雙曲型偏微分方程的求解及其應(yīng)用[畢業(yè)論文]

1、<p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）</p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　雙曲型偏微分方程的求解及其應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué) </p&

2、gt;<p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要:雙曲型偏微分方程是偏微分方程極其重要的組成部分。它可以描述物體內(nèi)部的振動(dòng)，尤

3、其是波動(dòng)傳播過程。本文通過敘述偏微分方程以及其相關(guān)的概念定義，并且以波動(dòng)方程作為雙曲型偏微分方程的典型的例子來介紹其求解和應(yīng)用。文章重點(diǎn)講述了用分離變量法來求解波動(dòng)方程的的具體過程，并簡(jiǎn)單介紹了達(dá)朗貝爾方法以及積分變換方法。</p><p>　　關(guān)鍵詞: 雙曲型；分離變量；積分變換</p><p>　　Solution of hyperbolic partial differential

4、equations and its application</p><p>　　Abstract：Hyperbolic partial differential equations is partial differential equation of the most important components. It can describe object interior vibration, especia

5、lly wave process. This article through narrative partial differential equation and its related concepts in wave equation is defined, and hyperbolic partial differential equations as the typical example to introduce its s

6、olution and the application. This paper tells the method of separation of variables to solve with the specific p</p><p>　　Keywords: hyperbolic type ; separation of variables ; Integral transform</p>&

7、lt;p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1 緒論1</b></p><p>　　1.1 問題的背景、意義1</p><p>　　1.1.1 背景1</p><p>　　1.1.2 意義2</p><p>　　2 雙曲型偏微分方程

8、的基本概念3</p><p>　　2.1 偏微分方程的基本概念3</p><p>　　2.1.1 定義3</p><p>　　2.1.2 定解條件和定解問題3</p><p>　　2.1.3 定解問題的適定性3</p><p>　　3 雙曲型偏微分方程的求解5</p><p&g

9、t;　　3.1 基本概念5</p><p>　　3.1.1 雙曲型5</p><p>　　3.1.2 分離變量法5</p><p>　　3.1.3 一些方程的通解5</p><p>　　3.2 分離變量法6</p><p>　　3.3 達(dá)朗貝爾方法12</p><p>　

10、　3.4 積分變換法15</p><p>　　4 雙曲型偏微分方程的應(yīng)用17</p><p>　　4.1 定解問題的求解17</p><p>　　4.2 弦自由振動(dòng)的求解18</p><p>　　4.3 求解定解問題19</p><p><b>　　5 結(jié)論21</b>&l

11、t;/p><p><b>　　致 謝22</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)23</b></p><p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1.1 問題的背景、意義</p><p><b>　　1.1.1 背景&

12、lt;/b></p><p>　　擴(kuò)展微積分的應(yīng)用范圍，尤其是與力學(xué)的有機(jī)結(jié)合，成為18世紀(jì)數(shù)學(xué)的鮮明特征之一，產(chǎn)生的新思想使數(shù)學(xué)本身大大受惠，一系列新的數(shù)學(xué)分支在18世紀(jì)成長(zhǎng)起來。如，常微分方程、偏微分方程、變分法3個(gè)分支的形成。 </p><p>　　微積分對(duì)弦振動(dòng)等力學(xué)問題的應(yīng)用引導(dǎo)一門新的數(shù)學(xué)分支，偏微分方程的建立。包含未知函數(shù)以及偏導(dǎo)數(shù)的等式稱為偏微分方程。</p&g

13、t;<p>　　偏微分方程理論研究一個(gè)方程（組）是否有滿足某些補(bǔ)充條件的解，有多少個(gè)解，解的各種性質(zhì)與求解方法，及其應(yīng)用。</p><p>　　一階偏微分方程的解法。1722年拉格朗日（ 法，1736-1813 ）和1819年柯西（ 法，1798-1857年 ）發(fā)現(xiàn)將其轉(zhuǎn)化為一階常微分方程組。</p><p>　　二階偏微分方程的突破口是弦振動(dòng)方程。給定一個(gè)拉緊的均勻柔軟的弦

