非局部擴(kuò)散方程的行波解和整體解.pdf

1、反應(yīng)擴(kuò)散方程理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要組成部分.經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散方程中的擴(kuò)散項是由Laplace算子來體現(xiàn)的，而Laplace算子只能反映空間上的局部作用.事實上，在自然界中，空間上的非局部作用是普遍存在的.例如對一個生物種群來說，它會在較大的空間范圍內(nèi)移動而不僅僅局限在一個小范圍內(nèi)，這就導(dǎo)致了空間上非局部作用的發(fā)生.近年來，在生態(tài)系統(tǒng)、流行病學(xué)，材料科學(xué)等領(lǐng)域，人們建立了許多用卷積算子來描述空間非局部作用的擴(kuò)散方程，稱之為非局部擴(kuò)散方程.然而空

2、間的非局部性不但導(dǎo)致了數(shù)學(xué)理論研究上的困難，而且引起了許多動力學(xué)行為上的本質(zhì)改變.例如，非局部性可能導(dǎo)致方程不滿足最大值原理，解的正則性降低，使得行波解的最小波速增大，行波解不唯一，也可能產(chǎn)生跳躍行波解等.因此，對非局部擴(kuò)散方程的研究具有重要的理論和實際意義.本論文研究一維非局部擴(kuò)散方程的行波解和整體解，這里所謂的整體解是指對所有時間t∈R都有定義的解.
　　 本文首先考慮了非迷向單穩(wěn)型非局部擴(kuò)散方程的行波解.通常在研究非局部擴(kuò)

3、散方程的行波解問題時，人們先證明方程行波解的存在性，然后再研究行波解在無窮遠(yuǎn)處的指數(shù)衰減行為，這就要求卷積算子的核函數(shù)的性質(zhì)相當(dāng)好.為了減弱核函數(shù)的條件，我們直接研究指數(shù)衰減的行波解的存在性.先將方程行波解的存在性問題轉(zhuǎn)化為一個適當(dāng)算子的不動點(diǎn)問題.構(gòu)造合適的上下解，利用上下解方法結(jié)合單調(diào)迭代技巧來證明指數(shù)衰減的行波解的存在性.接著運(yùn)用活動平面技術(shù)證明了行波解的唯一性.進(jìn)一步地，為了證明行波解的漸近穩(wěn)定性，我們建立了一系列初值問題的解的

4、性質(zhì)，并構(gòu)造了相應(yīng)的上下解.
　　 其次研究了非局部擴(kuò)散方程的整體解.因為非局部擴(kuò)散算子使得解的光滑性降低，為了保證初值問題的解函數(shù)序列的收斂性，我們提高了對非線性項函數(shù)的要求，使得解函數(shù)關(guān)于空間變量Lipschitz連續(xù).通過利用兩列沿著實軸兩端以不同波速相向而行的行波解和空間齊次的解，分別建立了迷向單穩(wěn)型非局部擴(kuò)散方程的含五個參數(shù)，四個參數(shù)及三個參數(shù)的新型整體解，并得到了一些相關(guān)的性質(zhì).
　　 最后，考慮了迷向雙穩(wěn)型