畢業(yè)論文---利用首次積分法解burgers-fisher方程的精確解

1、<p><b>　　分類號 </b></p><p>　　編 號 </p><p><b>　　畢業(yè)論文</b></p><p>　　題 目利用首次積分法求Burgers-Fisher方程的精確解 </p><p>　　學 院 數(shù)學與統(tǒng)計學院

2、 </p><p>　　姓 名 </p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 </p><p>　　學 號

3、 </p><p>　　研究類型 應用研究 </p><p>　　指導教師 </p><p>　　提交日期 </p><p><b>　　原創(chuàng)性聲明</b

4、></p><p>　　本人鄭重聲明：本人所呈交的論文是在指導教師的指導下獨立進行研究所取得的成果。學位論文中凡是引用他人已經(jīng)發(fā)表或未經(jīng)發(fā)表的成果、數(shù)據(jù)、觀點等均已明確注明出處。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果。</p><p>　　本聲明的法律責任由本人承擔。</p><p>　　論文作者簽名： 年

5、月 日 </p><p><b>　　論文指導教師簽名：</b></p><p>　　利用首次積分法解Burgers-Fisher方程的精確解</p><p>　　摘 要 非線性偏微分方程在物理學和數(shù)學中具有廣泛的應用,所以求非線性偏微分的精確解就具有重要意義.求解非線性偏微分方程的行波解有很多種方法.首次積分法是馮兆生先生提出的一種求精確

6、解的方法.首次積分法與傳統(tǒng)的方法比較具有更方便、更快捷的優(yōu)點.本文就運用首次積分法對Burgers-Fisher方程的精確解進行了一些探討. </p><p>　　關鍵詞 精確解;首次積分法;除法定理</p><p>　　分類號：O175.29</p><p>　　The First Integral Method used to Exact Solutions

7、of Burgers-Fisher Equation</p><p>　　JIANG Jirong</p><p>　　(School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University，Tianshui 741000，China)Abstract Nonlinear partial differential equatio

8、ns has a wide range of applications in physics and mathema. So, it is significant to seek the exact solutions of nonlinear partial differential equations. There are many kinds of methods to solve nonlinear partial diffe

9、rential equation travelling wave.The first integral method is proposed by Mr Feng Zhaosheng .Compared with traditional method, the first integral</p><p>　　Key words Exact solutions, The first integral method

10、, Division theorem</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　0.引言1</b></p><p>　　1.首次積分法的基本原理1</p><p><b>　　2.首次積分法1</b></p><p&g

11、t;　　2.1首次積分的定義1</p><p><b>　　2.2除法定理3</b></p><p>　　2.3首次積分法解非線性偏微分方程的步驟.4</p><p>　　3.利用首次積分法解Burgers-Fisher方程的精確解4</p><p>　　4.利用mathematic軟件繪制精確解的簡易圖7&l

12、t;/p><p><b>　　5.小結8</b></p><p><b>　　6.參考文獻9</b></p><p>　　利用首次積分法解Burgers-Fisher方程的精確解</p><p><b>　　0.引言</b></p><p>　　本文討論

13、的Burgers-Fisher方程</p><p><b>　　(0.1)</b></p><p>　　可以看作在是著名的Fisher方程 </p><p><b>　　(0.2)</b></p><p>　　和Burgers方程</p><p><b>

14、;　　(0.3) </b></p><p>　　的組合方程.BF方程在流體力學、非線性光學、化學物理中有廣泛應用.下面就利用首次積分法對BF方程的精確解進行一些研究. </p><p>　　1.首次積分法的基本原理</p><p>　　首次積分法的基本原理就是將目標方程通過波變換化為以下形式: </p><p>

15、　　. (1.1)</p><p>　　其中是實數(shù),是多項式,是關于的多項式.在這個基礎上,利用除法定理來尋找方程的首次積分,就可以將方程(1.1)化為一階可積的常微分方程組,就可以直接積分求解了.</p><p><b>　　2.首次積分法</b></p><p>　　2.1首次積分的定義

16、 </p><p>　　設函數(shù)的某一個子域內(nèi)連續(xù),而且對于是連續(xù)可微的,又設函數(shù)不為常數(shù),但是沿著微分方程組 </p><p>　　, (2.1)</p><p>　　在區(qū)域內(nèi)的任意積分曲線 </p>

17、<p>　　， (2.3)</p><p>　　函數(shù)V取常數(shù),即 </p><p>　　(為常數(shù)), (2.3)</p><p><b>　　或當時,有 </b><