14、，兩端固定在軸的某兩點(diǎn)上，考察該弦在平衡位置附近的微小橫振動(dòng)。弦上個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以橫向位移 表示，則。這個(gè)方程稱為弦振動(dòng)方程，或一維的波動(dòng)方程。</p><p>　　1715年和1727年泰勒和約翰.伯努利分別提出了建立弦振動(dòng)方程的問題。1747年達(dá)朗貝爾（ 1717-1783 ）發(fā)表《弦振動(dòng)研究》和1749年歐拉都導(dǎo)出了弦振動(dòng)方程并求出解，成為偏微分方程研究的開端。1753年丹尼爾.伯努利的論文（1755年發(fā)表）

15、在假定所有可能的初始曲線均可表為正弦級(jí)數(shù)的前提下，導(dǎo)出了具有正弦周期模式的解。歐拉在1759年的論文（1766年發(fā)表）中將弦振動(dòng)方程作了推廣，討論了二維鼓膜的振動(dòng)和聲波的三維傳播，分別得到了二維和三維的波動(dòng)方程，獲得了解的初步性質(zhì)。波動(dòng)方程現(xiàn)稱為雙曲型偏微分方程。</p><p>　　另一重要類型的二階偏微分方程是位勢(shì)方程，是1752年歐拉在研究流體力學(xué)時(shí)提出的。歐拉證明了對(duì)流體內(nèi)任一點(diǎn)的速度分量,,，一定存在函

16、數(shù) （速度勢(shì)）滿足，這就是位勢(shì)方程。在熱傳導(dǎo)過程中，當(dāng)熱運(yùn)動(dòng)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，溫度u也滿足上述方程，所以它也稱為調(diào)和方程。1785年拉普拉斯（法，1749-1827年）用球調(diào)和函數(shù)求解，稍后又給出了這方程的直角坐標(biāo)形式?，F(xiàn)在稱這方程為拉普拉斯方程，這屬于橢圓形偏微分方程。</p><p>　　對(duì)二階偏微分方程的求解構(gòu)成19世紀(jì)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家關(guān)注的中心問題之一[1-4]。</p><p>&

17、lt;b>　　1.1.2 意義</b></p><p>　　在科學(xué)技術(shù)日新月異的發(fā)展過程中，人們研究的許多問題用一個(gè)自變量的函數(shù)來描述已經(jīng)顯得不夠了，不少問題有多個(gè)變量的函數(shù)來描述。比如，從物理角度來說，物理量有不同的性質(zhì)，溫度、密度等是用數(shù)值來描述的叫做純量；速度、電場(chǎng)的引力等，不僅在數(shù)值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點(diǎn)上的張力狀態(tài)的描述出的量叫做張量，等等。這些量不僅和

18、時(shí)間有關(guān)系，而且和空間坐標(biāo)也有聯(lián)系，這就要用多個(gè)變量的函數(shù)來表示。</p><p>　　隨著電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和發(fā)展, 偏微分方程的數(shù)值解得到了前所未有的發(fā)展和應(yīng)用.在科學(xué)的計(jì)算機(jī)化進(jìn)程中,科學(xué)與工程計(jì)算作為工具性、方法性、邊緣交叉性的新學(xué)科開始了自己的新發(fā)展.由于科學(xué)基本規(guī)律大多是通過偏微分方程來描述的，因此科學(xué)與工程計(jì)算的主要任務(wù)就是求解形形色色的偏微分方程，特別是一些大規(guī)模、非線性、幾何非規(guī)則性的方程.<

19、;/p><p>　　隨著物理科學(xué)所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴(kuò)展，偏微分方程的應(yīng)用范圍更廣泛。從數(shù)學(xué)自身的角度看，偏微分方程的求解促使數(shù)學(xué)在函數(shù)論、變分法、級(jí)數(shù)展開、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各方面進(jìn)行發(fā)展。從這個(gè)角度說，偏微分方程變成了數(shù)學(xué)的中心。</p><p>　　2 雙曲型偏微分方程的基本概念</p><p>　　2.1 偏微分方程的基本概念</

20、p><p>　　這一節(jié)，我們來了解一下關(guān)于偏微分方程的相關(guān)概念，如定解條件和定解問題以及定解問題的適定性。</p><p>　　2.1.1 定義 </p><p>　　含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程。

