coullet混沌系統(tǒng)的演化和控制實(shí)驗(yàn)講義

1、<p>　　Coullet混沌系統(tǒng)的演化和控制實(shí)驗(yàn)</p><p>　　混沌理論與量子理論和相對論并稱為二十世紀(jì)物理學(xué)三大突破性理論。混沌理論揭示了自然界中一類確定性系統(tǒng)的不確定行為，是對牛頓確定性理論的重大突破。人們對混沌現(xiàn)象的認(rèn)識和研究始于二十世紀(jì)六十年代，隨即滲透到數(shù)學(xué)、物理、生物、電子、氣象、信息等各個學(xué)科，引起了人們的極大興趣和廣泛關(guān)注，成為非線性科學(xué)研究的熱點(diǎn)。混沌是非線性系統(tǒng)表現(xiàn)出的類隨機(jī)

2、性，廣泛存在于自然界中，由著名的LORENZ系統(tǒng)引出的“蝴蝶效應(yīng)”就說明了天氣預(yù)報不可能長期預(yù)測；Logistic系統(tǒng)和Henon系統(tǒng)分別揭示了生物競爭和天體演化中的混沌行為；Coullet系統(tǒng)就是描述三維流體中湍流發(fā)生機(jī)制的簡化模型。因此對混沌現(xiàn)象的認(rèn)識和研究，具有十分重要的實(shí)際意義。</p><p>　　我們根據(jù)Coullet系統(tǒng)設(shè)計了混沌演化和控制的實(shí)驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)，了解混沌系統(tǒng)從周期狀態(tài)演化到混沌狀態(tài)的分岔

3、過程，從而理解混沌系統(tǒng)外在無序表象下的內(nèi)在規(guī)律性；通過對混沌系統(tǒng)的控制，理解混沌系統(tǒng)仍然是可以控制并加以利用的。</p><p><b>　　[實(shí)驗(yàn)?zāi)康腯</b></p><p>　　1.觀察Coullet系統(tǒng)產(chǎn)生混沌的演化過程。</p><p>　　2.測量Coullet系統(tǒng)各個穩(wěn)定周期狀態(tài)以及混沌狀態(tài)對應(yīng)的參數(shù)值。</p>&

4、lt;p>　　3.測量Coullet系統(tǒng)各個穩(wěn)定周期狀態(tài)的周期。</p><p>　　4.研究Coullet系統(tǒng)的控制過程</p><p><b>　　[實(shí)驗(yàn)原理]</b></p><p>　　1. Coullet系統(tǒng)的特性及分岔過程</p><p>　　Coullet系統(tǒng)是一個典型的三階自治立方非線性混沌系統(tǒng)，其

5、方程為</p><p><b>　　（1）</b></p><p>　　通過變量代換，令，式（1）可表示為下列方程組</p><p><b>　　(2)</b></p><p><b>　　系統(tǒng)具有如下特性：</b></p><p>　　1）系統(tǒng)具有奇對

6、稱性且滿足的變換不變性。</p><p>　　2）系統(tǒng)有三個平衡點(diǎn)，分別為（0，0，0）、（，0，0）。</p><p>　　由式(2)得到系統(tǒng)的Jacobian矩陣為：</p><p>　　（3） </p><p>　　通過改變系統(tǒng)的參數(shù)，Coullet 系統(tǒng)歷經(jīng)一系列分岔過程從穩(wěn)定的周期狀態(tài)到達(dá)混沌狀態(tài)。例如，僅改

7、變，其它參數(shù)保持不變，根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，系統(tǒng)特征方程的所有特征根應(yīng)具有負(fù)實(shí)部，即 。</p><p>　　對于平衡點(diǎn)， 由式(3)得到特征方程為</p><p><b>　　(4)</b></p><p>　　當(dāng)滿足時，系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡點(diǎn)處，由此可得參數(shù)的取值范圍為?？梢?，當(dāng)時，平衡點(diǎn)不會穩(wěn)定。</p>&l

