關于不定積分解題思路的探討-畢業(yè)論文設計

1、<p>　學 號 14121401576 Hunan Institute of Science and Technology本科畢業(yè)論文題目：關于不定積分解題思路的探討作 者 何 宇 屆 別 2017系 別 數(shù)學學院 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學指導教師 羅德仁 職 稱 講 師完成時

2、間 2017年5月</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　不定積分是求定積分的基礎, 在一元微積分學中占有重要地位. 學好不定積分, 對于導數(shù)和微分學中其他相關知識的鞏固很有幫助. 求解不定積分常用的方法主要有: 基本公式法, 換元積分法, 分部積分法, 有理函數(shù)的積分法. 如何快速找到解題的突破口, 靈活使用各類方法是關鍵. &l

3、t;/p><p>　　我們從被積函數(shù)的特點出發(fā), 從易到難, 對不定積分進行多角度的觀察和分析, 比較各類積分法, 發(fā)現(xiàn)和總結規(guī)律, 提高不定積分解題能力. </p><p>　　關鍵詞: 不定積分; 基本公式法; 換元積分法; 分部積分法; 有理函數(shù)的積分法</p><p><b>　　Abstract</b></p><p&

4、gt;　　Indefinite integral is the foundation of definite integral, it occupies an important position in unitary differential calculus. Grasp the solving methods of indefinite integral is helping to derivative and

5、 other relevant knowledge. Several methods of solving indefinite integral are frequently used, such as basic formula method, change the variable, integration by parts, primitives o

6、f rational functions. What matters is how to quickly find the ideas of subject and flexibly use various method.</p><p>　　We observed and analysised the indefinite integral multi-angl

7、e, on the characteristics of integrand, from simple to difficult, compare various methods, sum up the laws, improve solving ability of the indefinite integral problem .</p><p>　　Keywords:indefinite int

8、egral; basic formula method; change the variable; integration by parts;integration by parts primitives of rational functions</p><p>

9、<b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　0 引言1</b></p><p>　　1 原函數(shù)與不定積分1</p><p>　　1.1 原函

10、數(shù)存在定理1</p><p>　　1.2 不定積分的定義2</p><p>　　2 不定積分的計算方法2</p><p>　　2.1 基本公式法2</p><p>　　2.1.1 不定積分線性運算法則2</p><p>　　2.1.2 基本積分公式及基本公式法3</p><p>　　

11、2.2 第一換元積分法4</p><p>　　2.2.1 觀察法和聯(lián)合“湊”微分4</p><p>　　2.2.2 多次“湊”微分6</p><p>　　2.3 第二換元積分法6</p><p>　　2.3.1 根式代換法7</p><p>　　2.3.2 三角代換法7</p><p&g

12、t;　　2.3.3 倒代換法8</p><p>　　2.4 分部積分法9</p><p>　　2.4.1 冪三指兩兩相乘u,v的選取9</p><p>　　2.4.2 冪對反兩兩相乘u,v的選取10</p><p>　　2.5 有理函數(shù)的積分12</p><p>　　2.5.1 六個基本積分12</p

13、><p>　　2.5.2 待定系數(shù)法13</p><p><b>　　參考文獻15</b></p><p><b>　　0 引言</b></p><p>　　不定積分與定積分構成一元函數(shù)積分學. 現(xiàn)實中許多問題, 如: 已知加速度求速度; 已知速度求路程等都與不定積分有關, 這些求導的逆運算便是不定

14、積分的求解. 首先第1章第1節(jié)我們利用變上限積分的定義和積分第一中值定理, 證明原函數(shù)的存在定理, 1.2節(jié)給出了不定積分的定義并總結了不定積分和原函數(shù)之間的關系. 第2章在給出不定積分各類解題方法的基礎上, 就解題思路和方法的選取技巧作進一步探討. </p><p>　　1 原函數(shù)與不定積分</p><p>　　1.1 原函數(shù)存在定理</p><p>　　定義1.

15、1 設函數(shù)與區(qū)間上都有定義.若</p><p><b>　　(1.1)</b></p><p>　　則稱為在區(qū)間上的一個原函數(shù).</p><p>　　定義1.2 設在上可積, 由可積的充要條件可知, 對任意的在上也可積, 定義變上限積分</p><p><b>　　(1.2)</b></p&g

16、t;<p>　　定理1.1 若在上連續(xù), 則由上式（1.1）所定義的函數(shù)在上處處可導, 有</p><p><b>　　(1.3)</b></p><p>　　證 對任一確定的當且時, 由上式和積分第一中值, 存在使得 </p><p><b>　　(1.4)</b></p><p>

