數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)--三次樣條插值

1、<p>　　《數(shù)值分析》課程設(shè)計(jì)</p><p><b>　　三次樣條插值算法</b></p><p>　　院（系）名稱(chēng) 信息工程學(xué)院 </p><p>　　專(zhuān) 業(yè) 班 級(jí) </p><p>　　學(xué) 號(hào)

2、 </p><p>　　學(xué) 生 姓 名 </p><p>　　指 導(dǎo) 教 師 </p><p>　　2012年06月08日</p><p><b>　　課程設(shè)計(jì)任務(wù)書(shū)</b></p><p>　　2008—2009

3、學(xué)年第二學(xué)期</p><p>　　課程設(shè)計(jì)名稱(chēng)： 數(shù)值分析 </p><p>　　設(shè)計(jì)題目： 三次樣條插值 </p><p>　　完成期限：自 2012 年 6 月 8 日至 2012 年 6 月 13 日共 1 周</p><p>　　設(shè)計(jì)依據(jù)、要求及主要內(nèi)容：</p>&

4、lt;p>　　一、設(shè)計(jì)目的 </p><p>　　熟練掌握三次樣條插值算法的原理和推導(dǎo)過(guò)程，并且能夠應(yīng)用Matlab軟件編寫(xiě)相應(yīng)的程序和使用Matlab軟件函數(shù)庫(kù)軟件。

5、 </p><p>　　二、設(shè)計(jì)要求 </p><p>　　(1)用Matlab函數(shù)庫(kù)中相應(yīng)函數(shù)對(duì)選定的問(wèn)題，求出具有一定精度的結(jié)果。 </p><p>　　(2)使用所用的方法編寫(xiě)Matlab程序求解,對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行分析。

6、 </p><p>　　(3)對(duì)于使用多個(gè)方法解同一問(wèn)題的，在界面上設(shè)計(jì)成菜單形式。 </p><p>　　三、設(shè)計(jì)內(nèi)容 </p><p>　　首先構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)的定義和一般特征,

7、并對(duì)實(shí)例問(wèn)題進(jìn)行實(shí)例分析,并總結(jié) </p><p>　　四、參考文獻(xiàn) </p><p>　　[1] 黃明游,馮果忱.數(shù)值分析[M].北

8、京:高等教育出版社,2008. </p><p>　　[2] 馬東升,雷勇軍.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006.

9、 [3] 石博強(qiáng),趙金.MATLAB數(shù)學(xué)計(jì)算與工程分析范例教程[M].北京:中國(guó)鐵道出版社.2005. </p><p>　　[4]郝紅偉，MATLAB 6，北京，中國(guó)電力出版社，2001

10、 </p><p>　　[5]姜健飛，胡良劍，數(shù)值分析及其MATLAB實(shí)驗(yàn)， 科學(xué)出版社，2004 </p><p>　　[6]薛毅，數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)，北京工業(yè)大學(xué)出版社，2005 </p><p>　　計(jì)劃答辯時(shí)間：2012年6月18日</p><p>　　指導(dǎo)

11、教師（簽字）： 教研室主任（簽字）： </p><p><b>　　三次樣條插值</b></p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　分段低次樣條插值雖然計(jì)算簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、收斂性有保證且易在電子計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，但只能保證各小段曲線(xiàn)在連接處的

12、連續(xù)性，不能保證整件曲線(xiàn)的光滑性。利用樣條插值，既可保持分段低次插值多項(xiàng)式，又可提高插值函數(shù)光滑性。故給出分段三次樣條插值的構(gòu)造過(guò)程、算法步驟，利用MATLAB軟件編寫(xiě)三次樣條插值函數(shù)通用程序，并通過(guò)數(shù)值算例證明程序的正確性。</p><p>　　關(guān)鍵字:三次樣條 插值函數(shù) MATLAB編程 收斂性 算法步驟</p><p>　　一 三次樣條函數(shù)定義及特征</p>

13、<p>　　定義1：若函數(shù),且在每個(gè)小區(qū)間上上是三次多項(xiàng)式，其中 是給定節(jié)點(diǎn)，則稱(chēng)是節(jié)點(diǎn)上的三次樣條函數(shù)。若節(jié)點(diǎn)上 給定函數(shù)值 ,且 </p><p><b>　　（1.1）</b></p><p>　　成立，則稱(chēng) 為三次樣條差值函數(shù)。</p><p>　　從定義知，要求出，在每個(gè)應(yīng)小區(qū)間 上確定4個(gè)待定系數(shù)，共有 n個(gè)小區(qū)間，故應(yīng)確

