論級(jí)數(shù)求和的解題策略[畢業(yè)論文]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　論級(jí)數(shù)求和的解題策略</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要: 在科研領(lǐng)域中，我們經(jīng)常需要研究如何求級(jí)數(shù)的和。因?yàn)榧?jí)數(shù)求和

3、的方法通常比較靈活且技巧性強(qiáng)，所以本文在閱讀大量文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,主要對(duì)級(jí)數(shù)求和的若干種方法經(jīng)行了綜述，如冪級(jí)數(shù)法、傅里葉級(jí)數(shù)法、微分方程法等。</p><p>　　關(guān)鍵詞： 級(jí)數(shù)；級(jí)數(shù)收斂；級(jí)數(shù)求和</p><p>　　On The Sum of Series Problem Solving Strategy </p><p>　　Abstract: In the

4、 field of scientific research , we often need to study how to find the summation of series .Because the method of series summation techniques are usually more flexible and strong, thus on the basis of reading extensive l

5、iterature, this article reviews several methods which were mainly to the series summation, such as power series method, Fourier series method, differential equation method and so on.</p><p>　　Key words: Ser

6、ies； Series Convergence； Summation of Series</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　1 引言1</b></p><p>　　2 級(jí)數(shù)求和的解題策略1</p><p>　　2.1根據(jù)收斂定義求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和1&

7、lt;/p><p>　　2.2利用冪級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和7</p><p>　　2.3利用傅里葉級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和10</p><p>　　2.4利用遞推公式求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和13</p><p>　　2.5利用微分方程求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和16</p><p>　　2.6通過(guò)求導(dǎo)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和17</p>&l

8、t;p>　　2.7利用差分求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和19</p><p>　　2.8利用概率組合求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和22</p><p>　　3 致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　4 參考文獻(xiàn)26</b></p><p><b>　　1 引言</b></p><p&

9、gt;　　級(jí)數(shù)理論是數(shù)學(xué)研究的重要對(duì)象，它不但在日常的生產(chǎn)、生活中都有廣泛的應(yīng)用，而且還是研究函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的有力工具。其中級(jí)數(shù)求和是級(jí)數(shù)理論的基本問(wèn)題之一，也是較難解決的問(wèn)題，因?yàn)槌缺燃?jí)數(shù)、等差級(jí)數(shù)等一些常見(jiàn)的特殊級(jí)數(shù)外，一般級(jí)數(shù)都難以求出它的部分和，所以級(jí)數(shù)求和的方法比較靈活，技巧性也比較強(qiáng)，因此懂得一些解題策略和掌握一些解題方法也就顯得尤為重要。</p><p>　　無(wú)窮級(jí)數(shù)出現(xiàn)的很早，往往都是出現(xiàn)

10、在對(duì)個(gè)別問(wèn)題的研究中。到了中世紀(jì)，無(wú)窮級(jí)數(shù)引起了當(dāng)時(shí)哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家的興趣。17世紀(jì)微積分誕生之后，無(wú)窮級(jí)數(shù)作為一種工具在數(shù)學(xué)的前進(jìn)中起到了巨大的推動(dòng)作用。為了把早期的微積分方法應(yīng)用于超越函數(shù)，常常需要把這些函數(shù)表示為可以逐項(xiàng)微分或積分的無(wú)窮級(jí)數(shù)，泰勒定理為此做出了貢獻(xiàn)。將函數(shù)展成無(wú)窮級(jí)數(shù)之后，人們又在考慮這個(gè)問(wèn)題的逆問(wèn)題，即級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題[1]。</p><p>　　現(xiàn)今數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)與研究中，無(wú)窮級(jí)數(shù)也是一個(gè)有

11、效工具，無(wú)窮級(jí)數(shù)求和更是一塊重要內(nèi)容，它促使數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)發(fā)展上進(jìn)行大膽的嘗試，雖然產(chǎn)生許多悖論，但使數(shù)學(xué)產(chǎn)生了很多分支，豐富了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展。經(jīng)過(guò)歷史的研究與發(fā)展，結(jié)合歷史上大量數(shù)學(xué)家的研究理論與所得結(jié)論。當(dāng)今學(xué)者還對(duì)級(jí)數(shù)問(wèn)題與級(jí)數(shù)求和問(wèn)題都做出了深入的考察與進(jìn)一步的探究，創(chuàng)造性地提出了許多級(jí)數(shù)求和的策略與方法。此外，發(fā)散級(jí)數(shù)在天文、物理上的廣泛應(yīng)用，更是推動(dòng)了人類發(fā)展的進(jìn)步。</p><p>　　2 級(jí)數(shù)求和的