21、</p><p>　　方程的個(gè)數(shù)是1的稱為方程式，方程的個(gè)數(shù)多于1的稱為方程組。對(duì)于方程組而言，一般要求方程的個(gè)數(shù)與未知函數(shù)的個(gè)數(shù)相同。如果方程的個(gè)數(shù)少于未知函數(shù)的個(gè)數(shù)，稱方程組是欠定的。如果方程組的個(gè)數(shù)多于未知函數(shù)的個(gè)數(shù)，稱方程組是超定的。</p><p>　　方程（組）中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為方程（組）的階數(shù)。</p><p>　　定解條件和定解

22、問題 </p><p>　　給定一個(gè)常微分方程，有通解和特解的概念。通解只要求滿足方程，即滿足某種物理定律，而不能完全確定一個(gè)物理狀態(tài)，這種解通常有無(wú)窮多個(gè)。特解除了要求滿足方程外，還要滿足給定的外加（特殊）條件。對(duì)偏微分方程也是一樣的。換句話說，為了完全確定一個(gè)物理狀態(tài)，只有相應(yīng)的偏微分方程是不夠的，必須給出它的初始

23、狀態(tài)和邊界狀態(tài)，即給出外加的特定條件，這種特定條件稱為定解條件。描述初始時(shí)刻物理狀態(tài)的定解條件稱為初值條件或初始條件，描述邊界上物理狀態(tài)的條件稱為邊界條件或邊值條件。一個(gè)方程匹配上定解條件就構(gòu)成定解問題。</p><p>　　2.2.3 定解問題的適定性 </p><p>　　對(duì)于不同的物理問題，一般來講其定解條件也是（例如，弦振動(dòng)問題和熱傳導(dǎo)問題有不同的初值條件，描述不同物理狀態(tài)的熱

24、傳導(dǎo)問題也有不同的邊界條件）。從數(shù)學(xué)上來看，判斷一個(gè)定解問題是否合理，即是否能夠完全描述一個(gè)給定的物理狀態(tài)，一般來講有以下三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：</p><p>　?。?）解的存在性 所給的定解問題有解</p><p>　?。?）解的唯一性 所給的定解問題只有一個(gè)解</p><p>　?。?）解的穩(wěn)定性 當(dāng)定解條件（初值條件

25、，邊界條件）以及方程中的系數(shù)有微小變動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的解也有微小變動(dòng)。解的穩(wěn)定性也只有微小變動(dòng)。解的穩(wěn)定性也稱為解關(guān)于參數(shù)的連續(xù)依賴性。</p><p>　　解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性，三者合起來稱為解的適定性。一般來說，一個(gè)具體的物理問題在一定的條件下，總有唯一確定的狀態(tài)，反應(yīng)在定解問題中就是解的存在唯一性。定解條件都是通過測(cè)量和統(tǒng)計(jì)而得到的，在測(cè)量和統(tǒng)計(jì)的過程中誤差總是難免的，同時(shí)在建立數(shù)學(xué)模型的過程中也多次用了近

26、似[5-10]。</p><p>　　3 雙曲型偏微分方程的求解</p><p><b>　　3.1 基本概念</b></p><p>　　首先，讓我們了解一下有關(guān)于雙曲型偏微分方程的概念。比如什么是雙曲型的，什么是分離變量法以及了解常微分方程中的一些解，為后面我們要講到的方法的求解做準(zhǔn)備。</p><p>　　3.

27、1.1 雙曲型</p><p>　　考察兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程</p><p>　　， （3.1.1）</p><p>　　其中,,,都是x,的連續(xù)可微實(shí)值函數(shù)，并且，，不同時(shí)為零。</p><p>　　存在任一點(diǎn)的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)。</p><p>　　結(jié)論 如果在點(diǎn)（任一點(diǎn)的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)）處，

28、則稱方程（3.1.1）在點(diǎn) 處是雙曲型的。</p><p>　　3.1.2 分離變量法</p><p>　　給定一個(gè)二元數(shù)組 。</p><p>　　， （3.1.2）</p><p>　?。?.1.2）式實(shí)際上一些變量分離形式的函數(shù)的和（疊加）。這就啟發(fā)我們?cè)O(shè)法求出一個(gè)線性方程線性方程的具有