18、/p><p><b>　　常數(shù).</b></p><p>　　這里的常數(shù)隨積分曲線來確定,就稱</p><p>　　(2.4) </p><p>　　為微分方程(2.2)在區(qū)域內(nèi)的首次積分,其中是一個任意的常數(shù).有時也稱函數(shù)為微分方程(2.2)的首次積分. </p><p>　　定理1 設函數(shù)

19、在區(qū)域內(nèi)是連續(xù)可微的,且不恒為常數(shù),則(2.4)式是微分方程組(2.2)在區(qū)域內(nèi)的首次積分的充分必要條件是</p><p><b>　　(2.5)</b></p><p>　　是關于變量的恒等式.</p><p>　　證明:首先證明必要性.我們設(2.4)式是方程組(2.2)在區(qū)域內(nèi)的一個首次積分.再設</p><p>

20、<b>　　， </b></p><p>　　是微分方程組(2.2)在區(qū)域內(nèi)的任意積分曲線.則在區(qū)間內(nèi)有恒等式</p><p>　?。槌?shù)）. (2.6)</p><p>　　兩邊對求導數(shù),就會有</p><p>　　, (2.7)</p>&l

21、t;p><b>　　或者在上有恒等式</b></p><p>　　. (2.8) </p><p>　　因為經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的任意一點都有微分方程(2.2)的一條積分曲線,所以(2.8)也就成為了區(qū)域內(nèi)的恒等式,故恒等式(2.6)成立.</p><p>　　再證明充分性.設恒等式(2.5)

22、是成立的,由上述積分曲線在區(qū)域,所以得到恒等式(2.8),然后可以由(2.8)反推可以得到式(2.6).這樣就證明了式(2.5)是微分方程組(2.2)在區(qū)域內(nèi)的一個首次積分.證畢.</p><p>　　一般的,若階常微分方程組有個相互獨立的首次積分，如果求得階常微分方程組的個相互獨立的首次積分，則可以通過上述方法求得階常微分方程組的同解.其中首次積分在某一個子域內(nèi)的雅克比行列式 ,則稱是相互獨立的.</p&

23、gt;<p><b>　　2.2除法定理</b></p><p>　　設是復數(shù)域上的多項式,而且在上是不可約的,如果不包含的全部零點,就可以得到復數(shù)域上存在一個多項式使得.</p><p>　　2.3首次積分法解非線性偏微分方程的步驟. </p><p>　　給定一個非線性偏微分方程

24、</p><p>　　, (2.10)</p><p>　　第一步運用行波變換將方程(2.10)化為二階常微分方程</p><p><b>　　(2.11)</b></p><p>　　第二步令,將二階常微分方程(2.11)化為一階常微分方程組</p><

25、p>　　. (2.12)</p><p>　　設一階常微分方程(2.12)的首次積分形式為(通常取)其中是實數(shù)域上的待定的多項式,第三步我們根據(jù)除法定理,可以得到存在實數(shù)域上的多項式使得</p><p>　　. (2.13) </p&g

26、t;<p>　　由等式(2.13)就可以確定,,第四步求出最后將代入方程中,解這個方程就可以得到方程(2.10)的精確解.</p><p>　　3.利用首次積分法解Burgers-Fisher方程的精確解</p><p>　　考慮非線性熱傳導Burgers-Fisher方程</p><p>　　. (3.1)

27、</p><p>　　首先設方程(3.1)有如下波形解</p><p>　　, , . (3.2) </p><p>　　將(3.2)式帶入方程(3.1)可以得到</p><p>　　. (3.3)</p><p>　　其中(為待定的常數(shù)，

28、表示波速）.再令,那么方程(3.3)等價于 </p><p>　　. (3.4) </p><p>　　設和是方程組(3.4)的非平凡解,而且是復數(shù)域上的不可約的多項式,滿足</p><p>　　, (3.5)<

29、/p><p>　　其中是關于的多項式,.方程(3.5)就叫做方程(3.3)的首次積分.取,我們注意到是和的多項式,并且表示.再根據(jù)除法定理,在復數(shù)域上存在一個多項式,使得</p><p>　　. (3.6)</p><p>　　使方程(3.6)兩邊的系數(shù)相等,可以得到方程組</p><p&

30、gt;<b>　　(3.7.1) </b></p><p>　　(3.7.2) </p><p>　　(3.7.3) </p><p>　　(3.7.4) </p><p>　　由于是多項式,所以由(3.7.1)可以得到(為常數(shù)),而且.不失一般性,我們?nèi)?則(3.7.2)和(3.7.3)可以

31、化簡為</p><p>　　, （3.8）</p><p>　　. （3.9）</p><p>　　由方程(3.7.4)和方程(3.9),平衡和的次數(shù),我們可以得到,同時.</p><p>　　所以我們可以設，,再將它們代

