狄拉克式不定方程題的擴(kuò)展研究及陳氏求解體系(最終修改)

1、<p>　　狄拉克式不定方程題的擴(kuò)展研究及陳氏求解體系</p><p><b>　　陳 小 剛</b></p><p>　　中國農(nóng)業(yè)銀行湖南省祁陽支行</p><p>　　摘要：研究狄拉克式不定方程題簡易計(jì)算方法，是一個已有近百年的數(shù)學(xué)難題，從研究該題分配規(guī)律入手，可得到它的最簡計(jì)算公式:y=an-db/c。若對其進(jìn)行擴(kuò)展研究，則

2、可進(jìn)一步得到:(1)能求解任何一個此類問題的通解公式組:y=ka(a/m)n-1-db/c和y=[ka(a/m)n-1-db]/c;(2)公式有解或無解的條件;(3)公式的解集及最小解;等完整的求解體系。同時研究還發(fā)現(xiàn)；除了個別的特殊情況外，此類計(jì)問題的計(jì)算都能百分之百的且較容易都能得到解；從而切底的改變了過去在面對此問題時舉足無措的狀況。</p><p>　　關(guān)健詞；狄拉克式；不定方程： 擴(kuò)展研究：陳式求解體系

3、：通解公式。</p><p>　　An extended study and solving system of</p><p>　　Dirac type indefinite equations </p><p>　　Chen Xiao Gang</p><p>　　(Agricultural Bank of China, Qiyang C

4、ounty, Hunan Province426100)</p><p>　　Abstract: The study of the simple calculation method of Dirac's indefinite equation is an interesting mathematical problem that has been going on for quite a hundred

5、 years. By studying the distribution rule of this problem, we can get its minimalist calculation formula y=an-db/c If we make the research object is extended to the entire field of this kind of problem, it can be obtaine

6、d: (1) to solve all these problems: a simple general formula.y=ka(a/m)n-1-db/c.andy=[ka(a/m)n-1-db]/c and special s</p><p>　　Key words: equations of number theory: Dirac class: extended study: solution syste

7、m, general solution formula</p><p><b>　　1.引言：</b></p><p>　　1.1 不定方程題“水手分椰子”，于1926年發(fā)表在美國的《星期六晚》郵報上，據(jù)說：最早是由大物理學(xué)家狄拉克提出來的，但尋找它的簡易計(jì)算方法，卻困擾住了他本人和他的數(shù)學(xué)界朋友。學(xué)習(xí)著名數(shù)學(xué)科普大師馬丁*加德納也為求解此題，對其進(jìn)行了大力推廣和宣傳

8、。1979年諾貝爾獎得主李政道博士，又以“五猴分桃”形式，將此題帶到中國。自此以后，研究該題的簡易計(jì)算方法風(fēng)靡國內(nèi)。</p><p>　　1.2.在求解該問題的長河中，著名現(xiàn)代數(shù)理邏輯學(xué)家懷德海，曾對此題給出過一個(-4的巧妙特解；許多的后來者也為此作了不懈努力。但是，到目前為此，對該題的研究卻仍收獲甚微，離系統(tǒng)、簡易的求解該類問題，還存在著較大的差距。</p><p>　　1.3，197

9、9年.本人有幸看到了中國式的狄拉克式不定方程題“五猴分桃”,并求得得了它的最簡易公式：y=an-db/c，最近幾年通過對此問題的擴(kuò)展研究，又進(jìn)一步得到了能求解任何一個此類題的完整的求解體系，現(xiàn)發(fā)表與在家共同探討。</p><p>　　2.狄拉克式不定方程題目和擴(kuò)展的狄式不定方程問題</p><p>　　為了本文的求證分析方便，這里首先要確定兩個基本慨念：1.狄拉克提出的“不定方程題目”，2

10、.我們對其進(jìn)行擴(kuò)展研究而提出的“狄拉克式不定方程問題”</p><p>　　2.1 狄拉克提出的原不定方程題目：</p><p>　　對于狄拉克提出的原趣味不定方程題“水手分椰了”，現(xiàn)用簡單數(shù)學(xué)語言表述如下：</p><p>　　有一堆要被分配的某物，如果將它的總數(shù)用y來表示，則有在第一次分配時，把y分成了5份后, 剛好還剩余1個。接著在第二次分配時; 從弟一次分的

11、5份中拿取4份，并將這4份之和，又分成5份，也剛好剩余一個。</p><p>　　接著第三次，第四次和第五次的分配方法，也和前面完全相同，每次分配后，最后也正好剩余一個。求在開始的第一次分配時，看到y(tǒng)的總數(shù)至少有多少個？</p><p>　　對于該題目，由于它最后可以用不定方程的形式來表示，因些我們將它稱之為：“狄拉克式不定方程題目”。</p><p>　　2.2擴(kuò)