29、上述形式的解。求這種形式的解的方法就稱為分離變量法</p><p>　　3.1.3 一些方程的通解</p><p>　　我們首先來了解一下有關(guān)于常系數(shù)二階線性常微分方程的通解。</p><p>　　給定一個(gè)常系數(shù)二階線性常微分方程</p><p><b>　　，</b></p><p>　　對(duì)應(yīng)

30、的特征方程是，有兩個(gè)根為和。根據(jù) ，的不同情況，有下面的已知結(jié)論：</p><p>　　(1) 當(dāng) ，為實(shí)數(shù)且 時(shí)，</p><p><b>　??；</b></p><p>　　(2) 當(dāng) 為實(shí)數(shù)時(shí)，</p><p><b>　??；</b></p><p>　?。?）當(dāng)

31、 ， 時(shí)，</p><p><b>　　。</b></p><p>　　3.2 分離變量法</p><p>　　有了以上的基礎(chǔ)知識(shí)打底，我們現(xiàn)在就來求解典型的雙曲型偏微分方程。</p><p>　　這里我們主要討論具有很強(qiáng)實(shí)際背景的一個(gè)典型的二階線性偏微分方程，是研究弦振動(dòng)的方程，稱為波動(dòng)方程，屬于雙曲型。這里運(yùn)用分

32、離變量法。</p><p>　　給出具有任意初始位置（位移）和速度時(shí)這個(gè)問題的完整解答，即求解描述端點(diǎn)固定的弦振動(dòng)的波動(dòng)方程的邊值問題。</p><p>　　假設(shè)弦沿x軸張緊放置，端點(diǎn)分別固定在x=0和x=L處（圖1）。令 表示弦在時(shí)刻點(diǎn)處的位置。我們知道滿足一維波動(dòng)方程：</p><p>　　， （3.2.1）</p>

33、;<p>　　為求出，我們將求解這個(gè)方程，其邊界條件為</p><p>　　和 對(duì)所有， （3.2.2）</p><p><b>　　初始條件為</b></p><p>　　和 當(dāng) 。 （3.2.3）</p><p>　　邊界條件說明弦的端點(diǎn)在任何時(shí)刻

34、都是固定的，而初始條件給出的弦的初始形狀，以及其初始速度。</p><p>　　我們將給出這個(gè)問題的兩個(gè)解，一個(gè)是基于所謂的分離變量法，這個(gè)非常有力的方法將用來求解這里的偏微分方程；另一個(gè)解是由達(dá)朗貝爾發(fā)現(xiàn)的，用閉形式來表達(dá)，從而得到一些用行波來表示的有趣幾何解釋。</p><p>　　為揭示分離變量法的主要思想，我們將求解過程分解成三個(gè)基本步驟。</p><p>

35、　　步驟1：在（3.2.1）和（3.2.2）中分離變量</p><p>　　首先，我們求出（3.2.1）的形如</p><p><b>　?。?.2.4）</b></p><p>　　的非零乘積解，其中是只與有關(guān)的函數(shù)，而是只與有關(guān)的函數(shù)。問題就化為求解和，對(duì)（3.2.4）作關(guān)于和的微分，得到</p><p><b

36、>　　和 。</b></p><p>　　代入（3.2.1）式，得到</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　兩邊再除以，得到</b></p><p>　　。 （3.2.5）<

37、/p><p>　?。ú挥脫?dān)心為0，我們將繼續(xù)這種形式的求解過程。）在方程（3.2.5）中，變量是分離的，因?yàn)榉匠套筮呏皇堑暮瘮?shù)，而右邊只是的函數(shù)。由于和是相互獨(dú)立的，要得到等式的唯一方法是（3.2.5）式兩端為常數(shù)且相等，所以</p><p>　　和 ,</p><p>　　其中是任意常數(shù)，稱為分離常數(shù)。我們將變量分離的方程寫成如下兩個(gè)常微分方程：<

38、/p><p><b>　?。?.2.6）</b></p><p><b>　　和</b></p><p>　　. （3.2.7）</p><p>　　這樣，我們得到了兩個(gè)常微分方程來代替我們?cè)鹊钠⒎址匠?，這是分離變量法的要點(diǎn)。但是，這兩個(gè)方程

