某些子群的共軛類數(shù)對有限群結(jié)構(gòu)的影響.pdf

1、設(shè)G是有限群，用μ(G)表示群G的非次正規(guī)子群的共軛類數(shù)，μc(G)表示非次正規(guī)非循環(huán)子群的共軛類數(shù).本文我們得到滿足條件μ(G)≤2|π(G)|的有限群可解，并給出了μ(G)≤|π(G)|的有限群G的完全分類，以及μc(G)≤9的有限單群的分類.
　　有限群的研究中，利用群的階、子群的性質(zhì)、元素的性質(zhì)等方面來刻畫群的結(jié)構(gòu)以及探討群的相關(guān)性質(zhì)，是有限群論研究的一個重要方向和一種常用的方法.其中通過某些特殊子群的共軛類的個數(shù)對有限群

2、結(jié)構(gòu)的研究，一直是非常重要的課題，當(dāng)然也在課題的研究過程中也出現(xiàn)了許多豐富且有價值的結(jié)果.本文主要通過有限群的非次正規(guī)及非次正規(guī)非循環(huán)子群的共軛類數(shù)來研究有限群的結(jié)構(gòu)，主要結(jié)果如下:
　　定理2.1.1設(shè)G是有限群，μ(G)≤2|π(G)|，則G是可解群.
　　定理2.1.2設(shè)G是有限群，μ(G)≤2|π(G)|-2，則對某個p∈π(G)，G有一個正規(guī)的Sylow p-子群P.
　　定理2.1.3設(shè)G是非冪零群，μ(G

3、)≤|π(G)|，則下述結(jié)論成立:
　　(1)若μ(G）=1，則G是引理1.2.3中所描述的群之一;
　　(2)若μ(G)=2，則G是引理1.2.4中所描述的群之一;
　　(3)若μ(G)≥3，則G是下列群之一:
　　(3a)G=，x-d1∈Fq[x]且整除xp-1，q≡1(mod p)，p，q，r是互異素數(shù).
　　(3b)G

4、=，和是所有的q-基本群，p，q，r是互異素數(shù).
　　(3c)G=,是q-基本群，γ=r或rs,p，q.r,s是互異素數(shù).
　　(3d)G=

5、a]=[c，bi]i=1,2，…,n,是q-基本群，p，q，r是互異素數(shù).
　　定理2.2.1設(shè)G是有限單群，則有以下結(jié)論成立:
　　(1)G=PSL(2，q)，q=4，5,7，8，11，13，27，則相應(yīng)的非次正規(guī)非循環(huán)子群的共軛類數(shù)，即μc(G)為4，4,9，5,9,8，8.對于群G=SL(2，5)，或G=SL(2,7)，則群G的非次正規(guī)非循環(huán)子群的共軛類數(shù)為4或9.
　　(2)若群G

6、=S5，A7，PSL(3，3)，PSL(3，4)，U3(3)，U4(2)，則有μc(G)≥10.
　　定理2.2.2群G=PSL(2，q)，其中q=pf，q是素因子，q≥4，則有以下結(jié)論成立:
　　(1)若q=2f,則q=8，q=5或μc(G)≥10;
　　(2)若q=3f，則μc(G)≥10;
　　(3)若q不屬于集合{5.7，8}，則μc(G)≥10.
　　定理2.2.5設(shè)G是有限單群，且滿足μc(G)