傳染病模型的分支問題.pdf

1、近年來,對傳染病模型的定性分析已是應用數(shù)學專業(yè)的一個重要課題.隨著研究的不斷深入,人們將傳染病的傳播過程逐漸細化,非線性傳染率、病程結構、年齡結構以及防控、治療措施等都被引入模型之中,使得所建模型更加完善和貼近實際情形.我們利用微分方程定性理論和分支理論對一類具有非線性發(fā)生率的傳染病模型和一類帶有治療項的傳染病模型的動力學性質(zhì)進行了研究,特別地對其平衡點的存在性、穩(wěn)定性,以及后向分支、Hopf分支和Bogdanov-Takens分支等進

2、行了比較深入的研究.
　　全文由四章構成.
　　第一章簡要介紹了傳染病動力學的研究意義,傳染病動力學的基本概念,國內(nèi)外研究概況及本文的主要工作.
　　第二章主要給出與本文研究工作相關的一些理論與知識的介紹,包括:平面系統(tǒng)的奇點，Hopf分支，Bogdanov-Takens分支.
　　第三章考慮了一類具有非線性發(fā)生率的SIR模型.通過對模型的分析,我們發(fā)現(xiàn)模型參數(shù)在滿足某些值時,模型會發(fā)生后向分支現(xiàn)象.此時R0=1

3、不能作為疾病是否消亡的閾值條件.在拐點處的臨界值被做為新的閾值.我們分析了模型發(fā)生后向分支的條件,得到了無病平衡點和地方病平衡點穩(wěn)定的充分條件.
　　第四章研究了一類帶有治療項和雙線性發(fā)生率的SIR模型,以此來理解治療項對于疾病控制的作用.治療函數(shù)包含的參數(shù)a和b表示在疾病傳播的不同階段,對應不同的治療率.當a< b時,模型在R0<1時總存在全局漸近穩(wěn)定的無病平衡點E0,疾病將會滅絕;在R0>1時模型存在全局漸近穩(wěn)定的地方病平衡點