39、通過常數(shù)而耦合在一起，因此并不是相互獨(dú)立的。我們下一步是在邊界條件（3.2.2）中分離變量。利用（3.2.4）式和邊界條件，得到</p><p>　　和 ， 對(duì)所有 。</p><p>　　如果 或 ，則對(duì)所有，必須為0，因此由（3.2.4），恒等于零。為避免這個(gè)平凡解，令</p><p><b>　　和 .</b></p&g

40、t;<p>　　因此我們得到X的邊值問題：</p><p>　　， 和 .</p><p>　　正如下一步驟所發(fā)現(xiàn)的，并不是所有的分離常數(shù)都能導(dǎo)出的平凡解。我們的討論將涉及簡(jiǎn)單的二階線性常系數(shù)常微分方程的求解。</p><p>　　步驟2：求解變量分離的方程</p><p>　　首先，我們求解的方程，因?yàn)樗鼛в羞吔鐥l

41、件，而的方程沒有，邊界條件可以將解的范圍縮小。</p><p>　　如果是正的，比如， ，則X的方程變?yōu)?lt;/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其通解為</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　我

42、們現(xiàn)在說明：滿足其邊界條件的唯一方法就是選取 .事實(shí)上，蘊(yùn)涵著 ，因此得到 。條件 蘊(yùn)涵著 ，但是 ，因此 ，即得 。因此情形只導(dǎo)出平凡解。</p><p>　　類似地，當(dāng) 時(shí)，微分方程化為 ，其通解為 。滿足其邊界條件的唯一方法就是選取 ，這又將導(dǎo)出平凡解 。所以，唯一剩下的可能就是</p><p><b>　　.</b></p>

43、<p><b>　　相應(yīng)于的邊值問題是</b></p><p>　　， 和 .</p><p><b>　　微分方程的通解為</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　條件蘊(yùn)涵著 ，因此 ：條件 蘊(yùn)含著</p&g

44、t;<p><b>　　.</b></p><p>　　為避免平凡解 ，取 （ ，這里只是為了方便起見，任何其他非零值均可），得到由于正弦函數(shù)在的整數(shù)倍處為零，我們得到</p><p><b>　　， ，</b></p><p><b>　　因此</b></p>

45、<p><b>　　， .</b></p><p>　　注意到，對(duì)于的負(fù)值情形，我們得到了一個(gè)相同的解，只差一個(gè)符號(hào)。因此，不失一般性，舍去對(duì)應(yīng)于負(fù)的解。</p><p>　　現(xiàn)在，回到（3.2.7）式，代入 ，得到</p><p><b>　　。</b></p><p>&l

46、t;b>　　方程的通解是</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中我們令</b></p><p>　　, .</p><p>　　像（3.2.4）式那樣將和的解結(jié)合起來，我們得到（3.2.1）式的一組無(wú)窮多個(gè)滿足邊界條件（3.

47、2.2）的乘積解：</p><p><b>　　， .</b></p><p>　　這就是波動(dòng)方程的正規(guī)波形。</p><p>　　由于所有正規(guī)波形都滿足線性齊次方程（3.2.1）和邊界條件（3.2.2），由疊加原理，其任意線性組合都滿足（3.2.1）和（3.2.2）。但是不難發(fā)現(xiàn)：如此線性組合，一般而言，可能不滿足初始條件（3.2.3）。

48、因此，受疊加原理啟發(fā)，自然要嘗試“無(wú)窮”線性組合</p><p>　　作為邊值問題（3.2.1）~（3.2.3）的解。</p><p>　　步驟3：整個(gè)問題的傅里葉級(jí)數(shù)解</p><p>　　為徹底解決我們的問題，我們必須確定未知系數(shù)和 ，以使函數(shù)滿足初始條件（3.2.3）。以（3.2.3）中第一個(gè)條件開始，在無(wú)窮級(jí)數(shù)解中令 ，得到</p><

49、p><b>　　， .</b></p><p>　　右端的級(jí)數(shù)是f的半幅正弦級(jí)數(shù)展開式，因此由公式，得到正弦系數(shù)b為</p><p><b>　　， .</b></p><p>　　類似地，由（3.2.3）中的第二個(gè)初始條件，我們確定 。對(duì)的級(jí)數(shù)關(guān)于逐次微分，并令 ，得到</p><

