數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文---把概率和生活融合起來

1、<p><b>　　學(xué)號：</b></p><p><b>　　學(xué)士學(xué)位論文</b></p><p>　　題 目 把概率和生活融合起來</p><p><b>　　學(xué) 生 </b></p><p>　　指導(dǎo)教師 講師</p>&

2、lt;p><b>　　年 級 </b></p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</p><p>　　系 別 數(shù)學(xué)系</p><p>　　學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院</p><p>　　學(xué) 士 學(xué) 位 論 文</p><p>　　題 目 把概率和

3、生活融合起來</p><p><b>　　學(xué) 生 </b></p><p>　　指導(dǎo)教師 講師</p><p><b>　　年 級 </b></p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</p><p>　　系 別 數(shù)學(xué)系</

4、p><p>　　學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院</p><p><b>　　2012年4月</b></p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要1</b></p><p><b>　　關(guān)鍵詞1</b>

5、</p><p><b>　　1 預(yù)備知識1</b></p><p>　　1.1概率的起源1</p><p><b>　　1.2隨機(jī)事件2</b></p><p>　　1.3概率的定義2</p><p>　　1.4概率的若干定理2</p><p&

6、gt;　　2 生活中融合的概率問題3</p><p><b>　　2.1彩票中獎3</b></p><p>　　2.2體育比賽中的概率問題6</p><p>　　2.3抓鬮的公平性7</p><p>　　2.4生日相同的概率8</p><p>　　2.5生活中融合概率的其它方面9<

7、;/p><p><b>　　參考文獻(xiàn)10</b></p><p><b>　　外文摘要11</b></p><p>　　把概率和生活融合起來</p><p>　　摘要:概率是與日常生活、生產(chǎn)實踐結(jié)合最緊密的一門學(xué)科.本篇論文介紹了概率聯(lián)系日常生活中的一些隨機(jī)現(xiàn)象，從生活中融合的概率問題談起，揭示了相

8、關(guān)概率問題的內(nèi)在規(guī)律性，并探討了概率知識在解決生活中實際問題中的一些應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：概率；隨機(jī)現(xiàn)象；規(guī)律性 </p><p><b>　　1 預(yù)備知識</b></p><p>　　概率論同其他數(shù)學(xué)分支一樣，是在一定的社會條件下，通過人類的社會實踐和生產(chǎn)活動發(fā)展起來的一種智力積累．今日的概率論被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，已成為一棵參

9、天大樹，枝多葉茂，碩果累累。正如鐘開萊1974年所說：“在過去半個世紀(jì)中，概率論從一個較小的、孤立的課題發(fā)展為一個與數(shù)學(xué)許多其它分支相互影響、內(nèi)容寬廣而深入的學(xué)科。”現(xiàn)在概率已經(jīng)融合于生活的各個部分，它的每一步都凝結(jié)著數(shù)學(xué)家們的心血，正是一代又一代數(shù)學(xué)家的辛勤努力才有了概率論的今天。下面我將對概率及其相關(guān)知識做簡單的介紹。</p><p><b>　　1.1概率的起源</b></p&g

10、t;<p>　　它起源于對賭博問題的研究。早在16世紀(jì)，意大利學(xué)者卡丹與塔塔里亞等人就已從數(shù)學(xué)角度研究過賭博問題。他們的研究除了賭博外還與當(dāng)時的人口、保險業(yè)等有關(guān)，但由于卡丹等人的思想未引起重視，概率概念的要旨也不明確，于是很快被人淡忘了。</p><p>　　據(jù)傳，當(dāng)時有一個法國賭徒梅勒遇到了一個難解的問題:梅勒和他的一個朋友每人出30個金幣，兩人誰先贏滿三局誰就得到全部賭注。在游戲進(jìn)行了一會兒后

11、，梅勒贏了兩局，他的朋友贏了一局。這時候梅勒由于一個緊急事情必須離開，游戲不得不停止。他們該如何分配賭桌上的60金幣的賭注呢？梅勒的朋友認(rèn)為，既然他接下來贏的機(jī)會是梅勒的一半，那么他該拿到梅勒所得的一半，即他拿20金幣，梅勒拿40金幣.然而梅勒爭執(zhí)道:再擲一次色子，即使他輸了，游戲是平局，他最少也能得到30金幣；但如果他贏了，就可以拿走全部的賭注.在下一次擲色子之前，他實際上已經(jīng)擁有了30金幣，他還有50%的機(jī)會贏得另外30金幣，所以，

