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1、雙曲空間與在其基礎(chǔ)上建立的等距映射群是離散群幾何的重點(diǎn)內(nèi)容,而討論二元生成子群的離散性對(duì)于研究群的性質(zhì)有重要的作用。
本文首先討論了雙曲三角形中的一些特殊測(cè)地線是否相交于一點(diǎn)的問題,例如三角形中的垂直平分線、中線以及垂線這些特殊的測(cè)地線.從而得出三個(gè)與歐氏幾何相似的結(jié)論.應(yīng)用測(cè)地線束的知識(shí),還可以得出這些特殊的測(cè)地線是否屬于同一測(cè)地線束的結(jié)論。
其次,研究了實(shí)雙曲空間的等距映射群中,對(duì)于生成群為離散群,且兩個(gè)
2、生成元為非拋物變換時(shí),生成元參數(shù)之間的關(guān)系,以及生成元的位移長(zhǎng)度和旋轉(zhuǎn)角滿足的關(guān)系式.本文在F.W.Gehring,G.J.Martin研究的基礎(chǔ)上不僅得出較弱條件下成立的結(jié)論,也分別得到了對(duì)應(yīng)生成元的軸之間不同位置關(guān)系下的相應(yīng)結(jié)論。另外基于二元生成群的討論,對(duì)于由f,g∈PSL(2,C)生成的群,當(dāng)f是橢圓元素,g是斜駛元素時(shí),本文得出當(dāng)f,g之間的軸距離δ(f,g)滿足一定關(guān)系時(shí),所生成的群Г=<f,g>是離散非初等的。
3、 本文還給出了對(duì)于8字紐結(jié)群或兩橋型鏈環(huán)群,如果生成元之間是共軛的,則這兩個(gè)元素必然是拋物元素.另外利用與之相同的方法,還可以得到兩個(gè)生成元之間的跡滿足一定關(guān)系時(shí),生成元的可能類型。
最后,在以上對(duì)實(shí)雙曲空間中的幾何以及其中等距映射群的討論基礎(chǔ)之上,繼續(xù)考慮復(fù)雙曲空間以及四元數(shù)雙曲空間中是否有類似的結(jié)論成立.本文主要考慮了在復(fù)雙曲空間中利用Jφrgensen不等式研究二元生成群中的邊界橢圓元素有精確不變的管狀鄰域,在四元
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