14、定4n 個(gè)參數(shù)，根據(jù) 在 上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，在節(jié)點(diǎn)處應(yīng)滿(mǎn)足連續(xù)性條件</p><p><b>　　（1.2）</b></p><p>　　共有 3n-3個(gè)條件，再加上滿(mǎn)足插值條件（1.1），共有4n-2個(gè)條件，因此還需要2個(gè)條件才能確定。通?？稍趨^(qū)間 端點(diǎn)上各加一個(gè)條件（稱(chēng)邊界條件），邊界條件可根據(jù)實(shí)際的問(wèn)題要求給定。常見(jiàn)的三種：</p><p>

15、;　　(1) 已知兩端的一節(jié)導(dǎo)數(shù)值，即</p><p><b>　　（1.3）</b></p><p>　　(2)兩端的二階導(dǎo)數(shù)已知，即</p><p><b>　　（1.4）</b></p><p>　　特殊情況下的邊界條件</p><p>　?。?.4）’

16、</p><p><b>　　稱(chēng)為自然邊界條件</b></p><p>　?。?）當(dāng)是以 為周期函數(shù)時(shí)，則要求 也是周期函數(shù)，這時(shí)邊界條件應(yīng)滿(mǎn)足</p><p>　　而此時(shí)式中 , 這樣確定的樣條函數(shù) 稱(chēng)為周期函數(shù)。</p><p>　　二 函數(shù)推導(dǎo)原理及構(gòu)造</p><p>　　我們采用待定

17、一階導(dǎo)數(shù)的方法即設(shè)S(Xj)=Mj,j=0,1,...,n,因?yàn)榉侄稳蜨ermite插值多項(xiàng)式已經(jīng)至少是一階連續(xù)可導(dǎo)了，為了讓它成為三次樣條函數(shù)只需確定節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)使這些節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)即可！</p><p>　　由于在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)條件：</p><p><b>　　整理化簡(jiǎn)后得：</b></p><p>　　第一類(lèi)三次樣條

18、插值問(wèn)題方程組由于已知：</p><p>　　基本方程組化為n-1階方程組</p><p><b>　　化為矩陣形式</b></p><p><b>　　\</b></p><p>　　這是一個(gè)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角方程組,用追趕法可以求解！</p><p>　　第二類(lèi)三次樣條

19、插值問(wèn)題的方程組,由于已知：</p><p><b>　　故得：</b></p><p><b>　　稍加整理得</b></p><p>　　聯(lián)合基本方程組得一個(gè)n+1階三對(duì)角方程組，化成矩陣形式為：仍然是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)</p><p>　　第三類(lèi)樣條插值問(wèn)題的方程組，由于：</p>&

20、lt;p><b>　　立即可得下式：</b></p><p><b>　　其中:</b></p><p>　　聯(lián)合基本方程得一個(gè)廣義三對(duì)角或周期三對(duì)角方程組：</p><p>　　求解這些不同類(lèi)型的樣條插值問(wèn)題的方程組，我們可得所要待定的一階導(dǎo)數(shù)：</p><p>　　再代入S(x)的每一段表

21、達(dá)式，就求得三次樣條函數(shù)的表達(dá)式!</p><p>　　利用插值（即求過(guò)已知有限個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的近似函數(shù)）的基本原理，用多項(xiàng)式作為研究插值的工具，進(jìn)行代數(shù)插值。其基本問(wèn)題是：已知函數(shù)f (x)在區(qū)間[a,b]上n +1個(gè)不同點(diǎn)x0，…，xn處的函數(shù)值 (i = 0,1,…,n)，求一個(gè)至多n 次多項(xiàng)式ψn(x)使其在給定點(diǎn)處與 f (x)同值，即滿(mǎn)足插值條件: ψn(x)= = .許多工程技術(shù)中提出的計(jì)算問(wèn)題對(duì)插值函

22、數(shù)的光滑性有較高要求，如飛機(jī)的機(jī)翼外形，內(nèi)燃機(jī)的進(jìn)、排氣門(mén)的凸輪曲線(xiàn)，都要求曲線(xiàn)具有較高的光滑程度，不僅要連續(xù)，而且要有連續(xù)的曲率，這就導(dǎo)致了樣條插值的產(chǎn)生。</p><p>　　數(shù)學(xué)上將具有一定光滑性的分段多項(xiàng)式稱(chēng)為樣條函數(shù)。具體地說(shuō)，給定區(qū)間[a,b]的一個(gè)分劃Δ如果函數(shù)s(x) 滿(mǎn)足：</p><p>　?。╥）在每個(gè)小區(qū)間[ ](i=0,1,…,n)上s(x)是k 次多項(xiàng)式；&l