12、解題策略</p><p>　　2.1根據(jù)收斂定義求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　定義1[2]：給定一個(gè)數(shù)列，對(duì)它的各項(xiàng)依次用“+”號(hào)連接起來(lái)的表達(dá)式</p><p><b>　　⑴</b></p><p>　　稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或無(wú)窮級(jí)數(shù)（也常簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)），其中稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴的通項(xiàng)。</p><p>

13、　　數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴也常寫作：或簡(jiǎn)單寫作.</p><p>　　數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴的前項(xiàng)和，記為</p><p><b>　　⑵</b></p><p>　　稱它為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴的第個(gè)部分和，也簡(jiǎn)稱部分和。</p><p>　　定義2[2]：若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴的部分和數(shù)列收斂于（即），則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴收斂，稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴的和，記作</p&g

14、t;<p><b>　　或</b></p><p>　　若是發(fā)散數(shù)列，則稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)⑴發(fā)散。</p><p><b>　　待定系數(shù)法</b></p><p>　　定義[3]：將一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個(gè)恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組，再通過(guò)解方程或方程

15、組便可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問(wèn)題的方法叫待定系數(shù)法。</p><p>　　其一般用法是，設(shè)某一多項(xiàng)式的全部或部分系數(shù)為未知數(shù)，利用兩個(gè)多項(xiàng)式恒等時(shí)同類項(xiàng)系數(shù)相等的原理或其它已知條件確定這些系數(shù)，從而得到待求的值。從更廣泛的意義上講，待定系數(shù)法是將某個(gè)解析式的一些常數(shù)看作未知數(shù)，利用已知條件確定這些未知數(shù)，使問(wèn)題得到解決的方法。求函數(shù)的表達(dá)式，把一個(gè)有理分式分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單分式的和，求

16、方程的級(jí)數(shù)形式的解等都可以用這種方法。</p><p>　　因此，對(duì)于某些形如的級(jí)數(shù)，其中為一關(guān)于的既約有理真分式，即可運(yùn)用待定系數(shù)法化為部分分式，然后將所有部分分式通分相加，所得分式的分母即為原分母，而其分子亦與原分子恒等，于是，按同冪項(xiàng)系數(shù)必定相等，得到一組關(guān)于待定系數(shù)的線性方程，這組方程的解即為所需確定的系數(shù)，從而得到我們所需的部分分式。</p><p>　　然后作適當(dāng)組合，如果恰能

17、使其組合成為若干個(gè)形如的收斂級(jí)數(shù)和，即使得級(jí)數(shù)部分和中有正、負(fù)項(xiàng)交差相消，那么便能很容易求得的最簡(jiǎn)表達(dá)式，求極限后即得數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和[4]。</p><p><b>　　例1求級(jí)數(shù)的和</b></p><p><b>　　解：令</b></p><p><b>　　解得，</b></p>

18、<p><b>　　即</b></p><p><b>　　錯(cuò)位相減法</b></p><p>　　錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，常用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式，形如（其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列）。我們可列出數(shù)列的和，再把所有式子同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比，即，然后錯(cuò)一位，兩式相減即可[5]。</p><p

19、>　　對(duì)于某些形如的級(jí)數(shù)（其中為等差級(jí)數(shù)，為等比級(jí)數(shù)），為求級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和，即可運(yùn)用錯(cuò)位相減法先求的和（為適當(dāng)系數(shù)），化簡(jiǎn)后即可得到所要求的.</p><p><b>　　即令，則，因此，</b></p><p>　　則，（為常數(shù)且），再對(duì)求極限即可得到數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　例2求級(jí)數(shù)的和 （）</p>&l

20、t;p>　　解：因?yàn)?（1）</p><p>　　則 （2）</p><p><b>　?、?⑵得</b></p><p><b>　　所以 ，</b></p><p><

21、b>　　得 </b></p><p>　　所以得所求級(jí)數(shù)的和</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　公式法</b></p><p>　?、爬檬煜さ牡炔睢⒌缺葦?shù)列求和</p><p><b>　　我們已

22、經(jīng)知道：</b></p><p>　?、僖詾槭醉?xiàng), 為公差的等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式，且如果代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，也可用首項(xiàng)與公差表示，即.</p><p>　　②以為首項(xiàng), 為公比的等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式（），</p><p>　　又因?yàn)椋陨厦娴墓娇梢詫懗桑ǎ?，但?dāng)時(shí)，.</p><p>　　對(duì)于某些通過(guò)變形后可以化為熟悉