12、展的狄拉克式不定方程問題：如果我們將每次分配的總份數(shù)，剩余的余數(shù)，分的總次數(shù)等各個參與分配的因素，都擴(kuò)展為變量，叢而將這個問題的研究，擴(kuò)展到此類問題的整個領(lǐng)域。這個時候，我們將這個研究對象稱之為：“狄拉克式不定方程問題”，或者簡稱為“秋式問題”</p><p>　　3.擴(kuò)展的狄拉克式不定方程題的陳氏求解體系及通解公式組</p><p>　　3.1狄拉克式不定方程問題的陳氏通解公式組：<

13、;/p><p>　　對于任何一個“狄拉克式不定方程問題”，我們都可用如下的“陳氏通解公式”組來求解(或簡稱為“通解公式”。</p><p>　　通解公式(1) y=ka(a/m)n-1-db/c (用于b/c為正整數(shù)，有解的條件b/c為正整) 。 </p><p>　　通解公式(2) y=[ka(a/m)n-1-db]/c,(用于b/c不為正整數(shù)，有解的條件b/m為正整

14、)。</p><p>　　通解公式組中，各個符號所代表的意義分別為: </p><p>　　y ── 要被分的某物的總個數(shù)</p><p>　　a ── 每次要分配的總份數(shù),（a為任意正整數(shù)，a=d+c） </p><p>　　n ── 需要分配的總次數(shù)，（n≥于2的任意自然數(shù)）</p><p>　　b

15、 ── 每次分配a份后的剩下的余數(shù), （b＜a）</p><p>　　c ── 每次分配a份后、拿走的其中的份數(shù)</p><p>　　d ── 每次分a份、拿走c份后,剩下繼續(xù)再分的份數(shù)</p><p>　　K ── 通解公式(2)中的、能使y得到符合題意的解的參數(shù)</p><p>　　m ── 式中的a和d共有的最大公約數(shù)</p>

16、;<p><b>　　說明：</b></p><p>　　a.在上面通解公式中，按照這種類型題的題意的要求；y、a、b、c、d、n、k.m、等因素，無論是在運(yùn)算過程中還是得出的運(yùn)算結(jié)果，都必須是正整數(shù)，其中n≥2，</p><p>　　b.且所有本文章中提到的“解”,皆是指整數(shù)解。</p><p>　　c.在本問題研究中，通解公式

17、有解或無解同等于此類問題的本身有解或無解，</p><p>　　3.2通解公式組各公式的適用范圍及有解或無解的條件</p><p>　　a.通解公式(1)適用于式中的b/c為正整時的求解, 且此情況下的此類問題必定會得解。若b/c不是一個正整數(shù), 則須用通解公式(2)來求解,</p><p>　　b.通解公式(2)適用于b/c不為正整時的求解，且只有當(dāng)b/m為正整數(shù)

18、時，本公式才會有解，否則此時的問題沒有解。(其證明見后面的4.4小節(jié))</p><p>　　注：.公式(1)和公式(2)的相互關(guān)系為：所有用公式(1)計(jì)算得到的解，用公式(2)計(jì)算也同樣能得到，且解集相同．但是當(dāng)b/c為正整數(shù)時，用公式(1)來求解要簡易許多，這是本文用通解公式組來求解狄式問題的主要考量。</p><p>　　c.從上面可看出：對于任何一個狄式問題不僅都可用通解公式組來求解

19、，且當(dāng)a和 d沒有最大公約數(shù)時，這時狄式問題百分之百的都得到它的整數(shù)解。并可直接用如下更為簡易計(jì)算公式組來求解。</p><p>　　簡易計(jì)算公式(1) y= kan-db/c (用于b/c為正整數(shù)) </p><p>　　簡易計(jì)算公式(2) y=[kan-db]/c (用于b/c不為正整數(shù))</p><p>　　這個化簡的計(jì)算公式為我們求解此類問題，提供了更大的

20、方便。</p><p>　　3.3 通解公式的解集及最小解：</p><p>　　a.通解公式(1)的解集是: k為任意自然數(shù)時, 所得到的無限解集。很自然當(dāng)k等于1時，所得到的解是符合題意的最小解。</p><p>　　b.通解公式(2)解集是：當(dāng)k的取值范圍為 k+nc時,所得到的無限解集（n為任意自然數(shù)）。當(dāng)k≤c時,y所得到的解，是符合題意的最小解。<