50、;p><b>　　.</b></p><p>　　由于這是的半幅正弦級(jí)數(shù)展開式所以我們得到</p><p>　　， .</p><p>　　解出 ，并代入的值，得到</p><p><b>　　， .</b></p><p>　　這樣，我們確定

51、出了解的級(jí)數(shù)表達(dá)式中的所有未知系數(shù)。我們將上面所得到的總結(jié)如下。</p><p>　　一維波動(dòng)方程的解 一維波動(dòng)方程</p><p><b>　　， , </b></p><p><b>　　帶有邊界條件</b></p><p><b>　　和 對(duì)所有</b&

52、gt;</p><p><b>　　以及初始條件</b></p><p><b>　　和 當(dāng) </b></p><p><b>　　的解為</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>

53、　　，</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　以及</b></p><p><b>　　， .</b></p><p>　　3.3 達(dá)朗貝爾方法</p><p>　　正如前面提到的，本節(jié)將

54、說明相應(yīng)的弦振動(dòng)</p><p><b>　?。?.3.1）</b></p><p>　　和對(duì)所有， （3.3.2）</p><p>　　和對(duì) （3.3.3）</p><p>　　的邊值問題的傅里葉級(jí)數(shù)解具有更簡(jiǎn)單的表達(dá)式，僅用初始值

55、和來表達(dá)。更確切地，我們將證明（3.3.1）~（3.3.3）的解可以表達(dá)為</p><p>　　， （3.3.4）</p><p>　　其中和表示和的奇延拓，這稱為弦振動(dòng)問題的達(dá)朗貝爾解，它可以用行波來作一個(gè)有趣的解釋。</p><p>　　例 從傅里葉級(jí)數(shù)到達(dá)朗貝爾解</p><p>　　當(dāng) 和時(shí)，前一節(jié)傅里葉級(jí)數(shù)方

56、法得到（3.3.1）~（3.3.3）的解為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　另一方面，達(dá)朗貝爾解（3.3.4）得到如下形式的解：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　回憶起三角恒等式，我們發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)解是一樣的。</p><p&g

57、t;　　由前一節(jié)的傅里葉級(jí)數(shù)解推導(dǎo)出達(dá)朗貝爾解（3.3.4）是基于類似的思想，將在習(xí)題中給出其證明框架。此時(shí)，直接驗(yàn)證（3.3.4）滿足方程（3.3.1）~（3.3.3）就能說明（3.3.4）的正確性。為簡(jiǎn)化記號(hào)，我們?nèi)サ?號(hào)，用同一個(gè)記號(hào)來記函數(shù)及其奇延拓。另外，我們假設(shè)下面計(jì)算中所出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)都存在。首先，我們驗(yàn)證（3.3.4）滿足（3.3.1），對(duì)（3.3.4）求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，利用鏈?zhǔn)椒▌t和微積分基本定理，我們得到</p>

58、<p><b>　　。</b></p><p>　　關(guān)于求二階導(dǎo)數(shù)，我們得到</p><p><b>　　。</b></p><p>　　類似地，對(duì)（3.3.4）求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)得到</p><p><b>　　和</b></p><p>&l

59、t;b>　　。</b></p><p>　　因此，，從而（3.3.4）滿足波動(dòng)方程（3.3.1）.</p><p>　　為驗(yàn)證（3.3.4）滿足（3.3.2）和（3.3.3），我們利用和是奇的和周期的這個(gè)事實(shí)。例如，為驗(yàn)證在處的邊界條件（3.3.2），我們?cè)冢?.3.4）中令，得到</p><p><b>　　，</b><

60、;/p><p>　　因?yàn)槭瞧娴?，所以；是奇的，所以其在?duì)稱區(qū)間上的積分為。</p><p><b>　　達(dá)朗貝爾的幾何解釋</b></p><p>　　當(dāng)初始速度為零時(shí)，達(dá)朗貝爾解具有如下更簡(jiǎn)單的形式：</p><p>　　。 （3.3.5）</p><p>

