高非線性函數(shù)的構(gòu)造及其在序列編碼中的應(yīng)用.pdf

1、最佳非線性函數(shù)即Bent函數(shù)和完全非線性函數(shù)分別是抵抗線性密碼攻擊和差分密碼攻擊能力最強的密碼函數(shù)，故其在密碼學(xué)中扮演著非常重要的角色。而且，最佳非線性函數(shù)在編碼理論、序列設(shè)計和組合理論等領(lǐng)域中亦有重要的應(yīng)用。
　　本論文的第一個主要研究內(nèi)容是Bent函數(shù)的構(gòu)造。基于環(huán)上的二次型理論和線性化方程途徑，本文首先構(gòu)造出幾類新的二次廣義布爾Bent函數(shù)。結(jié)合布爾Bent函數(shù)與廣義布爾Bent函數(shù)之間的關(guān)系并將構(gòu)造廣義布爾Bent函數(shù)的方

2、法應(yīng)用于奇特征域中，本文相繼得到新的二次布爾B ent函數(shù)和二次p-元Bent函數(shù)，其中p是一奇素數(shù)。而對于高次Bent函數(shù)，本文著重研究了具有最佳代數(shù)次數(shù)的Dillon型Bent函數(shù)和Niho型Bent函數(shù)。通過對有限域中某些部分指數(shù)和的討論，本文成功刻畫出幾類新的Dillon型布爾Bent函數(shù)和Dillon型p-元Bent函數(shù)，并推廣了部分已知結(jié)果。將研究Dillon型Bent函數(shù)的方法運用在Niho型函數(shù)上，本文推廣了偶特征域中L

3、eander-Kholosha類Niho型Bent函數(shù)的結(jié)論，并給出了其Bent性的一個簡潔的證明。同時，本文證明了所考察的Niho型函數(shù)在奇特征域中具有四值Walsh譜且確定了其譜值分布。
　　本論文的第二個主要研究內(nèi)容是利用完全非線性函數(shù)和幾乎完全非線性函數(shù)構(gòu)造最佳循環(huán)碼。通過利用有限域上低次多項式的因式分解以及不可約多項式次數(shù)與其對應(yīng)方程解之間的關(guān)系，本論文成功解決了由Ding和Helleseth提出的一個關(guān)于最佳三元單糾錯

4、循環(huán)碼的公開問題。借助于有限域上的二次特征，運用同樣的方法，對于正整數(shù)m，本論文得到了四類新的參數(shù)為[3m-1，3m-2m-1，4]的最佳三元單糾錯循環(huán)碼。更進一步地，通過利用完全非線性函數(shù)的性質(zhì)，本論文亦構(gòu)造出兩類新的參數(shù)為[3m-1，3m-2m-2，5]的最佳三元雙糾錯循環(huán)碼。而且，本論文亦考慮了上述所得最佳循環(huán)碼的覆蓋半徑及其對偶碼的重量分布。然而，本論文僅得到部分相關(guān)結(jié)果，目前仍有較多問題尚未解決。
　　本論文的第三個主要

5、研究內(nèi)容是利用廣義布爾Bent函數(shù)和高非線性Gold函數(shù)研究最佳或幾乎最佳四元序列集。借助于環(huán)上的二次型理論和廣義布爾Bent函數(shù)的性質(zhì)，本論文考察了環(huán)上一類指數(shù)和的性質(zhì)進而確定了兩類最佳序列集的精確相關(guān)分布。而且，基于環(huán)上二次型理論，本文利用統(tǒng)一的方法得到了一類已知的最佳四元序列集和一類新的低相關(guān)四元序列集。另一方面，通過對伽羅華環(huán)上Gold函數(shù)性質(zhì)的考察，本論文確定了四元Gold序列集的精確相關(guān)分布。而且，依據(jù)四元序列與二元序列之間