21、/p><p>　　3.4通解公式中k值的取得方法</p><p>　　a.在通解公式(1)有解時，式中的k可為任意正整數(shù)。</p><p>　　b.在通解公式(2)有解時，式中的k要通過求k公式：k=(xc+b)/hn-1 來求得，(其求k公式的推導(dǎo)見4.2小節(jié)),</p><p>　　3.5 陳氏通解公式下的“水手分椰子”題的簡易求解</

22、p><p>　　現(xiàn)在我們又回到問題的源頭。對于風(fēng)靡中外的“水手分椰子”一題,如果我們用簡易通解公式(1)：y= kan-db/c 來解它, 則如囊中取物，容易的令人驚鱷</p><p>　　由于此題的b和c都為1, 這時簡易通解公式(1)可簡化成y=an-d，從而可非常容易的得到它最小解是：y=56-4=15621。也就說，這個曾令眾多探索者冥思苦想的簡易求解問題，現(xiàn)在用簡易公式來解它，也就是

23、一旬間。</p><p>　　4.狄式不定方程的陳氏求解體系的的推導(dǎo)和求證</p><p>　　4.1 陳氏簡易求解公式y(tǒng)=an-db/c的推導(dǎo)及求證： </p><p>　　設(shè): 被分配的某物數(shù)量的總數(shù)為y,每次分配的份數(shù)為a, 余數(shù)為b.每次分a 份后拿走的為c份，剩下再分的份數(shù)為d, 其總共分配的次數(shù)為n次，設(shè)最后一次在分a 份時，分得的每份的數(shù)量為x（x為正

24、整數(shù)）。</p><p>　　那么最后一次分配時，看到的某物的數(shù)量應(yīng)是 ：ax+b</p><p>　　則在上一次分配時看到的數(shù)量為; (xa+b)a/d+b=a2x/d+ba/d+b。</p><p>　　再上一次分配時看到的數(shù)量是: (a2x/d+ab/d+b)a/d+b=a3x/d2+b(a/d)2+b(a/d)+b。 </p><p&g

25、t;　　同樣：再再上一次分配時看到的數(shù)量數(shù)量為： a4x/d3+b(a/d)3+b(a/d)2+b(a/d)+b。</p><p>　　這樣以此類推，我們可得到在最初第一次分配時，看到的總的數(shù)量y=anx/dn-1+[(a/d)n-1+(a/d)n-2+(a/d)n-3+(a/d)n-4.......+(a/d)+1]b。</p><p>　　這時的上式中有部分已成等比數(shù)例，經(jīng)整理可得到：

26、</p><p>　　y={anx+{an-1[1-(d/a)n]/(1-d/a)}b}/dn-1 </p><p>　　={anx+{an-1[1-(d/a)n]}ba/c}/dn-1</p><p>　　=[anx+(an-1-an-1dn/an)ad/c]/dn-1 </p><p>　　=[anx+(an-dn)b/c]/dn-1&l

27、t;/p><p>　　=(anx+anb/c-dnb/c)/dn-1</p><p>　　=(anx+anb/c)/dn-1-db/c</p><p>　　此時可得到這樣一個基本求解的等式；y＝an(x+b/c)/dn-1-db/c,（為了后面求證方便我們將其記為“a式”），現(xiàn)為了求解，我們先將“a式”的求y, 轉(zhuǎn)化為先求x的形式, 即x=dn-1(y+db/c)/an

28、-b/c。對于其中的(y+db/c)/an部分，可通過y的不同取值，使(y+db/c)/an等于1或1的整倍數(shù)k，從而得到最后一次分配時，分得的每份數(shù)量為x=kdn-1-b/c；很顯然只有當(dāng)其中的b/c為整數(shù)時, x方可得到整數(shù)解。如果將這個x=kdn-1-b/c代進(jìn)“a式”，則可得到；y＝an(kdn-1-b/c+b/c)/dn-1-db/c，進(jìn)而可得到問題的最簡易求解公式：y=kan－db/c。同樣此式的有解條件，實(shí)質(zhì)上與求整數(shù)x相

29、同，也必須是，b/c是一個正整數(shù)。　　　</p><p>　　對于“水手分椰子”這個例題, 由于b和c都等于1, 則還可進(jìn)一步把公式簡化成y=an－d, 這種更為簡易形式來求解。</p><p>　　4.2 狄式不定方程問題的陳氏通解公式組的推導(dǎo)及求證：</p><p>　　在a和d無最大公約數(shù)時，用簡易求解公式y(tǒng)=an－db/c用來計(jì)算此類問題時雖十分簡易, 但如