23、的等差、等比數(shù)列的級(jí)數(shù)，我們就可以運(yùn)用等差、等比數(shù)列的求和公式直接求級(jí)數(shù)的和。</p><p><b>　　例3求的和</b></p><p><b>　　解：依級(jí)數(shù)的性質(zhì)有</b></p><p><b>　　原級(jí)數(shù)</b></p><p><b>　　⑵利用三

24、角公式求和</b></p><p>　　我們已經(jīng)熟練掌握兩角和與差的三角公式，如；；.</p><p>　　因此，為求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和，我們可以靈活運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)，將數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)做適當(dāng)變形，若恰好能化為我們熟悉的三角函數(shù)，那么運(yùn)用我們熟悉的三角公式便可以較容易得到我們所要求的前項(xiàng)和，再對(duì)求極限即可得到數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　例4求

25、的和 </p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　由知 ，</b></p><p><b>　　若令</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　其中<

26、;/b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　?、抢脷W拉公式求和</b></p><p>　　在復(fù)數(shù)域上我們把稱為歐拉公式，其中是自然對(duì)數(shù)的底，是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。</p><p>　　因此，在實(shí)數(shù)域上我們

27、通常運(yùn)用一般三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化后求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，如上例；而在復(fù)數(shù)域上我們往往還可運(yùn)用歐拉公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化來(lái)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和[6]。</p><p>　　為了求某些形如，，的級(jí)數(shù)，我們可以利用歐拉公式，</p><p><b>　　令，則，</b></p><p><b>　　因此</b></p><p>&

28、lt;b>　　所以，.</b></p><p>　　例5求級(jí)數(shù)，（已知）</p><p><b>　　解：令，，則</b></p><p>　　所以代入歐拉公式得：</p><p>　　2.2利用冪級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　定義[2]：由冪級(jí)數(shù)列所產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)級(jí)

29、數(shù)</p><p><b>　　稱為冪級(jí)數(shù)。</b></p><p>　?。ㄎ覀冎饕懻摦?dāng)，即的情形）</p><p>　　為求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和級(jí)數(shù)的和，我們可以找一個(gè)適當(dāng)?shù)膬缂?jí)數(shù)，使收斂域內(nèi)某一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)恰好為所要求的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，則可以借助冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，即求出冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則便為所要求的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和[7]。</

30、p><p>　　但由于通常情況下不能直接找到適當(dāng)冪級(jí)數(shù)，因此首先應(yīng)該根據(jù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特點(diǎn)，再結(jié)合收斂級(jí)數(shù)的某些性質(zhì)，如某些已知冪函數(shù)的和函數(shù)，即利用一些常見(jiàn)的初等函數(shù)，如：，，，，的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式等構(gòu)造冪級(jí)數(shù)，再利用收斂級(jí)數(shù)逐項(xiàng)加減的性質(zhì)或者逐項(xiàng)微分、逐項(xiàng)積分求得，最后求得</p><p>　　一、利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　為求某些級(jí)數(shù)的和我們可

31、找一個(gè)適當(dāng)?shù)膬缂?jí)數(shù)，并借助此冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和，但通常情況下不能直接找到適當(dāng)冪級(jí)數(shù)。因此首先應(yīng)觀察所給級(jí)數(shù)，將其構(gòu)造成我們熟悉的冪級(jí)數(shù)，并利用此冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　利用的展開(kāi)式求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　我們知道初等函數(shù)的展開(kāi)式為，必要時(shí)我們可將其變形，再利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)即可求得有關(guān)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　

32、　例6求級(jí)數(shù)的和求級(jí)</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　考慮： </b></p><p><b>　　同理: </b></p><p>　　利用，的展開(kāi)式求級(jí)數(shù)的和</p><p>　　我們知道三角函數(shù)

33、，的展開(kāi)式分別為</p><p><b>　　，</b></p><p>　　必要時(shí)我們可以將其變形，再代入特殊點(diǎn)即可求得有關(guān)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　例7求級(jí)數(shù)的和 </p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　， <

34、/b></p><p><b>　　， </b></p><p>　　二、構(gòu)造冪級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)的和</p><p>　　求一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)不是一件簡(jiǎn)單的事，技巧性較強(qiáng)，因此在求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)時(shí)，有時(shí)我們也可以利用逐項(xiàng)微分或逐項(xiàng)積分的方法來(lái)得到。</p><p>　　例8求冪級(jí)數(shù) 的和</p><