23、t;/p><p>　?。╥i）s(x)在[a,b]上具有k ?1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。</p><p>　　則稱(chēng)s(x)為關(guān)于分劃Δ 的k 次樣條函數(shù)，其圖形稱(chēng)為k 次樣條曲線(xiàn)。</p><p>　　由于三次樣條插值我、函數(shù)s(x)的插值節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在，因此令各節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為 </p><p>　?。?.01）

24、 </p><p>　　根據(jù)樣條插值函數(shù)的定義，三次樣條插值函數(shù)是s(x)在每一個(gè)小區(qū)間 上市不超過(guò)三次的多項(xiàng)式。在每一個(gè)小區(qū)間上，其二階導(dǎo)數(shù)為線(xiàn)性函數(shù)，即</p><p><b>　?。?.02）</b></p><p>　　對(duì)式（1.02）積分兩次，則得到</p><p&g

25、t;<b>　　（1.03）</b></p><p>　　其中為任意常數(shù)。又根據(jù)樣條插值函數(shù)定義中的條件（3），即</p><p><b>　　可以確定與為</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　?。?.04） </p><

26、p>　　將式（1.04）中與的值代入表達(dá)式（1.03后，就可以得到樣條插值函數(shù)在區(qū)間上的表達(dá)式為</p><p><b>　?。?.05）</b></p><p>　　其中與分別為區(qū)間兩端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值。由此可以看處，只要能確定各點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值，則子渠道間上的三次樣條插值函數(shù)也確定了。</p><p>　　在區(qū)間[a,b]上的一階導(dǎo)數(shù)

27、連續(xù)，在各節(jié)點(diǎn)的左右兩子區(qū)間上的s(x)雖然不同，但在連接點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，即在連接點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)相等，有</p><p><b>　?。?.06）</b></p><p>　　為了利用條件（2.18），在x屬于時(shí)，縣求為</p><p><b>　?。?.07）</b></p><p><b&

28、gt;　　當(dāng)x屬于時(shí)，</b></p><p><b>　　（1.08）</b></p><p><b>　　整理得：</b></p><p><b>　?。?.09）</b></p><p><b>　　其中</b></p>&

29、lt;p><b>　　三 問(wèn)題的提出</b></p><p>　　上面討論的分段低次插值函數(shù)都有一致收斂性，但光滑性較差，對(duì)于像高速飛機(jī)的機(jī)翼形線(xiàn)，船體放樣等型值線(xiàn)往往要求有二階光滑度，即有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，早期工程師制圖時(shí)，把富有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條（所謂樣條）用壓鐵固定在樣點(diǎn)上，在其他地方讓它自由彎曲，然后畫(huà)下長(zhǎng)條的曲線(xiàn)，稱(chēng)為樣條曲線(xiàn)。它實(shí)際上是由分段三次曲線(xiàn)并接而成，在連接點(diǎn)即樣點(diǎn)上要求

30、二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從數(shù)學(xué)上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這一概念。下面我們討論最常用的三次樣條函數(shù)。</p><p>　　四 實(shí)例應(yīng)分析函數(shù)的MATLAB的程序設(shè)計(jì)</p><p>　　例1：已知一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，編寫(xiě)一程序求解三次樣條插值函數(shù)滿(mǎn)足</p><p>　　并針對(duì)下面一組具體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)</p><p>　　求解，其中邊界條件為.</p>

31、<p>　　1）三次樣條插值自然邊界條件源程序：</p><p>　　function s=spline3(x,y,dy1,dyn)</p><p>　　%x為節(jié)點(diǎn)，y為節(jié)點(diǎn)函數(shù)值，dy1，dyn分別為x=0.25,0.53處的二階導(dǎo)</p><p>　　m=length(x);n=length(y);</p><p><b

32、>　　if m~=n</b></p><p>　　error('x or y輸入有誤')</p><p><b>　　return</b></p><p><b>　　end</b></p><p>　　h=zeros(1,n-1);</p><

33、p>　　h(n-1)=x(n)-x(n-1);</p><p>　　for k=1:n-2</p><p>　　h(k)=x(k+1)-x(k);</p><p>　　v(k)=h(k+1)/(h(k+1)+h(k));</p><p>　　u(k)=1-v(k);</p><p><b>　　end&