32、入到方程(3.8)和方程(3.9)中,積分就可以得到</p><p>　　, (3.10)</p><p><b>　　(3.11)</b></p><p><b>　　其中為積分常數(shù).</b></p><p>　　將,

33、方程(3.10)和方程(3.11)代入到方程(3.7.4)中,可以得到方程</p><p>　　. (3.12)</p><p>　　令方程(3.12)中,,,以及常數(shù)項為零,可以得到方程組</p><p><b>　　(3.13)</b></p><p>　　解這個代數(shù)方程組,可以得到</p&

34、gt;<p>　　, , , . (3.14)</p><p>　　將結果式(3.14)代入到(3.11)和中,可以得到</p><p><b>　　(3.15)</b></p><p>　　將結果式(3.15)代入到首次積分(3.5)中,得到</p><p>　　.

35、 (3.16)</p><p>　　化簡方程(3.16)并將其代入到方程(3.4)再將代入可得方程(3.1)的精確解為</p><p><b>　　(3.17) </b></p><p><b>　　(3.18) </b></p><p>　　其中為任

36、意積分常數(shù).</p><p>　　4.利用mathematic軟件繪制精確解的簡易圖</p><p>　　為了更好地研究Burgers-Fisher方程,我們可以利用mathematic軟件繪制出精確解的簡單的三維圖.</p><p>　　在mathematic軟件中輸入如下程序代碼：</p><p><b>　　.</b&g

37、t;</p><p>　　運行程序,得到如下簡易圖形</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　再輸入</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　運行程序,又可以得到方程另外一個精確解的簡易圖形<

38、/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中令,取.</b></p><p><b>　　5.小結</b></p><p>　　從上面的過程可以看出,首次積分法對于求解Burgers-Fisher方程的精確解是一種可行的方法.由此我們可以推斷對類似的非線性

39、偏微分方程也可以用該方法求其精確解.本文只討論了Burgers-Fisher方程的簡單形式,對于更一般形式的Burgers-Fisher方程及其精確解,還需要作進一步的研究.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 郭玉翠. 非線性偏微分方程引論[M]. 北京:清華大學出版社, 2008:205～227.[2] 王高雄,周之銘等

40、. 常微分方程[M]. 北京:高等教育出版社, 2006:348～352.</p><p>　　[3] 湯光宋,陳凡. 可利用首次積分法求解的幾類非線性微分方程[J]. 商洛師范專科學校學報, </p><p>　　2003, 17(2):19～22.</p><p>　　[4] 陳肖石,湯光宋. 利用首次積分求解幾類二階非線性常微分方程[J]. 江西大學學報,

41、</p><p>　　2000, 2:12～15.</p><p>　　[5] 高勇強. 關于ChaffeeInfante方程精確解的另一種求法[J]. 廊坊師范學院學報(自然科學版)，</p><p>　　2009, 9(3):11～15.</p><p>　　[6] 王明亮,白雪. 廣義BurgersFisher方程的精確解[J].

42、蘭州大學學報(自然科學版)，</p><p>　　1999, 35(2):1～5.</p><p>　　[7] 王大鹿. 基于Mathematica軟件的函數(shù)作圖及性質(zhì)分析[J]. 高等函授學報(自然科學版)，</p><p>　　2011, 24(5):74～76.</p><p><b>　　致 謝</b>&

43、lt;/p><p>　　大學四年學習時光已接近尾聲,在此我想對我的母校,我的親人,我的老師和同學表達我由衷的感謝.感謝我的家人對我大學四年學習的默默支持,感謝我的母校給了我在大學四年深造的機會,讓我能繼續(xù)學習提高,感謝母校的老師和同學四年來的關心和鼓勵.老師們課堂上的激情洋溢,課堂下的孜孜教誨,同學們在學習中的認真熱情,生活上的熱心主動,所有這些都讓我的四年充滿了感動.本論文的順利完成離不開各位老師,同學和朋友的關心

44、和幫助,特別是導師馬老師的悉心指導和關心支持尤為重要,每次遇到困難,我最先做的就是向馬老師尋求幫助,而馬老師總會抽空幫助我解決困難,幫我審查,修改論文.導師淵博的專業(yè)知識,嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度,精益求精的工作作風,誨人不倦的高尚師德,是我以后學習,工作的榜樣.</p><p>　　感謝陪我度過美好大學四年的老師,同學,朋友,要感謝的、想感謝的太多,無法一一列舉,但我將帶著你們的支持繼續(xù)前進,讓自己生活的更好!</