WENO方法的研究及其在對流擴散方程中的應用.pdf

1、本文主要研究加權(quán)本質(zhì)無振蕩數(shù)值方法（以下簡稱WENO方法）及其在對流擴散方程中的應用。
　　 WENO方法是近年來廣泛流行的一種高分辨率數(shù)值方法，用于解決以對流為主的對流擴散方程，特別是雙曲守恒律問題。WENO方法具有在光滑區(qū)可以得到任意高階精度，在間斷區(qū)保持穩(wěn)定的、本質(zhì)無振蕩性質(zhì)和陡峭的間斷過渡等優(yōu)點。
　　 WENO方法的主要思想是使用所有候選模板上的低階逼近的凸組合來得到高階逼近。WENO是一種插值或重構(gòu)過程，可以

2、方便地應用到有限差分格式或有限體積格式的框架中。在實際應用中，WENO過程有不同的表現(xiàn)形式：WENO插值、WENO重構(gòu)和WENO積分。WENO構(gòu)造過程中，格式的穩(wěn)定性和無振蕩性質(zhì)主要依賴于線性權(quán)的正定性。我們討論線性權(quán)在不同形式的WENO過程中的正定性，并給出線性權(quán)的顯式表達和正定區(qū)間，以便為進一步設(shè)計各種形式的WENO格式包括WENO插值，WENO重構(gòu)及WENO對高階導數(shù)的逼近，和WENO積分打好基礎(chǔ)。
　　 對流擴散方程是粘

3、性流體力學及其他實際問題中常見的一類基本運動方程。對于這類方程，除了極少數(shù)簡單情形，大部分問題目前還無法求得精確解，只能利用數(shù)值方法進行數(shù)值模擬。因此，對流擴散方程數(shù)值方法的研究具有十分重要的理論和實際應用意義。對求解對流擴散方程，特別是以對流為主的對流擴散方程或者退化拋物方程，數(shù)值方法的設(shè)計過程中遇到的最大困難是間斷的出現(xiàn)或者陡峭的過渡層。標準的WENO格式是用來求解雙曲守恒律方程和以對流為主的對流擴散方程中的對流項，通常在求解對流擴

4、散方程的WENO格式中，只對方程中的一階對流項用WENO過程逼近，而對二階導數(shù)擴散項用標準的中心差分逼近。這個方法在大多數(shù)的數(shù)值模擬中可以工作得很好，但是在求解有間斷解的退化拋物方程中，會產(chǎn)生振蕩的數(shù)值解甚至不穩(wěn)定的格式。我們對二階導數(shù)項構(gòu)造守恒的有限差分WENO逼近，以多孔介質(zhì)方程為例，考慮求解有間斷解的非線性退化拋物方程，并應用推廣到一維和二維問題。非線性退化拋物方程的解具有雙曲守恒律方程解的類似性質(zhì)，比如陡峭界面和緊支集界面以有限

5、的速度傳播。常用的方法是通過變量代換，將二階方程改寫成一階方程組，然后再應用WENO重構(gòu)過程求解該方程組，但該方法的相應的模板和計算量都很大。所以我們采用一個守恒的流通量差分，對二階導數(shù)項直接進行逼近。我們首先討論不同模板選取時的線性權(quán)，詳細介紹六階和八階有限差分WENO格式的構(gòu)造，理論分析格式的精度，并給出格式的CFL穩(wěn)定性條件，最后數(shù)值試驗驗證格式的高分辨率和本質(zhì)無振蕩性質(zhì)。
　　 對流擴散方程解的一個重要性質(zhì)是滿足嚴格最大

6、值原理，我們同樣希望數(shù)值解也滿足最大值原理，否則就失去了解的實際物理意義，比如放射性核素遷移的計算。多孔介質(zhì)方程的有限差分WENO格式的數(shù)值解雖然是本質(zhì)無振蕩的，但是在陡峭界面處不能嚴格保證解是非負的。因此，我們將求解標量守恒律方程的滿足最大值原理的格式推廣，對非線性對流擴散方程，構(gòu)造一個非傳統(tǒng)的滿足最大值原理的五階有限體積WENO格式，并將格式應用推廣到二維問題。主要思想是將單元積分平均算子應用兩次，介紹雙重積分平均值的概念，在此基礎(chǔ)