17、<b>　　因在處連續(xù), 故有</b></p><p><b>　　(1.5)</b></p><p>　　由的任意性, 知是在上的原函數(shù).</p><p>　　1.2 不定積分的定義</p><p>　　定義1.3 函數(shù)在區(qū)間上的全體原函數(shù)稱為在區(qū)間上的不定積分，記作</p><

18、;p><b>　　(1.6)</b></p><p>　　其中稱為積分號, 為被積函數(shù), 為被積表達式, 為積分變量, (1.6)在使用時要看成一個整體.</p><p>　　由定義3可知，不定積分和原函數(shù)是個體和總體的關系, 即如果為的一個原函數(shù)那么的不定積分是一個函數(shù)族其中為任意常數(shù), 記作</p><p><b>　　(1

19、.7)</b></p><p><b>　　不難發(fā)現(xiàn), </b></p><p><b>　　(1.8)</b></p><p><b>　　(1.9)</b></p><p>　　顯然, “存在原函數(shù)” 和 “存在不定積分” 說法是一樣的.</p>

20、<p>　　2 不定積分的計算方法</p><p><b>　　2.1 基本公式法</b></p><p>　　2.1.1 不定積分線性運算法則</p><p>　　我們平時做題都會發(fā)現(xiàn), 求導相對求原函數(shù)要簡單很多. 因為導數(shù)的定義具有構造性, 而原函數(shù)的定義只告訴我們, 它的導數(shù)恰好等于某個已知的函數(shù), 并沒有給出由已知函數(shù)求原

21、函數(shù)的具體形式和途徑.下面先講述怎樣由導數(shù)線性運算法則來求不定積分的線性運算法則: </p><p>　　定理2.1 函數(shù)和在區(qū)間上都存在原函數(shù), 為任意常數(shù)，則在上也存在原函數(shù), 且當不同為零時, 有</p><p><b>　　(2.1)</b></p><p>　　證 由導數(shù)的基本性質可知</p><p>　　2.

22、1.2 基本積分公式及基本公式法</p><p>　　上表便是常用的積分公式. 如果遇到被積函數(shù)和公式里的一樣, 便可以直接利用公式; 但很多時候我們遇到的被積函數(shù)有所變化, 這時我們要將被積函數(shù)變形為積分公式中被積函數(shù)的代數(shù)和運算及數(shù)乘運算.我們將這種方法稱為積分基本公式.</p><p><b>　　例1 求.</b></p><p>　　

23、分析: 被積函數(shù)顯然是一個冪函數(shù), 通過化簡便能利用積分公式直接求解.</p><p><b>　　解 .</b></p><p><b>　　例2 求.</b></p><p>　　分析: 被積函數(shù)是兩個帶根號的分式, 并且兩個分母不同, 但我們觀察可以發(fā)現(xiàn)的乘積恰好是, 這不正好是我們積分公式里的形式嗎? 因此可將分子

24、分母同乘一個數(shù)再化簡求解.</p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　求解不定積分的基本思路是: 先將被積函數(shù)變形為積分公式中被積函數(shù)的代數(shù)和運算及數(shù)乘運算, 然后應用不定積分的基本積分公式和線性運算法則來求解.</p><p>　　2.2

25、 第一換元積分法</p><p>　　定理2.2 設是可微函數(shù), 則</p><p><b>　　(2.2)</b></p><p>　　上面求不定積分的方法稱之為第一換元法, 也叫 “湊” 微分法. </p><p>　　運用公式(2.2), 關鍵在于尋找合適的, 使與湊微分, 然后進行換元, 故這種方法又稱為 “湊”

26、 微分法.</p><p>　　使用第一換元法的基本步驟是:</p><p>　　2.2.1 觀察法和聯(lián)合“湊”微分</p><p>　　有的被積函數(shù)通過觀察便能很快 “湊” 出來, 比如以下的這種:</p><p><b>　　例3 ;</b></p><p><b>　　;&l

27、t;/b></p><p><b>　　;</b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　第一個式子中的能 “湊” 成的微分, 即. 中間變量便是(2.2)中的.其余式子與此類似. 而有的被積函數(shù)則比較復雜, 再看一個例題: </p><p><b>　　例4

28、 求.</b></p><p>　　分析: 初看來無法下手, 但通過觀察和推敲可以發(fā)現(xiàn), 對分母中進行求導, 有. 故需將與湊微分, 稱為聯(lián)合湊微分法.</p><p><b>　　解 由, 則</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　我們再

29、看一個例子:</b></p><p><b>　　例5 求</b></p><p>　　分析: 被積函數(shù)中分母為一個和式的高次冪, 和式應當成一個整體, 再看分子, 可以轉化為與和式相關的式子.</p><p><b>　　解 </b></p><p>　　2.2.2 多次“湊”微分&l