12、他應(yīng)分得45金幣。</p><p>　　賭本究竟如何分配才合理呢？后來梅勒把這個問題告訴了當(dāng)時法國著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡，這居然也難住了帕斯卡，因為當(dāng)時并沒有相關(guān)的知識來解決此類問題，而且兩人說的似乎都有道理。帕斯卡又寫信告訴了另一個著名的數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬，于是在這兩位偉大的法國數(shù)學(xué)家之間開始了具有劃時代意義的通信，在通信中，他們最終正確地解決了這個問題他們設(shè)想:如果繼續(xù)賭下去，梅勒(設(shè)為甲)和他的朋友(設(shè)為乙)最終獲勝

13、的機(jī)會如何呢？他們倆至多再賭兩局即可分出勝負(fù)，這兩局勝yo的情況有4種可能的結(jié)果（見右圖）：前三種情況都是甲最后取勝，只有最后一種情況才是乙取勝所以賭注應(yīng)按3:1的比例分配，即甲得45金幣，乙得15金幣.雖然梅勒的計算方式不一樣，但他的分配方式是對的。 </p><p>　?。▓D1）

14、 </p><p>　　后來，惠更斯于1657年寫成了《論賭博中的計算》一文，這是最早的概率論著作。同時，他們的研究還吸引了許多學(xué)者，由此把賭博的數(shù)理討論推向了一個新的臺階，逐漸建立起一些重要概念及運(yùn)算法則，從而使這類研究從對機(jī)會性的游戲的分析發(fā)展上升為一個新的數(shù)學(xué)分支，概率逐漸演變成一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)。</p><p>

15、<b>　　1.2隨機(jī)事件</b></p><p>　　我們把在一定的條件下，對自然現(xiàn)象進(jìn)行一次觀察或進(jìn)行一次科學(xué)試驗稱為一個試驗，如試驗滿足以下條件：</p><p>　?。?）在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行；</p><p>　?。?）試驗的所有可能結(jié)果是預(yù)先知道的，且不止一個。</p><p>　?。?）每做一次試驗總

16、會出現(xiàn)可能結(jié)果中的一個，但在試驗之前，不能預(yù)言會出現(xiàn)哪個結(jié)果。</p><p>　　那么，就稱這樣的試驗為隨機(jī)試驗，也常簡稱隨機(jī)試驗為試驗。</p><p>　　試驗的每一個可能結(jié)果，稱為基本事件，用或表示，若干基本事件復(fù)合而成的結(jié)\果稱為復(fù)雜事件，常A B C等表示，試驗下必然會發(fā)生的結(jié)果稱為必然事件，常用Ω表示，必然不會出現(xiàn)的結(jié)果稱為不可能事件，常用表示，上述事件統(tǒng)稱為隨機(jī)事件，簡稱事

17、件，</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　1.3概率的定義</b></p><p>　　概率，簡單地說，就是一件事發(fā)生的可能性的大小，是事件本身所固有的不隨人的主觀意愿而改變的一種屬性，它是隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性的量度，同時也是概率論最基本的概念之一，概率往往有著一些不同的具體表現(xiàn)形式人們最開

18、始接觸到的是古典概率。</p><p>　　古典概率定義：在包含個等可能樣本點的樣本空間里，如果某一事件包含其中的個本點（每個樣本點出現(xiàn)的可能性都是相等的），則事件發(fā)生的概率為： </p><p>　　比如：太陽每天都會東升西落，這件事發(fā)生的概率就是100%或者說是1，因為它肯定會發(fā)生；而太陽西升東落的概率就是0，因為它肯定不會發(fā)生。但生活中的很多現(xiàn)象是既有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的，比如

19、某天會不會下雨、買東西買到次品等等，這類事件的概率就介于0和100%之間，或者說0和1之間。在日常生活中無論是股市漲跌，還是發(fā)生某類事故，但凡捉摸不定、需要用“運(yùn)氣”來解釋的事件，都可用概率模型進(jìn)行定量分析。不確定性既給人們帶來許多麻煩，同時又常常是解決問題的一種有效手段甚至唯一手段。此外，還有概率的統(tǒng)計定義、幾何定義及主觀概率，這里不再一一祥述了。</p><p>　　1.4概率的若干定理</p>