30、果出現(xiàn)a和d有共同的最大公約數(shù)，或者b/c不是一個整數(shù)時，此用此公式就會得不到問題的最小解或者得不到解，故需用下面“陳氏通解公式”組來求解：</p><p>　　a,陳氏通解公式(1) y=ka(a/m)n-1－db/c的推導(dǎo)及求證</p><p>　　當(dāng)a和d有公約數(shù)時，為了求得此時的“狄式問題”的最小解，我們須在4.1小節(jié)中“a式”中, 把它的公約數(shù)m考慮進(jìn)去，這樣便有：y＝a(a/m

31、)n-1[(x+b/c)/(d/m)n-1]-db/c。(為后面求證方便,將其記為“b式”),同樣, 可按照求簡易公式的方法，將“b式”的求y, 轉(zhuǎn)化為先求x, 這樣有x=（d/m)n-1(y+db/c)/a(a/m)n-1-b/c, 也使其中的(y+db/c)/a(a/m)n-1得到某整數(shù)k, 從而進(jìn)一步得到x=k(d/m)n-1-b/c, 將其代進(jìn)式“b式”,最后得到陳氏“通解公式(1)”：y=ka(a/m)n-1－db/c<

32、/p><p>　　很顯然簡易求解公式y(tǒng)=an-db/c，是當(dāng)“陳氏通解公式”(1)中的m、等于1時的簡化形式。</p><p>　　b.陳氏通解公式(2): y=[ka(a/m)n-1－db]/c的推導(dǎo)及求證</p><p>　　當(dāng)b/c不是一個正整數(shù), 為了求得此時y的整數(shù)解, 我們需對于上面4.2小節(jié)中得到的(b)式: y=a(a/m)n-1(x+b/c)/(d/m

33、)n-1-db/c，將其中的a(a/m)n-1(x+b/c)/(d/m)n-1這一部分的分子和分母都同時乘以c，得到:y=a(a/m)n-1(x+b/c)c/c(d/m)n-1-db/c, 將其記做“c式”。</p><p>　　接著可按照“通解公式(1)”求證方法, 也將“c式”的求y, 轉(zhuǎn)化為求x的形式，這樣有: x=c(d/m)n-1(y+db/c)/ca(a/m)n-1-b/c，同樣，也使c(y+db/c

34、)/a(a/m)n-1等于1或1的任意整倍數(shù)(記為k), 并可得到x=k(d/m)n-1/c-b/c, 即x=k[(d/m)n-1-b]/c, 當(dāng)b/m為正整數(shù)時, 可通過k的不同取值，得到x的正整數(shù)解(k的取值方法，可見下面的4.3小節(jié)), 接著可得到: y=ka(a/m)n-1/c-db/c,并進(jìn)而得到“狄式問題”的陳氏通解公式(2):y=[ka(a/m)n-1-db]/c。</p><p>　　4.3關(guān)于陳

35、氏通解公式(2)中的求k公式的推導(dǎo)及求證</p><p>　　通解公式(2)求證我們可以看到：只有 (x＋b/c)c/(d/m)n-1＝k，(k某整數(shù))，這時才會有通解公式(2)；因此通解公式(2)的k必須要通過k=(x＋b/c)c/(d/m)n-1，來求得才符合題意，由于m是d和a的最大公約數(shù)，如果我們設(shè)d/m=h, 那么便可最終得到k的取值公式；k=(xc+b)/hn-1。（在一般情況下k≤c）</p&

36、gt;<p>　　4.4陳氏通解公式(2)的有解或無解條件的求證</p><p>　　當(dāng)a和d有公約數(shù)m時,無疑c也會有公約數(shù)m；此時的b,也應(yīng)該用b/m 來表示, 且它必須是個正整數(shù), 這也是公式有解的前提, 否則它們的原有的內(nèi)在關(guān)系將不再存在。因此我們須將4.3小節(jié)中的求k等式: k=(xc+b)/(d/m)n-1 ,表述為：k=[x(c/m)+(b/m)]m/(d/m)n-1 的，這種能使各個

37、求解因素保持原有相互關(guān)系的形式。無疑在此等式中如果b/m不是一個正整數(shù),則得不到符合題意的k, 通解公式(2)無解。如果b/m是一個正整數(shù)，則可得到正整數(shù)k, 此時通解公式(2)必定有解。</p><p><b>　　5.結(jié)束語</b></p><p>　　文章在研究“水手分椰了”的簡易計(jì)算方法這個問題上, 通過整體分析,得到了該題的極簡易求解方法 y=an-d；它的