基于分?jǐn)?shù)階變分PDE的圖像建模與去噪算法研究.pdf

1、圖像處理過(guò)程中，保持圖像的邊緣、紋理等重要結(jié)構(gòu)特征是非常重要的。要保持這重要的圖像信息，在圖像處理時(shí)就要對(duì)圖像中的卡通、邊緣、紋理及噪聲等不同成分進(jìn)行區(qū)分和處理，也就需要對(duì)圖像的不同成分進(jìn)行合適的數(shù)學(xué)建模。
　　 本論文結(jié)合圖像去噪問(wèn)題的研究，利用小波分析理論與方法、函數(shù)空間圖像建模理論與方法以及新的數(shù)學(xué)工具如分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)等，探索對(duì)圖像中的不同成分的新的建模方法，并在此基礎(chǔ)上利用正則化理論和方法、算子分裂法、交分法等提出新的圖像去

2、噪變分PDE模型和算法。論文結(jié)合圖像去噪提出的基于分?jǐn)?shù)階變分PDE的圖像建模理論和方法，可以進(jìn)一步推廣到圖像分割、超分辨率重建等其它圖像處理領(lǐng)域，具有重要的理論意義和廣泛的實(shí)際應(yīng)用前景。
　　 本文取得的主要成果及創(chuàng)新點(diǎn)包括：
　　 (1)利用負(fù)指數(shù)Sobolev空間對(duì)圖像的紋理進(jìn)行多尺度建模，并用正交小波變換下Sobolev空間中的多尺度范數(shù)來(lái)進(jìn)行刻畫(huà)，在此基礎(chǔ)上提出了負(fù)指數(shù)Sobolev空間中的多尺度變分PDE圖像去

3、噪模型。針對(duì)提出的多尺度變分模型，提出了三種數(shù)值算法，從理論上分析并證明了算法收斂的充分條件。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，利用負(fù)指數(shù)Sobolev空間對(duì)紋理和進(jìn)行多尺度建模，可以更好地對(duì)圖像中不同尺度的紋理和噪聲進(jìn)行區(qū)分和刻畫(huà)，所提出的多尺度變分PDE圖像去噪模型能在去有效提高峰值信噪比的同時(shí)更好地保持圖像紋理等細(xì)節(jié)信息，在本文所提出的三種去噪算法中，基于算子分裂思想提出的交替投影算法是最快速穩(wěn)定的算法。
　　 (2)利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行

4、建模，在此基礎(chǔ)上提出了分?jǐn)?shù)階變分PDE圖像去噪模型及算法。
　　 首先，利用Fourier變換域定義的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行建模，提出一種連續(xù)形式的分?jǐn)?shù)階變分PDE圖像去噪模型，并設(shè)計(jì)了求解模型的離散梯度下降算法。
　　 其次，利用空域中的Grümwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行建模，分別從連續(xù)和離散兩個(gè)角度提出新的分?jǐn)?shù)階圖像去噪變分模型及算法。從連續(xù)建模角度，利用Grümwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

5、和特定卷積積分等價(jià)關(guān)系，建立了一種連續(xù)形式的基于卷積積分的分?jǐn)?shù)階圖像去噪變分模型，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的離散梯度下降算法。從離散建模角度，將離散意義下的總變分和有界變差空間進(jìn)行了推廣，構(gòu)造新的離散意義下的分?jǐn)?shù)階總變分和分?jǐn)?shù)階有界變差空間(BVa空間)，研究了分?jǐn)?shù)階總變分及其共軛算子的性質(zhì)，利用分?jǐn)?shù)階有界變差空間對(duì)圖像進(jìn)行建模，建立了離散意義下的分?jǐn)?shù)階圖像去噪變分模型。對(duì)所建立的離散分?jǐn)?shù)階變分模型，設(shè)計(jì)了空間投影算法，并對(duì)算法的收斂性進(jìn)行了分析，

6、給出并證明了算法收斂的充分條件。
　　 數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行建模，可以在有效改善峰值信噪比同時(shí)，較好地抑制“階梯效應(yīng)”，保持圖像的紋理細(xì)節(jié)。在所提出的三種算法中，針對(duì)離散模型提出的空間投影算法是計(jì)算量最小、速度最快的算法。
　　 (3)將負(fù)指數(shù)Sobolev空間中的多尺度圖像建模和基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的圖像建模進(jìn)行耦合，提出了統(tǒng)一的分?jǐn)?shù)階多尺度變分圖像去噪模型，設(shè)計(jì)了求解分?jǐn)?shù)階多尺度變分模型的交替投影算法，對(duì)

7、算法的收斂性進(jìn)行了分析，并給出了算法收斂的充分條件。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，耦合模型綜合了兩種建模方法的優(yōu)點(diǎn)，在峰值信噪比改善、紋理保持以及“階梯效應(yīng)”抑制方面比耦合前的兩種模型都具有更好的效果。
　　 在統(tǒng)一的多尺度分?jǐn)?shù)階變分模型基礎(chǔ)上，對(duì)模型進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)，并利用圖像的局部方差等統(tǒng)計(jì)信息，對(duì)圖像的“紋理區(qū)域”和“非紋理區(qū)域”進(jìn)行區(qū)分，利用小波系數(shù)的幅值和函數(shù)正則性之間的關(guān)系分析圖像各個(gè)尺度的正則性，在此基礎(chǔ)上提出了參數(shù)自適應(yīng)選擇方法以

8、及自適應(yīng)交替投影算法。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，自適應(yīng)算法在圖像的“非紋理區(qū)域”具有良好的去噪效果和“階梯效應(yīng)”抑制能力，在“紋理區(qū)域”具有良好的紋理保持能力，是一種快速高效的圖像去噪方法。
　　 (4)基于廠=u+v+w和廠=u+uv兩種圖像分解形式，利用提出的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)圖像建模和負(fù)指數(shù)Sobolev空間中的多尺度圖像建模方法，分別對(duì)加性噪聲去噪和乘性噪聲去噪問(wèn)題，提出新的分?jǐn)?shù)階圖像去噪變分模型及算法。
　　 首先，基于f=u+v

9、+w的圖像分解形式，利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造了新的Gαμ空間，并在此基礎(chǔ)上提出了針對(duì)加性噪聲去噪的兩種分?jǐn)?shù)階變分模型：第一，利用BVα、Gαμ空間和負(fù)指數(shù)Sobolev空間分別對(duì)圖像的卡通、紋理及噪聲進(jìn)行建模，提出了新的分?jǐn)?shù)階變分模型及算法；第二，利用BVa空間、Gαμ空間以及齊次Besov空間B∞-1,∞分別對(duì)圖像卡通、紋理以及噪聲分別進(jìn)行建模，提出新的分?jǐn)?shù)階變分模型及算法。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，利用分?jǐn)?shù)階、多尺度函數(shù)空間對(duì)圖像卡通、紋理及噪聲分

10、別建模，使得對(duì)圖像不同成分的建模更加精細(xì)，所提出的分?jǐn)?shù)階多尺度噪模型在峰值信噪比改善、紋理保持以及“階梯效應(yīng)”的抑制方面都有較好的效果。
　　 其次，基于f=u+uv的圖像分解形式，針對(duì)噪聲分別分服從Gauss分布和Gamma分布的乘性噪聲去噪問(wèn)題，利用BVα空間和負(fù)指數(shù)Sobolev空間對(duì)圖像的不同成分進(jìn)行建模，建立了相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階多尺度圖像去噪變分模型，提出了模型參數(shù)的自適應(yīng)選擇方法，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的數(shù)值算法。數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于