半單環(huán)上長方矩陣幾何研究.pdf

1、矩陣幾何是華羅庚院士于上世紀四十年代開創(chuàng)的一個數(shù)學研究領(lǐng)域,其成果長期受到國內(nèi)外許多學者的重視.2006年,黃禮平證明了對應(yīng)于由矩陣分數(shù)秩定義的算術(shù)距離的半單環(huán)上長方矩陣幾何基本定理.本文討論對應(yīng)于由矩陣內(nèi)秩定義的算術(shù)距離的半單環(huán)上長方矩陣幾何,得到一些新的結(jié)果.
　　 本文分為三章.
　　 第一章,介紹本文的課題背景、發(fā)展狀況及主要結(jié)果.
　　 第二章,證明了單Artin環(huán)上長方矩陣集合不是好的距離圖,并討論了

2、其上的雙向保粘切的等價命題.給出了對應(yīng)于內(nèi)秩定義算術(shù)距離的單Artin環(huán)上長方矩陣幾何基本定理:設(shè)R是一個單Artin環(huán)并且R不同構(gòu)于F2上的全矩陣環(huán),m,n≥2.設(shè)ψ:Rm×n→Rm×n是一個雙向保粘切的雙射,則當m≠n時,ψ形如ψ(X)=PXσQ+ψ(0),其中P∈GLm(R),Q∈GLn(R),σ是R的一個自同構(gòu);m=n時,ψ形如上式或形如ψ(X)=Pt(XT)Q+ψ(0),其中T是R的一個反自同構(gòu),P∈GLm(R),Q∈GLn(

3、R).反之,任意形如上式的映射均為雙向保粘切的雙射.
　　 第三章,討論了關(guān)于半單環(huán)上長方矩陣幾何的一些結(jié)果,并且得到下面的結(jié)果:設(shè)R是一個半單環(huán)且R=R1×…×RT≌Mn1(D1)×…×mnr(DT),其中Di為體且Di≠IF2,Ri≌Mni(Di),I=1,…r.設(shè)ψ:Rm×n→Rm×n(m,n≥2)是一個雙向保粘切的加法雙射,并且ψ(0,....,0,Rim×n,0,...,0)=(0,...,0,Rim×n,0,...,