34、lt;/b></p><p>　　g(1)=3*(y(2)-y(1))/h(1)-h(1)/2*dy1;</p><p>　　g(n)=3*(y(n)-y(n-1))/h(n-1)+h(n-1)/2*dyn;</p><p>　　for i=2:n-1</p><p>　　g(i)=3*(u(i-1)*(y(i+1)-y(i))/h(i

35、)+v(i-1)*(y(i)-y(i-1))/h(i-1));</p><p><b>　　end</b></p><p>　　for i=2:n-1;</p><p>　　A(i,i-1)=v(i-1);</p><p>　　A(i,i+1)=u(i-1);</p><p><b>　

36、　end</b></p><p>　　A(n,n-1)=1;</p><p><b>　　A(1,2)=1;</b></p><p>　　A=A+2*eye(n);</p><p>　　M=zhuigf(A,g); %調(diào)用函數(shù)，追趕法求M</p><p>　　f

37、printf('三次樣條（三對(duì)角）插值的函數(shù)表達(dá)式\n');</p><p><b>　　syms X;</b></p><p>　　for k=1:n-1</p><p>　　fprintf('S%d--%d:\n',k,k+1); </p><p>　　s(k)=(h(k)+2*(

38、X-x(k)))./h(k).^3.*(X-x(k+1)).^2.*y(k)...</p><p>　　+(h(k)-2*(X-x(k+1)))./h(k).^3.*(X-x(k)).^2.*y(k+1)...</p><p>　　+(X-x(k)).*(X-x(k+1)).^2./h(k).^2*M(k)+(X-x(k+1)).*...</p><p>　　(X-

39、x(k)).^2./h(k).^2*M(k+1);</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　s=s.';</b></p><p>　　s=vpa(s,4);</p><p>　　%畫(huà)三次樣條插值函數(shù)圖像</p><p>　　for i=

40、1:n-1</p><p>　　X=x(i):0.01:x(i+1);</p><p>　　st=(h(i)+2*(X-x(i)))./(h(i)^3).*(X-x(i+1)).^2.*y(i)...</p><p>　　+(h(i)-2.*(X-x(i+1)))./(h(i)^3).*(X-x(i)).^2.*y(i+1)...</p><p&

41、gt;　　+(X-x(i)).*(X-x(i+1)).^2./h(i)^2*M(i)+(X-x(i+1)).*...</p><p>　　(X-x(i)).^2./h(i)^2*M(i+1);</p><p>　　plot(x,y,'o',X,st);</p><p><b>　　hold on</b></p>&

42、lt;p><b>　　End</b></p><p>　　plot(x,y);</p><p><b>　　grid on</b></p><p>　　%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%</p><p><b>　　%調(diào)用的函數(shù)：&l

43、t;/b></p><p><b>　　%追趕法</b></p><p>　　function M=zhuigf(A,g)</p><p>　　n=length(A);</p><p><b>　　L=eye(n);</b></p><p>　　U=zeros(n);&

44、lt;/p><p>　　for i=1:n-1</p><p>　　U(i,i+1)=A(i,i+1);</p><p><b>　　end</b></p><p>　　U(1,1)=A(1,1);</p><p><b>　　for i=2:n</b></p>&

45、lt;p>　　L(i,i-1)=A(i,i-1)/U(i-1,i-1);</p><p>　　U(i,i)=A(i,i)-L(i,i-1)*A(i-1,i);</p><p><b>　　end</b></p><p>　　Y(1)=g(1);</p><p><b>　　for i=2:n</b&

46、gt;</p><p>　　Y(i)=g(i)-L(i,i-1)*Y(i-1);</p><p><b>　　end</b></p><p>　　M(n)=Y(n)/U(n,n);</p><p>　　for i=n-1:-1:1</p><p>　　M(i)=(Y(i)-A(i,i+1)*M(i

47、+1))/U(i,i);</p><p><b>　　end</b></p><p>　　2)在命令窗口輸入x，y,dy1,dyn,得到三次樣條函數(shù)：</p><p>　　>>x=[0.25,0.3,0.39,0.45,0.53];</p><p>　　>>y=[0.5,0.5477,0.6245

48、,0.6708,0.7280];</p><p><b>　　>>dy1=0;</b></p><p><b>　　>>dyn=0;</b></p><p>　　>>s=spline3(x,y,dy1,dyn)</p><p><b>　　運(yùn)行結(jié)果：&l

