非良基集與模態(tài)邏輯.pdf

1、在策梅洛-弗蘭克爾的集合論公理系統(tǒng)ZF中，基礎公理把集合的論域限制到良基集合。因此，不存在屬于關系的無窮降鏈，也不存在屬于自身的集合。1989年阿克采爾創(chuàng)立了非良基集合理論，引入反基礎公理AFA替換ZF中的基礎公理FA，從而得到非良基集合論系統(tǒng)ZFA。由于非良基集合可以用來構(gòu)造循環(huán)現(xiàn)象的模型，而這些循環(huán)現(xiàn)象都不能用經(jīng)典集合論來描述，因此，它們在哲學、經(jīng)濟學、模態(tài)邏輯、語言學以及理論計算機科學中具有十分廣闊的應用前景。接受非良基集合并發(fā)展

2、非良基集理論具有重要的理論意義和應用價值。
　　 本文研究非良基集合與模態(tài)邏輯的關系，在模態(tài)邏輯的集合論語義下探討了一些重要的語義概念，進而研究了集合（模型）的構(gòu)造、可定義性等等模型論問題。概括說來，本文的主要工作包括以下三個方面：
　　 第一，梳理了非良基集合論的理論背景、發(fā)展歷史和研究現(xiàn)狀，介紹了非良基集合在眾多研究領域的廣泛應用。
　　 第二，根據(jù)阿克采爾和巴威斯等人的觀點，闡述了非良基集合的基本理論，從集

3、合與圖的關系和方程組的解兩個方面引入反基礎公理，保證非良基集合的存在性。接著，引入兩個重要的概念。一個概念是本元，它既不是集合也不是類，但可以作為集合的元素。把本元引入圖的裝飾，便得到加標圖。另一個概念是集合上的互模擬關系，它用于判定兩個非良基集合相等。
　　 第三，在集合論語義下重新研究模態(tài)邏輯。本文探討了框架、模型和集合之間的聯(lián)系，然后研究集合的構(gòu)造以及模態(tài)可定義性問題，并且將基本模態(tài)語言翻譯到經(jīng)典（一階或二階）集合論語言。

4、本文還引入了集合之間的互模擬關系和方程組之間的互模擬，進而研究加標圖上的互模擬與模態(tài)等價之間的關系。最后，在集合論語義下重新研究模態(tài)邏輯的一些元邏輯性質(zhì)。
　　 本文的主要創(chuàng)造性工作在于：
　　 第一，在模態(tài)邏輯的集合論語義下，定義了集合之間的一些非標準運算，包括不交并、生成子集合、p-態(tài)射、樹展開等，并證明了模態(tài)公式在這些運算下的保持或不變結(jié)果。
　　 第二，把基本模態(tài)語言翻譯到經(jīng)典集合論語言，并且證明了語義上

5、的對應結(jié)果，初步探討了范·本特姆類型的刻畫定理。
　　 第三，在模態(tài)邏輯的集合論語義下，研究可定義性理論。本文重點研究了如何使用集合類對模態(tài)公式進行分類，從模態(tài)邏輯T的特征公式出發(fā)，把分類結(jié)果推廣到其它模態(tài)邏輯的特征公式，包括模態(tài)邏輯KD、K4、KB、K5和GL的特征公式等等。
　　 第四，使用圖和加標圖等語義結(jié)構(gòu)，初步研究了模態(tài)邏輯系統(tǒng)的元邏輯性質(zhì)，主要包括正規(guī)模態(tài)邏輯的完全性、有窮加標圖性質(zhì)和可判定性質(zhì)。本文還嘗試使

6、用純集合和含有本元的集合直接研究這些元邏輯性質(zhì)。
　　 目前，我國邏輯學界對非良基集合論及其應用的研究幾乎還是一片空白，尚處起步階段。在這方面，本文研究工作的意義是，在借鑒和吸納國外研究成果的基礎上，把非良基集合與模態(tài)邏輯相結(jié)合的研究成果引進、介紹到國內(nèi)。更重要的是，本文在非良基集合論語義下重新研究了模態(tài)邏輯，解決了一些模型論問題，這有利于促進各個邏輯分支的共同發(fā)展，更大程度地發(fā)揮邏輯學的工具性作用。我認為，模態(tài)邏輯與非良基集合