61、;　　這里有一個(gè)有趣的幾何解釋，對(duì)固定的，（作為的函數(shù)時(shí)）的圖像由的圖像向右平移個(gè)單位得到，隨著增加，圖像表示的波以速度向右傳播。類似地，的圖像是以速度向左傳播的波。由（3.3.5）式知，波動(dòng)方程的解是兩列向相反方向傳播的、其形狀由弦的初始形狀確定的波的平均值。</p><p>　　一般形式的達(dá)朗貝爾解（3.3.4）較難從幾何上解釋，但是，它確實(shí)告訴我們：在點(diǎn)處</p><p>　　時(shí)刻的

62、位移完全由在和之間的區(qū)間上的初始速度決定。為理解初始速度對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響，令表示的一個(gè)原函數(shù)，因此</p><p><b>　　，</b></p><p>　　對(duì)于某個(gè)固定的數(shù)。注意到</p><p><b>　　，</b></p><p>　　最后一個(gè)等式是由于是奇的。因此，是周期的。利用和，解（3.

63、3.4）可改寫為</p><p><b>　　， （3.3.6）</b></p><p>　　試證：一般的，解還是由右行和左行波行構(gòu)成。與（3.3.5）的情形的主要區(qū)別在于，此時(shí)兩個(gè)波形不再具有相同的形狀，函數(shù)和分別給出了右行和左行波行狀[11-13]。</p><p>　　3.4 積分變換法</p><p>　　前

64、面我們用到了分離變量法，這里我們討論一種新的方法，積分變換法。</p><p>　　考慮一維齊次弦振動(dòng)方程的初值問題</p><p><b>　?。?.4.1）</b></p><p>　　記，，。對(duì)方程和定解條件關(guān)于施行Fourier變換，得</p><p><b>　　由此解出</b></

65、p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中，由</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　確定。解出，，就得到</p><p

66、>　　. （3.4.2）</p><p><b>　　利用</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可以求出</b></p><p>　　， （3.4.3）</p><p>　　.

67、 （3.4.4）</p><p>　　最后，由（3.4.2）式~（3.4.4）式得到</p><p>　　. （3.4.5）</p><p>　　這就是著名的d’Alembert公式。容易證明：如果，，那么由（3.4.5）</p><p>　　式給出的是問題（3.4.1）的古典解。&

68、lt;/p><p><b>　　利用</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　以及（3.4.3）式和（3.4.4）式得</p><p><b>　　，</b></

69、p><p><b>　　。</b></p><p>　　4 雙曲型偏微分方程的應(yīng)用</p><p>　　下面我們運(yùn)用我們上面所提到的方法求解以下的定解問題[14-15]。</p><p>　　4.1 求解定解問題</p><p><b>　　解 令，得</b></p&g

70、t;<p><b>　　，.</b></p><p>　　利用邊界條件推知，。所以，對(duì)應(yīng)的特征值問題為</p><p><b>　　其全部特征值函數(shù)為</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　是全部特征值和對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)。將代入的方程解

71、出：</p><p>　　故所求問題的形式解是</p><p><b>　　。</b></p><p>　　利用初值條件，確定出系數(shù)：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　。</b></p><p>

72、;　　最后得出所求的形式解為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　4.2 設(shè)有長(zhǎng)為l，兩端固定張緊的弦，開始時(shí)在中點(diǎn)處把弦拉高h(yuǎn)后松手，讓弦自由振動(dòng)。求弦的位移。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　其中</b><

73、;/p><p>　　利用分離變量法，令 并將其代入方程，得</p><p><b>　　， 。</b></p><p>　　再由兩邊條件得 ，于是得定解問題所對(duì)應(yīng)的特征問題為</p><p><b>　　其全部特征值函數(shù)為</b></p><p><b>

74、　　， </b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　用 代入的方程，得</p><p><b>　　， </b></p><p><b>　　其解為</b></p><p><b>　　。&

75、lt;/b></p><p><b>　　故，求得</b></p><p><b>　　， </b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　再迭加，得問題的形式解為</p><p><b>　　。</b>

76、</p><p><b>　　由始界條件知， ，</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　所求的解為</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　4.3 求解定解問題&l

77、t;/p><p><b>　　。</b></p><p>　　解 對(duì)方程及初值條件關(guān)于施行Fourier變換，得</p><p><b>　　它的通解是</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　利用初值條件得，。于是</p