49、t;/b></p><p>　　三次樣條（三對(duì)角）插值的函數(shù)表達(dá)式</p><p><b>　　S1--2:</b></p><p><b>　　S2--3:</b></p><p><b>　　S3--4:</b></p><p><b&g

50、t;　　S4--5: </b></p><p>　　.5000*(-3600.+.1600e5*X)*(X-.3000)^2+.5477*(5200.-.1600e5*X)*(X-.2500)^2+394.8*(X-.2500)*(X-.3000)^2+355.2*(X-.3000)*(X-.2500)^2</p><p>　　.5477*(-699.6+2743.*X)*(X

51、-.3900)^2+.6245*(1193.-2743.*X)*(X-.3000)^2+109.6*(X-.3000)*(X-.3900)^2+96.77*(X-.3900)*(X-.3000)^2</p><p>　　.6245*(-3333.+9259.*X)*(X-.4500)^2+.6708*(4444.-9259.*X)*(X-.3900)^2+217.7*(X-.3900)*(X-.4500)^2+2

52、07.6*(X-.4500)*(X-.3900)^2</p><p>　　.6708*(-1602.+3906.*X)*(X-.5300)^2+.7280*(2227.-3906.*X)*(X-.4500)^2+116.8*(X-.4500)*(X-.5300)^2+109.2*(X-.5300)*(X-.4500)^2</p><p>　　如將三次樣條函數(shù)加以整理，可用如下程序：<

53、/p><p>　　s=collect(s);</p><p><b>　　則輸出結(jié)果為：</b></p><p><b>　　s=</b></p><p>　　.4595000000000-13.200*X^3+9.9000000*X^2-1.48800000000*X</p><p

54、>　　.37459306800000-4.2924*X^3+3.66332200*X^2-.137976090000*X</p><p>　　.5180681700000-3.3917*X^3+3.90576600*X^2-.733130370000*X</p><p>　　-.408614400000e-1+2.5768*X^3-4.03188800*X^2+2.868770320

55、000*X</p><p>　　例2 ： 給出節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)如下：</p><p>　　分別求在下列條件下在插值點(diǎn)，處的壓緊三次樣條插值，并顯示該樣條函數(shù)的有關(guān)信息：</p><p>　?。?）端點(diǎn)約束條件為，；</p><p>　?。?）端點(diǎn)約束條件為，.</p><p>　　解 （1）輸入MATLAB程序</p&

56、gt;<p>　　>> X=[-1.00 -0.54 0.13 1.12 1.89 2.06 2.54 2.82 3.50];</p><p>　　Y=[-2.46 -5.26 -1.87 0.05 1.65 2.69 4.56 7.89 10.31]; XI=[-0.02 2.56]; </p><p>　　YI= spline

57、 (X, [5,Y,29.16],XI), PP = spline (X, [5,Y,29.16])</p><p>　　運(yùn)行后屏幕顯示壓緊樣條分別在，處的插值和該樣條函數(shù)的有關(guān)信息如下</p><p><b>　　YI =</b></p><p>　　-3.1058 4.7834</p><p><b>

58、;　　PP = </b></p><p>　　form: 'pp'</p><p>　　breaks: [-1 -0.5400 0.1300 1.1200 1.8900 2.0600 2.5400 2.8200 3.5000]</p><p>　　coefs: [8x4 double]</p><p><b&

59、gt;　　pieces: 8</b></p><p><b>　　order: 4</b></p><p><b>　　dim: 1</b></p><p>　?。?）因?yàn)槎它c(diǎn)約束條件為，，所以輸入MATLAB程序</p><p>　　>> YI= spline (X, [0

60、,Y,0],XI), PP= spline (X, [0,Y,0])</p><p>　　運(yùn)行后屏幕顯示壓緊三次樣條分別在，的插值和該樣條函數(shù)的有關(guān)信息如下</p><p><b>　　YI =</b></p><p>　　-3.0192 4.7501</p><p><b>　　PP = </b&

61、gt;</p><p>　　form: 'pp'</p><p>　　breaks: [-1 -0.5400 0.1300 1.1200 1.8900 2.0600 2.5400 2.8200 3.5000]</p><p>　　coefs: [8x4 double]</p><p><b>　　pieces: 8&

62、lt;/b></p><p><b>　　order: 4</b></p><p><b>　　dim: 1</b></p><p>　　例3：求有關(guān)分段三次樣條圖形的MATLAB主程序</p><p>　?。ㄒ唬┫薅ǘ它c(diǎn)約束條件的作圖程序</p><p>　　func

