正則性理論的新方法及其在非線性偏微分方程組和擬凸積分中的應(yīng)用.pdf

1、弱解的正則性理論是近代偏微分方程領(lǐng)域極具挑戰(zhàn)性從而倍受關(guān)注的熱點問題之一，其研究歷史悠久。早在1900年在巴黎召開的國際數(shù)學(xué)家大會上，D.Hilbert提出的著名的23個公開問題中就有兩個(問題第19和第20個)是對解的正則性的敘述，凸現(xiàn)了正則性理論研究的難度與重要意義。 部分正則性研究的經(jīng)典方法是“凝固系數(shù)法”，即：通過“凝固系數(shù)”得到常系數(shù)方程組，再把解跟由“凝固系數(shù)”后得到的常系數(shù)方程組所構(gòu)成的Dirichlet問題的解進

2、行比較，得到重要的衰減(Decay)估計(也稱單調(diào)性不等式)并進行常規(guī)的迭代，從而推出部分正則性結(jié)果.其中需要用到復(fù)雜而繁瑣的反Holder不等式或Gehring引理，更令人感到遺憾的是由此所得到的部分正則性不是最優(yōu)的，即:Holder正則性指標(biāo)低于已知系數(shù)函數(shù)的Holder連續(xù)性務(wù)件中的指標(biāo)。且奇異集大小的估計不夠精確. 因此，本文采用部分正則性研究的新方法-A-調(diào)和逼近方法。來研究具有可控增長條件和自然增長條件的非線性偏微分

3、方程組弱解的部分正則性。這種新方法是通過A-調(diào)和逼近引理架起A-調(diào)和函數(shù)和非線性偏微分方程組之間的橋梁。使得我們能夠根據(jù)文章的實際需要構(gòu)造某個跟弱解u相關(guān)的特定函數(shù)，通過A-調(diào)和逼近引理，揭示了存在這樣的A-調(diào)和函數(shù)在L2意義下跟該特定函數(shù)靠得非常近，從而可以利用A-調(diào)和函數(shù)那些好的性質(zhì)，推出需要的衰減(Decay)估計，由此得到部分正則性結(jié)果. “A-調(diào)和逼近方法”和經(jīng)典的“凝固系數(shù)法”關(guān)鍵的差別是：解是與在L2意義下跟我們構(gòu)

4、造的特定函數(shù)充分靠近的A-調(diào)和函數(shù)進行比較，而不是跟由。凝固系數(shù)。后得到的常系數(shù)方程組所構(gòu)成的Dirichlet問題的解進行比較的.這種新方法不但大大簡化了證明過程，更重要的是得到了最優(yōu)部分正則性結(jié)果. 本文的主要創(chuàng)新點是(文中m表示的是弱解u的梯度Du的增長指標(biāo)): (1)對具有自然增長條件的偏微分方程組，由于弱解u的有界性，即，｜U｜≤M<∞。使得它的處理方法比具有可控增長條件的情形簡單多了，但我們所得到的在自然增長

5、條件下弱解的奇異集大小比前人所得到的要精確得多。 (2)據(jù)我們所了解，在可控增長條件下非線性偏微分方程組弱解的部分正則性此前并沒有好的結(jié)果，甚至連m≡2時的Caccioppoli第二不等式都沒有人證明過，更不用說m>2或1

6、成功地處理了當(dāng)m>2時非線性橢圓方程組弱解的最優(yōu)部分正則性問題，而且對1

7、組、非線性拋物方程組、退縮橢圓方程組、穩(wěn)態(tài)的Navier-Stokes方程組的弱解以及擬凸積分極小的部分正則性.具體如下： 1、非線性橢圓方程組當(dāng)m>2時，本文采用A-調(diào)和逼近方法得到了弱解的最優(yōu)部分正則性結(jié)果.但是，由于A-調(diào)和逼近技巧只能夠處理m≡2的情形，而對m≠2的情況束手無策，本文通插值技巧解決了這個問題。 當(dāng)1

8、和逼近方法使得我們可以繼續(xù)對這類非線性橢圓方程組弱解的部分正則性問題進行探討。然而此刻卻出現(xiàn)了積分函數(shù)的指數(shù)-1/2

9、橢圓方程組本部分特別將A-調(diào)和逼近技巧改進為p-調(diào)和逼近方法來研究退縮橢圓方程組弱解的最優(yōu)部分正則性問題.然而，由于可控增長條件本身的特點和弱解u沒有有界性條件，使得對該方程組的最優(yōu)部分正則性研究困難重重.為了克服這道難關(guān)，我們在譚忠和嚴(yán)子謙于1992年處理退縮橢圓方程組和障礙問題的論文的啟發(fā)下。結(jié)合p-調(diào)和逼近技巧和Sobolev空間的性質(zhì)，推出了適當(dāng)形式的Caccioppoli不等式，從而得到-個頗具掙色的衰減(Decay)估計，使

10、得退縮橢圓方程組弱解的最優(yōu)部分正則性問題迎刃而解。 3、非線性拋物方程組本部分應(yīng)用的是在A-調(diào)和逼近方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的A-熱調(diào)和逼近方法.由于這里的弱解u不但跟時間t有關(guān)而且沒有有界性條件，再加上缺乏相應(yīng)的Caccioppoli第二不等式，使得我們的研究舉步為艱。最終，我們在嚴(yán)子謙于1986年處理非線性拋物方程組的啟示下，充分挖掘可控增長條件那些好的性質(zhì)，結(jié)合A-熱調(diào)和逼近技巧和解決非線性橢圓方程組的技巧，終于排除困境，得到

11、了具有可控增長條件的非線性拋物方程組弱解的最優(yōu)部分正則性結(jié)果。 4、穩(wěn)態(tài)的Navier-Stokes方程組對于簡單形式的穩(wěn)態(tài)的Navier-Stokes方程組的部分正則性以及奇異集的大小估計已有較好的結(jié)果，但對具有一般結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)的Navier-Stokes方程組，自1979年Giaquinta的工作之后就沒有好的結(jié)果，我們通過A-調(diào)和逼近技巧，結(jié)合以往處理該方程組的方法，同時注意到弱解的散度和梯度之間的關(guān)系，終于改進了Giaqu

12、inta的結(jié)果，得到了該方程組的最優(yōu)部分正則性. 5、擬凸積分極小跟x,u無關(guān)且泛函的積分函數(shù)f(Du)的增長指標(biāo)m>2的擬凸積分極小，我們采用A-調(diào)和逼近方法，充分應(yīng)用擬凸積分極小本身的特點，并結(jié)合A-調(diào)和逼近技巧和插值技巧得到所需的最優(yōu)部分正則性結(jié)果。 跟x，u有關(guān)且泛函的積分函數(shù)f(x，u，Du)的增長指標(biāo)1