30、t;/p><p>　　有時候我們不能很快的就湊出微分, 這時需用到多次湊微分, 如例6.</p><p><b>　　例6 求</b></p><p>　　分析: 被積函數(shù)中含有多個復合函數(shù), 我們可以利用基本積分表中的積分公式，作多步的湊微分.</p><p><b>　　解 </b></p&g

31、t;<p>　　有的時候我們要多次同時湊微分, 這需要我們對導數(shù)公式特別熟悉.</p><p>　　用湊微分法求解不定積分時, 首先要認真觀察被積函數(shù), 當被積函數(shù)為復合函數(shù)時, 首先考慮這種方法, 為復合函數(shù)的中間變量“湊微分”. 當看不清被積函數(shù)的特點時, 不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式來求導嘗試, 或許從中可以得到某些啟發(fā). </p><p>　　2.3 第二換元積分法&

32、lt;/p><p>　　當被積函數(shù)是復合函數(shù), 還是有很大一部分中間變量的微分不好用第一換元法 “湊” 出來, 這時我們可能用到第二換元積分法. </p><p>　　定理2.3 設是單調可導函數(shù), 且 具有原函數(shù), 則有</p><p>　　. (2.3)</p><p><b>　　其中是的反函數(shù).

33、</b></p><p>　　用好第二換元積分法, 關鍵在于找到合適的換元使積分變得簡單, 但在換元過程中要注意需存在反函數(shù)且可導, 故需要的可導性和單調性.</p><p>　　使用第二換元積分法的基本步驟是:</p><p>　　下面我們通過例題先介紹根式代換.</p><p>　　2.3.1 根式代換法</p>

34、<p><b>　　例 7 求.</b></p><p>　　分析: 被積函數(shù)含有無理根式, 不管是基本公式法還是第一換元法, 都不好求解, 這時第二換元法恰到好處地解決了這個問題: 將無理根式看成一個整體進行根式代換.</p><p><b>　　解 令</b></p><p><b>　　. &l

35、t;/b></p><p>　　由此可見, 當我們遇到被積函數(shù)為無理根式的時候, 可以優(yōu)先考慮根式代換法. 下面再講講三角代換.</p><p>　　2.3.2 三角代換法</p><p><b>　　例8 求.</b></p><p>　　分析: 被積函數(shù)中讓人聯(lián)想到三角函數(shù)讓人聯(lián)想到三角函數(shù), 在一個直角三角形

36、中,為斜邊, 為一直角邊, 如右下圖1.</p><p><b>　　解 則</b></p><p><b>　　. </b></p><p>　　如遇被積函數(shù)中含, 考慮換元令;</p><p>　　如遇被積函數(shù)中含, 考慮換元令;</p><p>　　如遇被積函數(shù)中含,

37、考慮換元令.</p><p>　　碰到這些形式的, 都可以使用三角代換法. </p><p>　　2.3.3 倒代換法</p><p><b>　　例9 求</b></p><p>　　分析:被積函數(shù)中分母的冪函數(shù)次數(shù)很高, 能否找個中間變量使分母變成分子, 簡化計算呢? 我們會想到以前的倒數(shù)!</p>&

38、lt;p><b>　　解 令則</b></p><p>　　不難發(fā)現(xiàn), 當被積函數(shù)中分母的次數(shù)較高時, 我們考慮倒代換.</p><p>　　用第二換元積分法解題, 根式代換, 三角代換, 倒代換是常用手段.</p><p>　　兩類換元積分法的聯(lián)系: </p><p>　　基本方法都是換元, 進行的都是求微分的核

39、心運算. </p><p>　　兩類換元積分法的區(qū)別: </p><p>　　(1)第一換元法是將看成自變量, 第二換元法是將看當成中間變量;</p><p>　　(2)第一換元法先微分后換元, 第二換元法是先換元再微分; </p><p><b>　　2.4 分部積分法</b></p><p>

40、　　設函數(shù)和都具有連續(xù)的導數(shù), 則有分部積分公式: </p><p>　　???? 或 . (2.4)</p><p>　　其原理是函數(shù)四則運算的求導法則的逆用.</p><p>　　當被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù), 三角函數(shù), 冪函數(shù), 對數(shù)函數(shù)或者反函數(shù)中任意兩個的乘積時, 常考慮用分部積分法. 關鍵在于找好, 把它湊成, 用兩個因式乘積

41、減去的積分.那么, 在選取時, 應該注意哪些問題呢? 下面通過例題來探討一下.</p><p>　　2.4.1 冪三指兩兩相乘的選取</p><p><b>　　例10 求.</b></p><p>　　解 (方法一) 將看成, 則</p><p>　　(方法二) 將看成, 則</p><p>&

42、lt;b>　　, </b></p><p>　　到這一步的時候我們發(fā)現(xiàn)比原題更難, 因此題中的選取是有技巧的.當被積函數(shù)是三角函數(shù)與冪函數(shù)的乘積時, 把三角函數(shù)看成是有利于計算的.下面繼續(xù)探討一種類型:</p><p><b>　　例11 求.</b></p><p>　　分析：被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的乘積, 發(fā)現(xiàn)選, 其