63、tion S=splinetx(x0,y0,xｊ,x,y,dy1,dyn)</p><p>　　S = spline(x0,[dy1,y0,dyn],xｊ);</p><p>　　Sn = spline(x0,[dy1,y0,dyn],x);</p><p>　　plot(x0,y0,'o',x,Sn,'-',xｊ,S,'*&

64、#39;,x,y,'-.')</p><p>　　legend('節(jié)點(diǎn)(xi,yi)', '分段三次樣條函數(shù)','插值點(diǎn)(x,S)','被插值函數(shù)y')</p><p>　?。ǘ┎幌薅ǘ它c(diǎn)約束條件的作圖程序</p><p>　　function S=splinetx1(x0,y0,xi

65、,x,y)</p><p>　　S= interp1(x0,y0,xi, 'spline'); Sn= interp1(x0,y0,x, 'spline');</p><p>　　plot(x0,y0,'o',x,Sn,'-',xi,S,'*',x,y,'-.')</p><

66、p>　　legend('節(jié)點(diǎn)(xi,yi)', '分段三次樣條函數(shù)','插值點(diǎn)(x,S)','被插值函數(shù)y')</p><p><b>　?。ㄈ┳杂勺鲌D程序</b></p><p>　　直接在MATLAB工作窗口編程序，例如，</p><p>　　>>subpl

67、ot(2,2,1),x1=-8:4/3:-4,c1=sin(x1);xx1 = -8:0.1:-4;</p><p>　　pp1 = interp1 (x1,c1,xx1,'spline '); </p><p>　　cc1 =sin(xx1);%pp1 = spline (x1,c1,xx1); </p><p>　　plot(x1,c1,'

68、;bo',xx1,pp1,'k-',xx1,cc1,'r-.')</p><p>　　subplot(2,2,2)</p><p>　　x2=-4:4/3:-0;c2=sin(x2); xx2 = -4:0.1:0; </p><p>　　pp2 = interp1 (x2,c2,xx2,'spline ');

69、 </p><p>　　cc2=sin(xx2);plot(x2,c2,'bo',xx2,pp2,'k-',xx2,cc2,'r-.')</p><p>　　title('y=sinx及其三次樣條插值函數(shù),節(jié)點(diǎn)(xi,yi)的圖形')</p><p>　　subplot(2,1,2)</p>

70、<p>　　x=-8:4/3:8;c=sin(x);xx = -8:0.1:8;</p><p>　　pp = spline(x,c,xx);</p><p>　　cc=sin(xx); plot(x,c,'bo',xx,pp,'k-',xx,cc,'r-.')</p><p>　　legend('

71、;節(jié)點(diǎn)(xi,yi)','三次樣條插值函數(shù)','y=sinx 的函數(shù)')</p><p>　　','y=cosx 的函數(shù)')</p><p>　　例4：（機(jī)床加工） 待加工零件的外形根據(jù)工藝要求由一組數(shù)據(jù)（x, y）給出（在平面情況下），用程控銑床加工時(shí)每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步，這就需要從已知數(shù)據(jù)得到加工所要求

72、的步長(zhǎng)很小的（x, y）坐標(biāo).表 6–15給出的x,y數(shù)據(jù)位于機(jī)翼斷面的下輪廓線(xiàn)上（如圖6–25），假設(shè)需要得到x坐標(biāo)每改變0.1時(shí)的y坐標(biāo).試完成加工所需數(shù)據(jù)，畫(huà)出曲線(xiàn)，并求出x=0處的曲線(xiàn)斜率和13≤ x ≤15范圍內(nèi)y的最小值.</p><p>　　表 6–15 機(jī)翼斷面下輪廓線(xiàn)上的部分?jǐn)?shù)據(jù)</p><p>　　圖6–25 機(jī)翼斷面輪廓線(xiàn)（表 6–15數(shù)據(jù)用圓點(diǎn)表示）<

73、;/p><p>　　解 根據(jù)上述提出的加工要求，以所給數(shù)據(jù)為節(jié)點(diǎn)，在x=0到x=15范圍內(nèi)求步長(zhǎng)為0.1的插值.用四種插值方法試驗(yàn)，編寫(xiě)并保存名為sancili6710.m程序?yàn)镸文件</p><p>　　x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ]; x=0:0.1:15;</p><p>　　y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8