8、t;p>　　同理可對平衡點(diǎn)進(jìn)行分析，當(dāng)時， 系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡點(diǎn)處; 對于系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處穩(wěn)定的一周期態(tài)，可設(shè)系統(tǒng)的特征方程具有一對共軛虛根為，代入式(4)得到當(dāng)時，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的一周期態(tài)穩(wěn)定。穩(wěn)定的一周期態(tài)的周期。</p><p>　　圖1為系統(tǒng)參數(shù)保持不變，系統(tǒng)隨參數(shù)變化的分岔圖。</p><p>　　圖1. 系統(tǒng)隨參數(shù)變化的分岔圖</p><p>　　當(dāng)時，

9、系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。Coullet系統(tǒng)的Jacobian矩陣在平衡點(diǎn)處的特征值：，；在處的特征值：，。系統(tǒng)的三平衡點(diǎn)都是不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)，且都滿足，，。所以混沌系統(tǒng)是雙細(xì)胞奇異吸引子，相圖具有雙渦卷特征。系統(tǒng)的Jacobian矩陣在平衡點(diǎn)處的特征值滿足，，根據(jù)Shil’nikov方法，說明系統(tǒng)存在Smale馬蹄映射意義上的混沌。如圖2 所示。</p><p>　　圖2. Coullet系統(tǒng)的雙渦卷混沌相圖</p

10、><p>　　2. Coullet系統(tǒng)的控制</p><p>　　對Coullet系統(tǒng)實(shí)施形如的非線性反饋控制，在控制作用下系統(tǒng)方程為</p><p><b>　　(5)</b></p><p>　　式中為非線性反饋控制增益，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。理論分析表明，反饋控制增益必須取負(fù)值，才可能使系統(tǒng)從混沌狀態(tài)控制到穩(wěn)定的周期狀態(tài)。

11、因此該非線性反饋控制屬于負(fù)反饋控制，適當(dāng)調(diào)整反饋控制增益的值，即可將Coullet混沌系統(tǒng)控制到穩(wěn)定的一周期和二周期狀態(tài)。</p><p><b>　　[實(shí)驗(yàn)儀器]</b></p><p>　　本實(shí)驗(yàn)采用Coullet混沌系統(tǒng)演化及控制實(shí)驗(yàn)儀。</p><p>　　該儀器具備以下兩項(xiàng)功能：</p><p>　　1. 觀察

12、和測量Coullet系統(tǒng)從各種穩(wěn)定的周期狀態(tài)到混沌狀態(tài)演變過程；</p><p>　　2. 對Coullet混沌系統(tǒng)實(shí)行有效控制。</p><p>　　儀器設(shè)計框圖如圖3所示。</p><p><b>　　圖3設(shè)計框圖</b></p><p>　　對Coullet系統(tǒng)不施加控制時，通過調(diào)節(jié)電位器R1改變Coullet系統(tǒng)

13、的參數(shù)，可在示波器上觀察Coullet系統(tǒng)各種穩(wěn)定的周期狀態(tài)的相圖和時域圖；并可通過儀器上的電阻測量儀表測量與各種穩(wěn)定的周期狀態(tài)對應(yīng)的電阻值，計算出相應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)，與理論值進(jìn)行比較；也可以通過示波器和頻率計測量各種穩(wěn)定的周期狀態(tài)的周期值，與理論值比較，對 Coullet系統(tǒng)的倍周期分岔過程進(jìn)行驗(yàn)證。</p><p>　　當(dāng)Coullet系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時，通過切換開關(guān)將控制器加在Coullet混沌系統(tǒng)上，對Cou

14、llet系統(tǒng)施加控制，通過調(diào)節(jié)電位器R2改變反饋控制參數(shù)，控制系統(tǒng)從混沌狀態(tài)到穩(wěn)定的周期狀態(tài)。同樣可以通過儀器上的電阻測量儀表測量與各種穩(wěn)定的周期狀態(tài)對應(yīng)的電阻值，計算出相應(yīng)的反饋控制參數(shù)。</p><p>　　根據(jù)式（2）和式（5）設(shè)計的Coullet系統(tǒng)和控制Coullet 系統(tǒng)的電路框圖如圖4所示。</p><p>　　圖4 Coullet系統(tǒng)及控制電路圖</p>&