43、余部分湊微分形成, 這樣在使用分部積分公式后可以對冪函數(shù)進行降冪. 這里我們還要用到多次分部積分.</p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　如果選, 原式, 新積分不比原積分簡單, 因此將冪函數(shù)看成, 指數(shù)函數(shù)看成. 同理, 當被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積

44、時, 將指數(shù)函數(shù)看成, 這里還用到循環(huán)分部積分法.</p><p><b>　　例12 求</b></p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　由于</b></p><p><b>　　所以</b></p><

45、p>　　通過例題我們發(fā)現(xiàn), 當被積函數(shù)是三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積時, 要分部積分兩次.</p><p>　　2.4.2 冪對反兩兩相乘的選取</p><p><b>　　例13 求.</b></p><p>　　分析: 類似上面例題的思路, 發(fā)現(xiàn)選為更好.</p><p><b>　　解 </b&g

46、t;</p><p>　　當被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的乘積時, 將對數(shù)函數(shù)看成, 冪函數(shù)看成無疑是更利于計算的. 下面再看下冪函數(shù)與反三角函數(shù)的例子, 這里我們還得對式子作適當?shù)淖冃?</p><p><b>　　例14 求.</b></p><p><b>　　解 令, 則 有</b></p><

47、p><b>　　.</b></p><p>　　當被積函數(shù)是冪函數(shù)與反三角函數(shù)的乘積時, 將冪函數(shù)看成. 同理, 若是對數(shù)函數(shù)與反三角函數(shù)的乘積, 將對數(shù)函數(shù)看成.</p><p>　　綜上所述, 分部積分法在選取時, 有一定的選取技巧, 這樣使運算更為方便: </p><p>　　（1）根據(jù)容易求出;</p><p&

48、gt;<b>　　新積分比容易求.</b></p><p>　　一般的, 積分從反函數(shù)到指數(shù)函數(shù)會越來越簡單. 被積函數(shù)中是 “反對冪三指” 5類函數(shù)的2種, 根據(jù)“反對冪三指” 先后順序, 前者為后者為. 如被積函數(shù)是三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的乘積時, 把三角函數(shù)看成, 即的選取順序為指數(shù)函數(shù), 三角函數(shù), 冪函數(shù), 對數(shù)函數(shù), 反函數(shù). </p><p>　　2.5 有

49、理函數(shù)的積分</p><p><b>　　我們把形如</b></p><p><b>　　(2.5)</b></p><p>　　稱為有理函數(shù). 其中及為常數(shù), 且的次數(shù)小于的次數(shù), 稱分式為真分式; 的次數(shù)大于的次數(shù), 稱分式為假分式. </p><p>　　2.5.1 六個基本積分</p&

50、gt;<p>　　我們把被積函數(shù)分成基本類型的幾個函數(shù)進行積分時, 總是假定它們可分成若干基本分式. 理論上任意一個有理真分式函數(shù)的積分, 都可以拆分成6個類型的基本積分的代數(shù)和:</p><p><b>　　(1)</b></p><p><b>　　(2)</b></p><p><b>　　(

51、3)</b></p><p><b>　　(4)</b></p><p><b>　　(5)</b></p><p>　　(6) 可由遞推法求得. </p><p>　　例15 簡單的有理真分式拆分, 如</p><p><b>　　. </b&g

52、t;</p><p>　　有的時候, 被積函數(shù)不能很快地拆分成幾個基本分式, 下面介紹一種好用的方法.</p><p>　　2.5.2 待定系數(shù)法</p><p>　　(1) 被積函數(shù)拆成多個分式后, 如分母中含有因式時, 部分分式形式中對應項應該是這樣:</p><p>　　如分母中含有因式時, 分式形式中對應項應是這樣:</p>

53、;<p><b>　　例16 求.</b></p><p>　　解 被積函數(shù)的分母分解成, 故可設</p><p><b>　　, </b></p><p>　　其中為待定系數(shù). 上式兩端去分母后, 得</p><p><b>　　, </b></p>

54、<p>　　比較兩端同次冪的系數(shù), 有</p><p><b>　　解得</b></p><p><b>　　因此, </b></p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　本文是在羅德仁博士的指導和幫助下完成的, 他細心的教導令我受益匪淺, 無微

55、不至的關懷更是讓我平添許多信心. 在此對羅老師表示衷心的感謝! </p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]數(shù)學分析(第4版)[M]. 高等教育出版社,2011.</p><p>　　[2]王曉康. 淺談不定積分的第一換元積分法[J]. 科技資訊,2008,(07):194.</p><p>

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