74、 1.2 1.0 1.6 ]; yL=lagr1(x0,y0,x);</p><p>　　yX=interp1(x0,y0,x); yS=interp1(x0,y0,x,'spline'); </p><p>　　yH=interp1(x0,y0,x, 'pchip'); CZ=[x' yL' yX' yS' yH']

75、</p><p>　　subplot(4,1,1)</p><p>　　plot(x0,y0,'bo',x,yL,'r'), grid,title('拉格朗日插值')</p><p>　　subplot(4,1,2)</p><p>　　plot(x0,y0,'bo',x,yX,

76、'r'), grid,title('分段線(xiàn)性插值')</p><p>　　subplot(4,1,3)</p><p>　　plot(x0,y0,'bo',x,yS,'r'), grid,title('三次樣條')</p><p>　　subplot(4,1,4)</p>

77、<p>　　plot(x0,y0,'bo',x,yH,'r'), grid,title('分段埃爾米特插值')</p><p>　　在MATLAB工作窗口輸入文件名</p><p>　　>> sancili6710</p><p>　　運(yùn)行后得到的拉格朗日插值、分段線(xiàn)性插值、三次樣條插值和分段埃爾

78、米特插值及其節(jié)點(diǎn)的圖形，同時(shí)還得到拉格朗日插值、分段埃爾米特插值、分段線(xiàn)性插值和三次樣條插值的結(jié)果</p><p><b>　　五 結(jié)論</b></p><p>　　MATLAB環(huán)境下編寫(xiě)求解三次樣條插值的通用程序，可直接顯示各區(qū)間段三次樣條函數(shù)的具體表達(dá)式，計(jì)算出已給點(diǎn)的插值，最后顯示各區(qū)間分段曲線(xiàn)圖，為三次樣條插值函數(shù)的應(yīng)用提供簡(jiǎn)便方法。</p>

79、<p>　　隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)及硬件設(shè)施的不斷發(fā)展，計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的演化從最開(kāi)始的機(jī)器語(yǔ)言到匯編語(yǔ)言，最后到支持面向?qū)ο蠹夹g(shù)的面向?qū)ο笳Z(yǔ)言。這就要求提供的計(jì)算方法也不斷發(fā)展。同時(shí)在實(shí)踐也給舊的插值逼近方法不斷提出問(wèn)題，這就要求新的插值逼近方法要更復(fù)雜，誤差精度更高，同時(shí)解決更多方面的問(wèn)題。插值逼近方法的發(fā)展也需要新的理論指導(dǎo)。自然辯證法的科學(xué)理論中提到科學(xué)“范式”概括了插值逼近法得法的發(fā)展過(guò)程．辯證唯物主義自然觀(guān)、自然科學(xué)發(fā)展過(guò)程及其

80、規(guī)律，分析與綜合、歸納法與演繹法、想象和類(lèi)比等科學(xué)邏輯思維方法的應(yīng)用都在插值逼近理論的發(fā)展過(guò)程中起到了重要作用。</p><p>　　用科學(xué)的邏輯思維方法認(rèn)識(shí)事物才會(huì)清楚的了解其過(guò)去、現(xiàn)在和未來(lái)．計(jì)算數(shù)學(xué)中的插值逼近方法發(fā)展同樣遵循著科學(xué)技術(shù)、科學(xué)理論發(fā)展的一般規(guī)律．以自然辯證法的觀(guān)點(diǎn)來(lái)分析．有助于我們更加深入地認(rèn)識(shí)插值逼近以及整個(gè)數(shù)值計(jì)算方法發(fā)展的歷史、現(xiàn)狀和趨勢(shì)。插值逼近方法及數(shù)學(xué)理論的進(jìn)一步發(fā)展也必將為自然

81、辯證法的發(fā)展提供基礎(chǔ)。</p><p>　　本次的課程設(shè)計(jì)的整個(gè)過(guò)程讓我認(rèn)識(shí)到了基礎(chǔ)知識(shí)的欠缺，通過(guò)查閱大量的資料，從根源上了解，三樣條插值的由來(lái)和應(yīng)用范圍等，是我受益良多。切切實(shí)實(shí)的認(rèn)識(shí)的努力學(xué)習(xí)的重要性。</p><p><b>　　參考資料</b></p><p>　　[1] 黃明游,馮果忱.數(shù)值分析[M].北京:高等教育出版社,2008

82、. </p><p>　　[2] 馬東升,雷勇軍.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006.

