偽代數(shù)與Ringel-Hall代數(shù)的若干研究.pdf

1、本文主要考慮偽代數(shù)結(jié)構(gòu)的推廣．偽代數(shù)就是偽張量范疇中定義的代數(shù)，是由Bakalov，D′Andrea和Kac在[10]中引入的.它可以看成是共形代數(shù)[20]的“高維”推廣．偽代數(shù)理論與非線性演化方程理論中的哈米爾頓公式有密切的聯(lián)系(參看[21，22，23，27，39，57])．這一領(lǐng)域的專(zhuān)家期望，在特定條件下，“高維”的李偽代數(shù)與“高維”的頂點(diǎn)算子代數(shù)[13]有密切關(guān)系.而且，他們還相信，偽代數(shù)理論與量子群有緊密聯(lián)系．總之，偽代數(shù)理論在

2、數(shù)學(xué)和物理上有著廣闊前景．
　　 第二章，我們首先介紹了一種新的代數(shù)結(jié)構(gòu)：n-李H-偽代數(shù)，這推廣了李H-偽代數(shù)和Filippov代數(shù)．并且，我們還討論了n-李H-偽代數(shù)的一些性質(zhì)及其表示理論，給出了n-李H-偽代數(shù)版本的Engel定理.在這一章的最后，我們展示了n-李H-偽代數(shù)的物理前景.
　　 第三章的主要目的是研究H-偽代數(shù)的推廣：Hom-H-偽代數(shù)結(jié)構(gòu)，給出了這種新的代數(shù)結(jié)構(gòu)的例子，介紹了一些性質(zhì)以及構(gòu)造定理.而

3、且，類(lèi)似于H-偽代數(shù)的情況，討論了Hom-H-偽代數(shù)對(duì)應(yīng)的零化子代數(shù)以及Hom-H-偽代數(shù)的等價(jià)定義．最后我們考慮Hom-李H-偽代數(shù)的上同調(diào)并且描述了它關(guān)于Hom-李H-偽代數(shù)的擴(kuò)張性質(zhì)．我們還刻畫(huà)了Hom-李H-偽代數(shù)的上同調(diào)與對(duì)應(yīng)的零化子代數(shù)的上同調(diào)的關(guān)系.
　　 第四章，主要討論了n元的Hom-李H-偽代數(shù)，這是對(duì)第二章和第三章的共同推廣，同時(shí)也是對(duì)n元的Hom-Nambu-李代數(shù)的推廣．類(lèi)似于第三章，我們描述了它的等價(jià)

4、定義，展示了一些例子還有一些性質(zhì)以及構(gòu)造定理.而且還提供了從一個(gè)n元的Hom-李H-偽代數(shù)構(gòu)造一個(gè)n元的Hom-Nambu-李代數(shù)的一種途徑，討論了它的表示理論與其對(duì)應(yīng)的零化子代數(shù)的表示理論之間的關(guān)系．最后，討論了引入n元的Hom-李H-偽代數(shù)的意義．
　　 最后一章，我們主要展示了擴(kuò)張的扭的多參數(shù)Ringel-Hall代數(shù)HV(A)的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu).對(duì)偶地，構(gòu)建了另外一個(gè)Hopf代數(shù)使得H(?)(A)和HV(A)cop作為H