20、<p>　　定理 1 (互補(bǔ)法則)與互補(bǔ)事件的概率始終是：</p><p>　　定理 2 不可能事件的概率為零： </p><p>　　定理 3 如果若干事件 每兩兩之間是空集關(guān)系，那么這些所有事件集合的概率等于單個事件的概率的和：</p><p>　　注意針對這一定理有效性的決定因素是 事件不能同時發(fā)生。</p><p>　　定

21、理 4 (乘法法則) 事件 ， 同時發(fā)生的概率是：</p><p>　　公式中的 是指在 條件下 發(fā)生的概率，又稱作條件概率。</p><p>　　定理 5 （全概率公式）設(shè)事件當(dāng)且僅當(dāng)互不相容的事件中的任一事件發(fā)生時才可能發(fā)生，已知事件的概率及事件在已發(fā)生的條件下的條件概率為，我們要計算事件發(fā)生的概率，這時，我們有下面的公式： </p><p>　　這個公式叫做全

22、概率公式，事件叫做關(guān)于事件的假設(shè)。</p><p>　　2 生活中融合的概率問題</p><p>　　概率融合于生活中的方方面面，比如人們買彩票，但是中獎的彩票卻微乎其微這就，顯示了小概率事件發(fā)生的幾率之小。體育比賽賽制的選擇用概率體現(xiàn)了公平與不公平，抓鬮的公平與否也需要概率來判定，一個班級同學(xué)中，有幾個同學(xué)是生日相同的概率是多大呢，生活中許多問題都是用概率來指導(dǎo)和決策，減少錯誤與失敗的。

23、把概率與生活結(jié)合起來，才能更好的將概率為我們所用，發(fā)揮概率更好的作用，下面我將對上述生活中融合的概率問題做進(jìn)一步分析。</p><p><b>　　2.1彩票中獎</b></p><p>　　生活中我們提到對彩票，人們都非常感興趣，馬上想到中大獎，一夜暴富，所以很多彩民愿意賭一把，但是在現(xiàn)實中能夠中獎的卻是寥寥無幾。下面我們通過幾種常見的彩票，簡單地探究一下中獎概率究

24、竟有多大呢？我們依靠彩票來發(fā)家致富的夢想，是否容易實現(xiàn)呢？</p><p>　　一種福利彩票稱為幸福35選7，即從中,01,02, …,35不重復(fù)的開出7個基本號碼，</p><p>　　一個特殊號碼，中各等獎的規(guī)則如下，試求各等獎的中獎概率？</p><p>　　表1 幸福35選7的中獎規(guī)則</p><p>　　解 因為不重復(fù)的選號碼是一

25、種不放回抽樣，所以樣本空間含有個樣本點，要中獎應(yīng)把抽取看成是在三種類型號碼中抽取：7個基本號碼； 1個特殊號碼； 27個無用號碼。</p><p>　　若記為中第i等獎的概率，可得到各等獎的中獎概率如下：</p><p>　　若記為事件“中獎”，則為事件“不中獎”，且由</p><p><b>　　可得：</b></p><

26、p><b>　　；</b></p><p>　　這就說明：一百人中約有人中獎；而中一等獎的概率只有即二千萬個人中約有人中獎。</p><p>　　從計算結(jié)果中我們看到中獎的概率很低，而且中頭獎的概率更是微乎其微。所以投資在彩票上很難賺錢。所以彩民要科學(xué)理智的對待買彩票這件事情，盡管將近看起來很高，但是中獎概率非常低，投資彩票回報率是很低的，彩民很難獲得預(yù)期的效益

27、。</p><p>　　例2 幸運(yùn)七星及足彩中獎概率。</p><p>　　體彩“幸運(yùn)七星”屬于數(shù)字型玩法，即從共個號碼中任選一個七位數(shù)號碼組成，每個號碼均從共個數(shù)字中開出，“幸運(yùn)七星”頭獎的理論中獎概率為。</p><p>　　足彩實際上也是一種數(shù)字組合型玩法，不過計算方法相對比較簡單，場比賽均選“”可組合出：</p><p>　　注單式

