幾類非線性系統(tǒng)的極限環(huán)個數(shù).pdf

1、非線性系統(tǒng)在物理、生物等科學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用.這些學(xué)科中的許多現(xiàn)象如振動、捕食-食餌、物種增長等常需要用非線性系統(tǒng)所確定的數(shù)學(xué)模型來描述.因此，通過對非線性系統(tǒng)解的相關(guān)性質(zhì)的研究來分析這些系統(tǒng)的動力學(xué)行為，具有重要的理論和實際意義.本文以幾類非線性系統(tǒng)為研究對象，對其相圖、Hopf分支、Poincaré分支、同宿分支與異宿分支進(jìn)行深入的研究，獲得了一些有趣的結(jié)果.
　　首先，給出了研究光滑與非光滑近-Hamiltonian系統(tǒng)極限

2、環(huán)個數(shù)的雙參數(shù)擾動方法，對光滑與非光滑近-Hamiltonian系統(tǒng)引入雙參數(shù)，導(dǎo)出相應(yīng)的首階Meilnikov函數(shù)的顯式表達(dá)式，來研究系統(tǒng)的極限環(huán)個數(shù).應(yīng)用此方法，我們研究了一類分片二次多項式系統(tǒng)和一類三次多項式系統(tǒng)的極限環(huán)的最大個數(shù)，此問題分別被[Llibre and Mereu,J-M AA(2014)]和[Li and Zhao,IJBC(2014)]進(jìn)行研究；與這些結(jié)果相比，用雙參數(shù)擾動方法可以多獲得一個極限環(huán).應(yīng)用此方法,我

3、們研究了含三角形異宿環(huán)的二次多項式系統(tǒng)在二次多項式擾動下從三角形異宿環(huán)附近可分支出最大極限環(huán)的個數(shù)問題，又稱三角形異宿環(huán)環(huán)性數(shù)，證明了文獻(xiàn)[Wang and Han,JMAA(2015)]中定理5.2的結(jié)論.應(yīng)用此方法并結(jié)合引進(jìn)一些新的思想（比如：屬性 Z(n,m,l)),我們研究了一類多項式Liénard系統(tǒng)的Hilbert數(shù)并給出了該數(shù)的下界，改進(jìn)和豐富了已有結(jié)果.
　　近年來，[Hanetal.,JDE(2009)]獲得了含

4、m-階冪零尖點同宿環(huán)的C∞ Hamiltonian系統(tǒng)在任意C∞系統(tǒng)擾動下所產(chǎn)生的首階Melnikov函數(shù)在此環(huán)附近的近似展開式，并給出了m=1的部分系數(shù)的計算公式;之后，[Atabaigi et al.,NATMA(2012)]獲得m=2的部分系數(shù)的計算公式.本文對一般的m進(jìn)行探討,給出了一種計算所有的m≥2的部分系數(shù)表達(dá)式的方法.特別地,利用此方法給出m=3部分系數(shù)的表達(dá)式，并利用這些系數(shù)給出了在同宿環(huán)附近出現(xiàn)極限環(huán)的充分條件，同時

5、也給出了相應(yīng)的應(yīng)用并改進(jìn)了已有的結(jié)果.顯然，冪零尖點是高次奇點.一般而言，高次奇點周圍呈現(xiàn)復(fù)雜的軌線結(jié)構(gòu).進(jìn)一步，本文對一類含高次奇點的可積系統(tǒng)在高次奇點處的局部相圖進(jìn)行分析,獲得所有可能的相圖；其次當(dāng)出現(xiàn)同宿環(huán)時，擾動該系統(tǒng),得到了相應(yīng)的首階Melnikov函數(shù)在同宿環(huán)附近的近似展開式，同時給出部分系數(shù)的表達(dá)式；并且利用這些系數(shù)給出存在極限環(huán)的充分條件.
　　最后，我們對一類分片多項式系統(tǒng)的極限環(huán)個數(shù)進(jìn)行了研究.首先，給出未擾動