(5.1.6)的解。作為副產(chǎn)品，我們獲得了高維漂移擴散模型弱解的整體存