28、號碼，一等獎的中獎概率為。</p><p>　　換句話說，每銷售320萬元的足彩，平均才可能誕生一個一等獎。因此購買彩票要有平常心，期望值不宜過高。</p><p>　　2.2體育比賽中的概率問題</p><p>　　體育比賽中利用概率求解的案例有許多，利用概率求解實際問題時，并不都是這么容易的，而許多概率的計算是富有技巧的。 </p><p&g

29、t;　　例3 在斯諾克臺球比賽中，我國運(yùn)動員丁俊暉與國外運(yùn)動員奧沙利文相遇，根據(jù)實際排名和以往的戰(zhàn)績統(tǒng)計，每賽一局丁俊暉勝的概率為0.45，奧沙利文勝的概率為0.55，若比賽可采用三局兩勝制，也可以采用五局三勝制，問采用哪種賽制對丁俊暉更有利？ </p><p>　　解（1）采用三局兩勝制：設(shè)表示丁俊暉勝前兩局，表示前兩局中二人各勝一局，第三局丁俊暉勝，表示丁俊暉勝，則。</p><p>

30、;<b>　　而，</b></p><p>　　由于與互斥，由加法公式得:</p><p>　?。?）采用五局三勝制：設(shè)表示丁俊暉勝，表示前三局丁俊暉勝，表示前三局，丁俊暉勝兩局，奧沙利文勝一局，第四局丁俊暉勝，表示前四局兩人各勝兩局，第五局丁俊暉勝，</p><p><b>　　則</b></p><

31、p><b>　　而,</b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　由</b></p><p>　　故采用三局兩勝制對丁俊暉有利，但從公平性而言，因丁俊暉的概率為，奧沙利文的概率為，所以“五局三勝制”更公平、更合理。在實際比賽中，采用的是十九局十局勝制，更為公平

32、、合理，結(jié)果是丁俊暉輸了（斯諾克大賽中的比賽結(jié)果），如果采用三局兩勝制，丁俊暉就戰(zhàn)勝了奧沙利文。</p><p>　　例4 在某次世界女排錦標(biāo)賽中，中、日、美、古巴4個隊爭奪決賽權(quán)，決賽方式是中國對古巴，日本對美國，并且中國隊已經(jīng)戰(zhàn)勝古巴隊，現(xiàn)根據(jù)以往的戰(zhàn)績，假定中國隊?wèi)?zhàn)勝日本隊和美國隊的概率分別為0.9和0.4，而日本隊?wèi)?zhàn)勝美國隊的概率為0.5，試問中國隊取得冠軍的可能性有多大？</p><

33、p>　　解 根據(jù)上述形式，未完成的日美半決賽隊中國冠軍的影響很大，若日本隊勝利，則中國隊可有90%的希望奪冠，若美國隊勝利，則中國隊奪冠的希望只有40%。在日本隊和美國隊未比賽前，他們誰能取得決賽權(quán)，兩種情況都必須考慮到。</p><p>　　記“中國隊得冠軍”為事件,日本隊勝美國隊為事件,有美國隊勝日本隊為事件,，顯然有，要么日本隊勝，要么美國隊勝，二者必居其一，所以為一個劃分，有全概率公式，這里<

34、;/p><p><b>　　,</b></p><p>　　其中，，是個條件概率.表示在日本隊勝美國隊的條件下中國隊取得冠軍的概率。由題意可知，；表示在美國隊勝日本隊的條件下，中國隊取得冠軍的概率，由題意可知，。</p><p>　　綜上所述，在日、美未決賽前，估計中國隊取得冠軍的概率為</p><p><b>　

35、　2.3抓鬮的公平性</b></p><p>　　從古代流傳下來的抓鬮的方法一直被人們認(rèn)為是一種比較公平的解決問題的方法，下面我們構(gòu)造一個概率模型來說明它的公平性。 </p><p>　　例5 一項耐力比賽，勝出的10人中有1人可以獲得一次旅游的機(jī)會，組織者決定以抓鬮的方式分配這一名額。采取一組10人抓鬮，10張鬮中只有一張寫“有”，每個人都想爭取到這次機(jī)會，你希望自己是第幾個

