25770.若干非線性偏微分方程動態(tài)系統(tǒng)降維問題的研究

1、中圖分類號絲生￡：晝；UDc至Z立學校代碼!Q三蘭密級公玨博士學位論文若干非線性偏微分方程動態(tài)系統(tǒng)降維問題的研究StudyonSomeIssuesofModelReductionforNonHnearPaltialDifferentialEquationDynamicalsystems作者姓名：學科專業(yè)：研究方向：學院(系、所)：指導教師：副指導教師：帥軍應用數(shù)學系統(tǒng)建模與優(yōu)化數(shù)學與統(tǒng)計學院韓旭里教授論文答辯日期絲!絲￡至／答辯委員會主

2、席中南大學2014年5月若干非線性偏微分方程動態(tài)系統(tǒng)降維問題的研究摘要：先進的工業(yè)技術如半導體制造、納米技術、生物技術、材料工程和化學工程中系統(tǒng)描述的典型特征就是輸入、輸出甚至參數(shù)都是隨時間和空間位置的不同而變化，其時空耦合特性在數(shù)學上用非線性偏微分方程(PDEs)進行描述。由于偏微分方程動態(tài)系統(tǒng)空間變量的特征，導致對空間進行離散，或者是基于傅里葉展開的思想進行變量分離以后將產(chǎn)生無窮維的系統(tǒng)。但是由于實際應用中有限的傳感器和執(zhí)行器個數(shù)，

3、一個合適的有限維數(shù)學模型是對上述過程進行如系統(tǒng)分析，優(yōu)化和控制的必然要求。因此，非線性偏微分方程動態(tài)系統(tǒng)的降維問題是一個廣泛且非常重要的問題。本文主要對非線性偏微分方程動態(tài)系統(tǒng)的降維理論和方法進行進一步深入研究，主要基于時空分離的思想，探討在基于基函數(shù)展開結合權重殘差方法的基礎上如何構建非線性偏微分方程動態(tài)系統(tǒng)的維數(shù)更低的近似系統(tǒng)。本文的主要內(nèi)容包括以下幾個方面：1)基于最優(yōu)化方法的自治偏微分方程動態(tài)系統(tǒng)降維方法。受現(xiàn)有的如主元分析，平

4、衡截斷等常微分方程變換方法的思想啟發(fā)，提出基于時空分離和權重殘差方法獲得高階常微分方程系統(tǒng)，提出與變換矩陣相關的時間能量誤差函數(shù)，結合最優(yōu)化方法來獲得包含系統(tǒng)主要動態(tài)的低維系統(tǒng)。將高階常微分方程組的動態(tài)變量進行線性變換，其中變換矩陣由優(yōu)化高維與新低維的動態(tài)系統(tǒng)能量誤差得到?；讷@得的線性變換矩陣，將高階常微分方程系統(tǒng)變換到低階的常微分方程動態(tài)系統(tǒng)，得到的低維系統(tǒng)代表了原高階系統(tǒng)的能量，較低的維數(shù)大大的簡化在非線性偏微分方程動態(tài)系統(tǒng)應用的

5、時控制器設計，具有比較大的工程價值。2)基于改進誤差函數(shù)的非線性偏微分方程控制系統(tǒng)最優(yōu)化降維方法。主要研究基于改進誤差函數(shù)的非線性偏微分方程控制系統(tǒng)最優(yōu)低維近似系統(tǒng)的方法。通過選取的一般空間基函數(shù)可以得到維數(shù)較高的常微分方程動態(tài)系統(tǒng)，同時將高維空間基函數(shù)組進行轉換可以得到新的空間基函數(shù)組。建立一個與基函數(shù)轉換矩陣相關的改進能量誤差函數(shù)，其中優(yōu)化改進的能量誤差函數(shù)得到基函數(shù)轉換矩陣。結合基函數(shù)轉換可得到新的空間基函數(shù)組，進而采用時空分離和