15、lt;p><b>　　[實(shí)驗(yàn)內(nèi)容]</b></p><p>　　1. Coullet系統(tǒng)演化實(shí)驗(yàn)</p><p>　　在進(jìn)行Coullet系統(tǒng)演化實(shí)驗(yàn)時，通過調(diào)節(jié)可變電阻使系統(tǒng)參數(shù)變化，由電路設(shè)計可知，計算系統(tǒng)參數(shù)的公式為</p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　式中固

16、定電阻。因此， 只要測量出Coullet系統(tǒng)各種穩(wěn)定的周期狀態(tài)所對應(yīng)的電阻值，就可計算出相應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)，并可與理論值進(jìn)行比較。</p><p>　　對電路進(jìn)行歸一化處理后，系統(tǒng)穩(wěn)定周期態(tài)的周期的計算公式:</p><p><b>　　(7)</b></p><p>　　式中，分別為電路中積分器的電阻值和電容值，當(dāng)，系統(tǒng)參數(shù)時，由式(7)計算出系

17、統(tǒng)穩(wěn)定一周期態(tài)的周期理論值為秒（這點(diǎn)可在出現(xiàn)穩(wěn)定一周期態(tài)時用頻率計實(shí)測出來）。</p><p>　　對系統(tǒng)各種穩(wěn)定周期態(tài)的周期值，我們可通過示波器進(jìn)行觀察并讀出來。由Coullet系統(tǒng)的理論，通過研究我們知道該系統(tǒng)隨著參數(shù)減小，應(yīng)逐步發(fā)生從少到多的倍周期分岔，最后到達(dá)混沌狀態(tài)。這一結(jié)論我們可根據(jù)示波器顯示的圖像，測量在各個倍周期分岔階段的R1電阻值，將測量的結(jié)果填入下面的表一中來加以驗(yàn)證和研究。</p>

18、;<p>　　2. Coullet系統(tǒng)控制實(shí)驗(yàn)</p><p>　　在Coullet系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時，將控制器開關(guān)合上，即可對混沌系統(tǒng)實(shí)施控制。調(diào)節(jié)可變電阻使反饋控制增益改變，由電路設(shè)計可知，計算反饋控制增益的公式為</p><p><b>　　(6)</b></p><p>　　式中固定電阻取10ＫΩ，因此， 只要測量出將Co

19、ullet系統(tǒng)控制到各種穩(wěn)定的周期狀態(tài)所對應(yīng)的R2電阻值，就可計算出控制增益的值。</p><p>　　隨著反饋控制增益的減小，對混沌系統(tǒng)的控制逐步減弱，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期數(shù)預(yù)期將逐步增大最后又重新進(jìn)入混沌狀態(tài)。這一規(guī)律我們可通過改變R2的阻值并觀察示波器顯示的圖像來進(jìn)行驗(yàn)證。</p><p>　　將相關(guān)的測量和觀察數(shù)據(jù)填入表二中進(jìn)行分析研究。</p><p>　　3.

20、 系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可重復(fù)性研究</p><p>　　Coullet系統(tǒng)的各穩(wěn)定周期態(tài)是具有重復(fù)性的。即一旦由于把可變電阻從電路中撤出等原因使原混沌狀態(tài)被破壞，把可變電阻回復(fù)到原電路中后，稍加調(diào)整使系統(tǒng)又回到原來的穩(wěn)定周期態(tài)時，電路的各系統(tǒng)參數(shù)或控制參數(shù)基本保持不變。</p><p>　　此過程可在測量可變電阻時，根據(jù)切換開關(guān)前后的電路表現(xiàn)情況進(jìn)行觀察研究。</p><p&

21、gt;<b>　　[實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果]</b></p><p>　　表一 Coullet系統(tǒng)演變過程</p><p><b>　　實(shí)驗(yàn)結(jié)論或討論：</b></p><p>　　表二 Coullet系統(tǒng)控制過程</p><p><b>　　實(shí)驗(yàn)結(jié)論或討論：</b></p&g