36、抓鬮者呢？有人說要先抓，否則寫“有”的鬮被別人抓到自己就沒有機(jī)會了；有人說不急于先抓，如果前面的人沒有抓“有”的鬮，這時抓到“有”的機(jī)會會大一些。我們用概率的方法構(gòu)造一個摸球模型來說明抓鬮的問題的公平性。摸球模型袋中有1個紅球和9個黃球，除顏色不同外，球的大小、形狀、質(zhì)量都相同?，F(xiàn)在10依次摸球(不放回)，求紅球被第個人摸到的概率？</p><p>　　解 設(shè)“第個人摸到紅球”， </p><

37、;p>　　顯然，紅球被第一個人摸到的概率為</p><p>　　因為,于是紅球被第二個人摸到的概率為</p><p>　　同樣，由 ,知道紅球被第三個人摸到的概率為</p><p>　　如此繼續(xù)，類似可得:</p><p>　　由此可見，其結(jié)果與無關(guān)，表明10個人無論摸球順序如何，每個人摸到紅球的機(jī)會相等。這說明10個人抓鬮，無論先后，

38、抓到的機(jī)會是均等的 。</p><p>　　類似的抽簽問題也是一樣的，他們都是公平的，先抽后抽都一樣的概率，理解了抽簽問題，在抽簽時泰然處之，就沒必要再抽簽時爭先恐后，或者畏首畏尾了。</p><p>　　2.4生日相同的概率</p><p>　　生日悖論是指，如果一個房間里有23個或23個以上的人，那么至少有兩個人的生日相同的概率要大于50%。這就意味著在一個典型

39、的標(biāo)準(zhǔn)小學(xué)班級(30人)中，存在兩人生日相同的可能性更高，對于60或者更多的人，這種概率要大于99%。大多數(shù)人會認(rèn)為，23人中有2人生日相同的概率應(yīng)該遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于50%。計算與此相關(guān)的概率被稱為生日問題。 </p><p>　　例6 以1年365天計(不考慮閏年因素)，在某人群中至少要有兩人的生日相同（可以不同年），那么需要多少人呢?只要人數(shù)超過365人，就必然會有人的生日相同。但如果一個班有50個人，他們中間有人

40、相同的概率是多少?</p><p>　　分析：你可能會猜測，大概20%到30%吧.錯，有97%的可能！我們來算一下，</p><p>　　50個人可能的生日組合是</p><p>　　50個人生日都不重復(fù)的組合是</p><p>　　50個人生日全不相同的概率是</p><p>　　50個人生日有重復(fù)的概率是</

41、p><p>　　通過計算我們可以很明顯的看出當(dāng)一個班的人數(shù)超過50人時，則出現(xiàn)相同生日的學(xué)生的可能性為0.97，幾乎接近于1。</p><p>　　另外，經(jīng)過簡單計算，我們也可以歸納出現(xiàn)相同生日（可以不同年）的概率情況，</p><p><b>　　見表2</b></p><p>　　表2 20-60人相同生日概率統(tǒng)計表（

42、為人數(shù)，為概率）</p><p>　　所以如果一個房間里有23個或23個以上的人，那么至少有兩個人的生日相同的概率要大于50%。這就意味著在一個典型的標(biāo)準(zhǔn)小學(xué)班級(30人)中，存在兩人生日相同的可能性更高。對于60或者更多的人，這種概率要大于99%。</p><p>　　這說明，面對一個貌似簡單的概率問題時，如果我們主觀臆斷，有時可能與實際情況完全不同了。</p><p

43、>　　2.5生活中融合概率的其它方面</p><p>　　日常生活中我們總希望自己的運(yùn)氣能好一些，碰運(yùn)氣的也大有人在，就像考生面臨考試一樣，這其中固然有真才實學(xué)者，但也不乏抱著僥幸心理的濫竽充數(shù)者。那么，對于一場正規(guī)的考試僅憑運(yùn)氣能通過嗎?我們以大學(xué)英語四級考試為例來說明這個問題。 </p><p>　　大學(xué)英語四級考試是全面檢驗大學(xué)生英語水平的一種考試，具有一定難度，包括聽力、語法