83、 </p><p>　　[3] 石博強(qiáng),趙金.MATLAB數(shù)學(xué)計(jì)算與工程分析范例教程[M].北京:中國(guó)鐵道出版社.2005.</p><p>　　[4]郝紅偉，MATLAB 6，北京，中國(guó)電力出版社，2001</p><p>　　[5]姜健飛，胡良劍，數(shù)值分析及其MATLAB實(shí)驗(yàn)， 科學(xué)出

84、版社，2004</p><p>　　[6]薛毅，數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)，北京工業(yè)大學(xué)出版社，2005</p><p><b>　　翻譯</b></p><p>　　Switch語(yǔ)句在幾個(gè)case表達(dá)式基礎(chǔ)上的轉(zhuǎn)換。</p><p>　　語(yǔ)法：case case_expr </p><p>　　stateme

85、nt,...,statement</p><p>　　case {case_expr1,case_expr2,case_expr3,...}</p><p>　　statement,...,statement</p><p><b>　　...</b></p><p><b>　　otherwise</b

86、></p><p>　　statement,...,statement</p><p><b>　　end</b></p><p>　　用法討論：switch表達(dá)式的語(yǔ)法足一種有條件的執(zhí)行碼。特別地，switch執(zhí)行一系列任意的可供選強(qiáng)的數(shù)字下的語(yǔ)句，每一個(gè)可選項(xiàng)組成一個(gè)case，由以下3個(gè)部分組成：</p><p&g

87、t;<b>　　case語(yǔ)句。</b></p><p><b>　　一個(gè)或多個(gè)表達(dá)式。</b></p><p><b>　　一個(gè)或多個(gè)語(yǔ)句。</b></p><p>　　在基本語(yǔ)法中，switch執(zhí)行的語(yǔ)句必須滿(mǎn)足switch_expr＝case_expr。當(dāng)case表達(dá)式為單元數(shù)組時(shí)(如上面的第——

88、個(gè)case所示)，case_expr只有在單元數(shù)組元中有元素匹配switch表達(dá)式時(shí)才匹配上。如果沒(méi)有case表達(dá)式匹配switch表達(dá)式，則控制轉(zhuǎn)換到otherwise case(如果該項(xiàng)存在的話(huà))。Case執(zhí)行完后，程序必須從switch末尾開(kāi)始繼續(xù)執(zhí)行。switch_expr是一個(gè)標(biāo)量或者一個(gè)字符串。如果switch_expr＝case_expr成立的，標(biāo)量switch_expr匹配上case_expr。當(dāng)且僅當(dāng)strcmp(sw

89、itch_expr,case_expr)=1(真)時(shí) ，一個(gè)字符串switch_expr與case_expr匹配。</p><p>　　應(yīng)用實(shí)例：執(zhí)行的列編碼塊基于what the string, method, is set to, method</p><p>　　method = 'Bilinear';</p><p>　　switch low

90、er(method)</p><p>　　case {'linear','bilinear'}</p><p>　　disp('Method is linear')</p><p>　　case 'cubic'</p><p>　　disp('Method is cubi

91、c')</p><p>　　case 'nearest'</p><p>　　disp('Method is nearest')</p><p><b>　　otherwise</b></p><p>　　disp('Unknown method.')</p&

92、gt;<p><b>　　end</b></p><p>　　Method is linear</p><p>　　對(duì)照英文：Switch among several cases based on expression Syntaxswitch switch_expr</p><p>　　case case_expr </p

93、><p>　　statement,...,statement</p><p>　　case {case_expr1,case_expr2,case_expr3,...}</p><p>　　statement,...,statement</p><p><b>　　...</b></p><p>&l

94、t;b>　　otherwise</b></p><p>　　statement,...,statement</p><p><b>　　end</b></p><p>　　DiscussionThe switch statement syntax is a means of conditionally executing co

95、de. In particular, switch executes one set of statements selected from an arbitrary number of alternatives. Each alternative is called a case, and consists of The case statement One or more case expressions One or more s

96、tatements In its basic syntax, switch executes the statements associated with the first case where switch_expr == case_expr. When the case expression is a cell array (as in the second case above), the c</p><p&

97、gt;　　method = 'Bilinear';</p><p>　　switch lower(method)</p><p>　　case {'linear','bilinear'}</p><p>　　disp('Method is linear')</p><p>　　c

98、ase 'cubic'</p><p>　　disp('Method is cubic')</p><p>　　case 'nearest'</p><p>　　disp('Method is nearest')</p><p><b>　　otherwise</