一類擬周期系數(shù)的線性微分方程的約化問題.pdf

1、全 4 1 3 5 口 ，摘 要經(jīng)典的F l o q u e n t 定理敘述了 任何周期系數(shù)的線 性微分方程i = A ( t ) x 通過一 個周期變換都可以被約化成為一個常系數(shù)微分方程y 可以推廣到復數(shù)域上， 此變換具有與A ( t ) 相同的周期 = B y ，而且這樣的變換一個很自 然的想法是如果矩陣 A ( t ) 是擬周期的，是否也有如此好的 結論 呢?對此國內外許多數(shù)學家在這方面進行了研究。我們也在這方面進行了一 些嘗試

2、 房 慮 一 類 擬 周 期 系 數(shù) 的 線 性 微 分 方 程i 二( a +E Q ( t , E ) ) x當 A的特征值和 Q [ ? : ，[ 6 1 和 【 i ] 等證明 的頻率滿足一定的非共振性條件時，方程的約化性已由上述方程的可約化性。定理 1 : 考慮方程:其中 1 = d i a . q ( A j ,這里我們考慮當A的特征值和Q的頻率發(fā)生共振時， 證明了下列定理:x 二 二 二凡 ， 徹 一 l( A+E

3、Q ( t , E ) ) x· ， 入 d , 氣, _ i + t( 1 . 1 ) 人 、 ) 是一個 對角 形 矩陣 ; Q ( t ) 二 ( ( r z , ( t ) ) I岸 d d s _ I 2 6 > 0 , 1 三 : ， ， + A ， 一 A 7 =0 ， w h e r e k , j =一 蛛，d o =。 ， V d , _ 1+ A ‘ 一 a j j > -, b

4、‘ 一 :t a n d Q = d i a 9 ( Q i , Q 2 ， 一， Q a ) , w h e r e Q , = ( 。 護 ) d 。 一 : 0 , 1 < i , j < d d , 0 <〔 < E 0 .I f t h e a b o v e n o n r e s o n a n c e c o n d i t i o n s a n d n o n d

5、 e g e n e r a c y c o n d i t i o n s h o l d , t h e n t h e r e e x i s t s a n o n e m p t y C a n t o r s u b s e t 盡。 〔( 0 , c o ) w i t h p o s i t i v e L e b e s g u e m e a s u r e , s u c h t h

6、a t f o r 〔 〔 及。 t h e e q u a t i o n s ( 1 . 1 ) a r e r e d u c i b l e ; h e , t h e r e e x i s t s a n o n s i n g u l a r q u a s i p e r i o d i c t r a n s f o r m a t i o n x =T ( t ) y s u c h t h

7、 a t i t c h a n g e s ( 1 . 1 ) t o y =B y , w h e r e B i s a c o n s t a n t m a t r i x . I f 。 。 i s s m a l l e n o u g h , t h e r e l a t i v e m e a s u r e o f 及 。 i n ( 0 , 。 。 ) i s c l o s

8、 e t o 1 . M o r e o v e r , t h e q u a s i p e r i o d i c t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x % Y ( t ) h a s t h e s a m e f r e q u e n c i e s a s Q ( t ) .W e s e c o n d l y c o n s i d e r a

9、 k i n d o f e f e c t i v e r e d u c i b i l i t y o f t h e a b o v e e q u a t i o n s . H e r e A h a v e t h e s a m e e i g e n v a l u e s . W e g e t t h e r e s u l t o f e f e c t i v e r e