44、結(jié)構(gòu)、閱讀理解、填空、寫作等。除寫作15分外，其余85道題是單項選擇題，每道題有A、B、C、D四個選項，這種情況使個別學(xué)生產(chǎn)生碰運(yùn)氣和僥幸心理，那么靠運(yùn)氣能通過四級英語考試嗎?答案是否定的。假設(shè)不考慮寫作15分，及格按60分算，則85道題必須答對51題以上。這種概率非常小，相當(dāng)于1000億個靠運(yùn)氣的考生中僅有0.874人能通過。所以靠運(yùn)氣通過考試是不可能的。 </p><p>　　因此，我們在生活和工作中，無論做

45、什么事都要腳踏實地，對生活中的某些偶然事件要理性的分析、對待。隨著生產(chǎn)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)水平的提高，概率已滲透到我們生活的各個領(lǐng)域。眾所周知的保險、郵電系統(tǒng)發(fā)行有獎明信片的利潤計算、招工考試錄取分?jǐn)?shù)線的預(yù)測甚至利用腳印長度估計犯人身高等無不融合了概率知識。</p><p>　　又如生活中休閑娛樂時，在撲克牌的游戲中，運(yùn)用概率的計算進(jìn)行出牌正是衡量玩牌者水平的重要標(biāo)準(zhǔn)。例如，一個玩牌者經(jīng)過計算，認(rèn)定出牌A比出牌B獲勝

46、的概率大，那么它會出牌A，盡管出牌A也有招致失敗的風(fēng)險?？梢姡?dāng)我們在概率的意義上進(jìn)行判斷和作出決策時，完全有可能犯錯誤，不可能有絕對的把握正確。只是，我們總希望犯錯誤的概率小一些。因此，我們在生活和工作中，對生活中的事件要理性的分析、對待。</p><p>　　如今“降水概率”已經(jīng)赫然于電視和報端。有人設(shè)想，不久的將來，新聞報道中每一條消息旁都會注明“真實概率”，電視節(jié)目的預(yù)告中，每個節(jié)目旁都會寫上“可視度概率

47、”。另外，還有西瓜成熟概率、火車正點概率、藥方療效概率、廣告可靠概率等等。又由于概率是等可能性的表現(xiàn)，從某種意義上說是民主與平等的體現(xiàn)，因此，社會生活中的很多競爭機(jī)制都能用概率來解釋其公平合理性。</p><p>　　上面列舉了概率在實際問題中的幾個簡單應(yīng)用，其實日常生活中到處都有概率的影子。作為一門獨(dú)立的學(xué)科，概率的足跡已經(jīng)深入到每一個領(lǐng)域，在實際問題的應(yīng)用隨處可見，總之，隨著社會的發(fā)展,概率必將越來越顯示出它

48、巨大的威力。我們要盡可能地將課本上學(xué)習(xí)的理論與實際生活聯(lián)系起來，更加全面地去理解概率,把概率和生活充分融合起來，從事物的表象看到本質(zhì)，相信人類能夠更好的“挖掘概率的潛能”，使之最大限度的為人類服務(wù)。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1] 雒志江：概率在生活中的應(yīng)用，梁高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2008(2):18-20。</p>

49、;<p>　　[2] 沈恒范：概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[J]，高等教育出版社，2003(4)：19。</p><p>　　[3] 劉長波：生活中的概率問題距離，沈陽師范大學(xué)學(xué)報，2007(4)：531-533。</p><p>　　[4] 張芳：概率的應(yīng)用，山西財經(jīng)大學(xué)學(xué)報，2007(1)：243。</p><p>　　[5] 王東妹：概率在生活中的簡單應(yīng)

50、用[J]，濟(jì)南師范學(xué)院學(xué)報，2008(2)：535-534。</p><p>　　[6].張奠宙,過伯祥：數(shù)學(xué)方法論稿[M]，上海教育出版社，1999(2)：10。</p><p><b>　　外文摘要：</b></p><p>　　THE POROBAILITY AND LIVING TOGETHER</p><p>

51、　　Abstract：Probability and daily life, production practice most closely a discipline. This paper introduces probability related to the daily life of some random phenomenon, from the life of the fusion probability problem

52、s, revealing the relevant problems of probability regularity, and discusses the probability knowledge in solving real life problems of some application.</p><p>　　Keywords：Probability; Random phenomenon; Regu