78、><p><b>　　。</b></p><p><b>　　差表知</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中常數(shù)。利用Fourier變換的對(duì)稱性質(zhì)得</p><p><b>　　.</b></p&

79、gt;<p>　　再利用Fourier逆變換的卷積性質(zhì)，有</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　5 結(jié)論</b></p><p>　　本文重點(diǎn)介紹了雙曲型偏微分方程的求解，讓我們初步了解分離變量法的求解思路及其過程的一些基本情況。正如所想，在諸如機(jī)械或電子振動(dòng)等物理現(xiàn)象建模過

80、程中，會(huì)自然產(chǎn)生常微分方程。如果一個(gè)現(xiàn)象涉及多個(gè)自變量函數(shù)時(shí)，就會(huì)導(dǎo)出偏微分方程。事實(shí)上，偏微分方程是描述諸如膜、桿、板等力學(xué)、均勻物體中的熱流、位勢(shì)理論、電池學(xué)、彈性力學(xué)等問題的基礎(chǔ)。這些方程的理論非常廣泛，涉及應(yīng)用數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域。本文研究雙曲型偏微分方程及其應(yīng)用。為求解這類方程，我們可以用分離變量法（已在3.1節(jié)予以介紹），這個(gè)強(qiáng)有力的方法可以使我們將新的多變量問題化為我們所熟悉的常微分方程。它的成功源自于函數(shù)可以用某些特殊函數(shù)展開

81、成級(jí)數(shù)這個(gè)事實(shí)。就是在這一點(diǎn)上，我們關(guān)于傅立葉級(jí)數(shù)的知識(shí)可以派上用場(chǎng)。該方法自然導(dǎo)出用傅立葉展開表示的解，傅立葉展開對(duì)這個(gè)方法的實(shí)現(xiàn)起著極其重要的作用。另外，還提到了達(dá)朗貝爾方法以及積分變換方法，這兩種方法也用它自己的特點(diǎn)來求解出定解問題。我們運(yùn)用分離變量方法解決雙曲型偏微分方程的這類問題，并運(yùn)用到實(shí)際的解釋如上文所述的應(yīng)用中，去解決一些實(shí)際的問題。 </p><p><b>

82、　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]林壽.文明之路—數(shù)學(xué)史演講錄[M].北京：科學(xué)出版社，2010.</p><p>　　[2]朱家生.數(shù)學(xué)史[M]. 北京：高等教育出版社，2001.</p><p>　　[3]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M]. 北京：高等教育出版社，2000. </p><p>　　[4]郭思旭[譯].O.

83、A.奧列尼克[著].偏微分方程講義[M]. 北京：高等教育出版社，2008.1.</p><p>　　[5]王明新.數(shù)學(xué)物理方程[M].北京.清華大學(xué)出版社，2005.8.</p><p>　　[6]國(guó)外數(shù)學(xué)名著系列.偏微分方程與數(shù)值方法[M].北京：科學(xué)出版社，2006.</p><p>　　[7]王明新.偏微分方程基本理論[M].北京：科學(xué)出版社，2009.&l

84、t;/p><p>　　[8]黃明游，劉播，徐濤.數(shù)值計(jì)算方法[M].北京：科學(xué)出版社，2006.1.</p><p>　　[9]姜禮尚，孔德興，陳志浩.應(yīng)用偏微分方程講義[M]. 北京：高等教育出版社2008.1.</p><p>　　[10]葛顯良[譯].[英]Harold Levine.偏微分方程[M]. 北京：高等教育出版社，2007.8.</p>

85、<p>　　[11]陳啟宏，張凡，郭凱旋[譯].[英]Dennis G.Zill, Michael R.Cullen.微分方程與邊界值問題[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.10.</p><p>　　[12]陳祖墀，宣本金[譯].[英]Nakhle H.Asmar,密蘇里大學(xué).偏微分方程教程[M].第2版. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.10.</p><p>　　[13

86、]David Gilbarg,Neil S.Trudinger. Elliptic partial Differential Equations of second order[M] .Springer-Verlag,1977.</p><p>　　[14]吳小慶.數(shù)學(xué)物理方程及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2008.</p><p>　　[15]譚永基，程晉，蔡志杰[譯].[英]Joh