廣義牛頓型算法求解兩類離散非光滑問題.pdf

1、障礙問題和Hamilton-Jacobi-Bellman方程(簡稱HJB方程)問題產(chǎn)生于機械、工程技術(shù)、物理、金融、最優(yōu)控制等領(lǐng)域.它們的數(shù)值解,尤其是大規(guī)模問題數(shù)值解的研究是工程界和計算數(shù)學界一個非常熱門課題.近幾十年來,取得了許多成果.既然障礙問題和HJB方程是兩類典型的非光滑問題,在本文中,我們將研究求解這兩類問題的廣義牛頓型算法.
　　 在第2章,我們提出了廣義牛頓Schwarz迭代法來求解離散的單邊障礙問題.該算法的優(yōu)

2、點如下:(1)算法在每個牛頓迭代步,只采用有限步加性或乘性Schwarz迭代來求解一個低維線性方程組的近似解而不需要求解該線性方程組的精確解,從而可以大大減少計算工作量;(2)算法具有單調(diào)收斂性且在適當條件下超線性收斂到問題的解.此外,與其它具有單調(diào)收斂的Schwarz算法相比較,該算法的初始迭代很容易選取.
　　 在第3章,我們提出了求解離散HJB方程的廣義牛頓法并證明了算法的單調(diào)收斂及局部超線性收斂性.該算法的優(yōu)點是每個牛頓

3、步只求解一個線性方程組從而便于采用線性方程組的快速求解器進行求解.特別地,我們驗證了Lions以及Mercier于1980年提出的迭代格式Ⅱ是一類特殊的廣義牛頓法,所以該迭代格式具有局部超線性收斂性.進一步,我們研究了求解離散HJB方程的廣義牛頓迭代法.該算法在每個牛頓步均采用迭代法來求解線性子問題的一個近似解從而大大地減小了計算工作量.在適當?shù)臈l件下我們證明了算法具有局部超線性收斂性.數(shù)值實驗表明了算法是非常有效的.
　　 在

4、第4章,我們研究了求解離散的雙邊障礙問題的阻尼廣義牛頓法.與離散的單邊障礙問題的情形相比,離散的雙邊障礙問題的求解難度更大.當采用古典的有效集策略或增廣拉格朗日策略進行求解,常常得不到算法的單調(diào)收斂性.本章中,通過選取適當?shù)某跏嫉约霸诿總€迭代步選取一個適當?shù)淖枘嵋蜃?我們證明了阻尼廣義牛頓法是單調(diào)收斂的且具有有限步終止性.而且當問題退化為單邊障礙問題時,阻尼廣義牛頓法等價于古典的有效集策略算法(或增廣拉格朗日策略算法).