具有對(duì)稱單峰系數(shù)的多項(xiàng)式的研究.pdf

1、博士學(xué)位論文具有對(duì)稱單峰系數(shù)的多項(xiàng)式的研究P o l y n o m i a l s w i t hS y m m e t r i c a n d U n i m o d a l C o e f f i c i e n t s作者姓名： 孫 華學(xué)科、專業(yè)： 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué) 號(hào)： 1 0 9 0 1 鯉指導(dǎo)教師： 王毅教授完成日期： 2 0 1 4 年6 月7 日大連理工大學(xué)D a l i a n U n i v e r s i t yo f

2、 T e c h n o l o g y大連理工大學(xué)博士學(xué)位論文摘 要序列的單峰性問(wèn)題是組合數(shù)學(xué)基本研究?jī)?nèi)容之一．雖然單峰性的定義很簡(jiǎn)單，但是正如著名組合學(xué)家S t a n l e y 所說(shuō)，證明序列的單峰性是件非常困難的事情，有很多序列猜想是單峰的但是卻沒(méi)有好的方法來(lái)解決．而對(duì)稱序列的單峰性卻有較好的性質(zhì)，因此有望進(jìn)行系統(tǒng)的研究．許多經(jīng)典的組合序列既有單峰性又有對(duì)稱性．例如，二項(xiàng)式系數(shù)、E u l e r i a n數(shù)、N a r a

3、 y a n a 數(shù)以及G u a s s 二項(xiàng)式系數(shù)等等．在專著“發(fā)生函數(shù)論”中W i l f 指出，發(fā)生函數(shù)是連接離散數(shù)學(xué)和連續(xù)數(shù)學(xué)的橋梁．我們可以借鑒連續(xù)數(shù)學(xué)相對(duì)成熟的理論和研究手段來(lái)研究離散對(duì)象的性質(zhì)．另一方面，代數(shù)學(xué)、分析學(xué)和組合學(xué)中經(jīng)常涉及到具有對(duì)稱單峰系數(shù)的多項(xiàng)式．本文從三個(gè)不同的角度系統(tǒng)地研究了對(duì)稱單峰多項(xiàng)式．具體內(nèi)容如下( 1 ) 第一部分是從線性代數(shù)的角度研究對(duì)稱多項(xiàng)式的單峰性質(zhì)．本文證明了對(duì)稱中心為n ／2 的對(duì)稱

4、多項(xiàng)式集合構(gòu)成維數(shù)為m ／2 J + 1 的線性空間，并且建立了三組基瓤= { g Ⅲ+ g + ?+ 礦- 2 0 ) } ，妗= { g ’( 1 + q ) ”2 7 } 和S = { 留砌+ q ．- 2 j ) } 之間的過(guò)渡矩陣，J = 0 ，1 ?．，I n ／2 J ．特別地利用過(guò)渡矩陣，本文給出對(duì)稱多項(xiàng)式在前兩組基下展開(kāi)系數(shù)非負(fù)的充分條件和一些刻畫(huà)，用線性代數(shù)的方法統(tǒng)一地得到一些已有結(jié)論，進(jìn)一步得到一些新的結(jié)論．( 2

5、 ) 第二部分建立了對(duì)稱單峰多項(xiàng)式( 特別是野一正多項(xiàng)式，即在基孵下展開(kāi)系數(shù)非負(fù)的對(duì)稱多項(xiàng)式) 與偏序集秩發(fā)生函數(shù)之間的聯(lián)系．主要以經(jīng)典的E u l e r i a n 多項(xiàng)式、錯(cuò)排多項(xiàng)式和N a r a y a n a 多項(xiàng)式為例子，構(gòu)造相應(yīng)的偏序集使其秩發(fā)生函數(shù)與這三類多項(xiàng)式相同或相關(guān)，并將這些偏序集分解成對(duì)稱布爾子格，進(jìn)而證明了這些經(jīng)典多項(xiàng)式都是圓- 正多項(xiàng)式．( 3 ) 第三部分用群作用集合的方法研究圓．正多項(xiàng)式．分別在錯(cuò)排集合

6、和非交叉分拆集合上定義群作用，給出了錯(cuò)排多項(xiàng)式和N a r a y a n a 多項(xiàng)式是夠一正多項(xiàng)式的新證明．特別地，本文給出了這兩類多項(xiàng)式在基$ 下展開(kāi)系數(shù)自然而直接的組合解釋．( 4 ) C a t a l a n —l i k e 數(shù)統(tǒng)一了許多著名的數(shù)列，如C a t a l a n 數(shù)，M o t z k i n 數(shù)，B e l l 數(shù)，中心二項(xiàng)式系數(shù)，R e s t r i c t e dh e x a g o n a l 數(shù)