35、;p>　　解：令 逐項(xiàng)微分得：</p><p><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　所以得 </b></p><p><b>　　積分得</b></p><p><b>　　于是得</b></p><p>

36、　　2.3利用傅里葉級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　利用函數(shù)的傅里葉展開(kāi)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)很難直接找規(guī)律求出其和，但通過(guò)尋找某函數(shù)，利用傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理將其展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，便可很容易求得此數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理[2]：若以為周期的函數(shù)在上按段光滑，則在每一點(diǎn)，的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于在點(diǎn)的左、右極限

37、的算數(shù)平均值，即,其中，為的傅里葉系數(shù)。</p><p>　　例9將函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，并由此求以下數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p><b>　?。?） （2）</b></p><p><b>　?。?）（4）</b></p><p>　　解：顯然是按段光滑的，在[]上滿足收斂定理?xiàng)l件，<

38、/p><p>　　所以它可以展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)</p><p><b>　　又</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　取，則</b></p><p><b>　　令 ；</b></p>

39、<p><b>　?。?</b></p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　，，</b></p><p>　　利用函數(shù)奇（偶）延拓后正弦（余弦）的展開(kāi)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可以通過(guò)尋找某函數(shù)，并將此函數(shù)經(jīng)奇

40、（偶）延拓后展開(kāi)成正弦（余弦）級(jí)數(shù)，再將某些指定點(diǎn)代入展開(kāi)式中便可很容易求得所要求的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　注[2]：①設(shè)是以為周期的偶函數(shù)，或是定義在上的偶函數(shù)，則在上， 是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，因此的傅里葉系數(shù)是：</p><p>　　于是的傅里葉級(jí)數(shù)只含有余弦函數(shù)的項(xiàng)，即</p><p>　　此式右邊的級(jí)數(shù)稱為余弦級(jí)數(shù)；</p><

41、p>　　同理： 若是以為周期的奇函數(shù)，或是定義在上的奇函數(shù)，則可推得</p><p>　　所以當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，它的的傅里葉級(jí)數(shù)只含有正弦函數(shù)的項(xiàng)，即</p><p>　　此式右邊的級(jí)數(shù)即稱為正弦級(jí)數(shù)。</p><p>　?、?若，則偶函數(shù)所展開(kāi)成的余弦級(jí)數(shù)為</p><p><b>　　，其中</b></p&g

42、t;<p>　　當(dāng)且為奇函數(shù)時(shí)，則它展開(kāi)成的正弦級(jí)數(shù)為</p><p><b>　　，其中</b></p><p>　　在實(shí)際問(wèn)題中常需先把定義在上的函數(shù)作偶延拓或奇延拓到上，然后求延拓后函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。</p><p>　　例10將函數(shù)在區(qū)間內(nèi)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)，并由展開(kāi)式求下列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p&g

43、t;　　解：因?yàn)檎归_(kāi)成正弦級(jí)數(shù)，則有 </p><p><b>　　取，則</b></p><p>　　2.4利用遞推公式求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　一、利用已知恒等式，如函數(shù)函數(shù)，華利斯公式等求級(jí)數(shù)的和[8]</p><p>　　對(duì)于大量的一般級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，在確定它收斂后，要求出它的和還是很困難，我們往往很

44、希望所給的級(jí)數(shù)恰好能構(gòu)成我們已知的一些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，如等差、等比數(shù)列等，則利用等差、等比數(shù)列的求和公式便可很容易求得所給級(jí)數(shù)的和，當(dāng)然，除此之外已知的一些公式如函數(shù)、函數(shù)、華利斯公式等，也都可以作為求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和時(shí)的已知恒等式，現(xiàn)舉例如下：</p><p>　　定義[2]：含參量積分：；</p><p>　　在應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)，它們統(tǒng)稱為歐拉積分，其中前者又稱為Gamma函數(shù)（或?qū)懽骱瘮?shù)），后

45、者稱為Beta函數(shù)（或?qū)懽骱瘮?shù)）。</p><p>　　且對(duì)于任何正實(shí)數(shù)有，.</p><p><b>　　例11求</b></p><p><b>　　解：利用恒等式</b></p><p><b>　　并注意到：對(duì)，有</b></p><p>　　

46、用這個(gè)方法可以得到以下一些級(jí)數(shù)和：</p><p><b>　　例12求</b></p><p>　　解：由奇數(shù)冪的華利斯公式得：</p><p><b>　　因而=</b></p><p><b>　　同時(shí)</b></p><p>　　二、通過(guò)推導(dǎo)證

47、明得到的一些固定的有趣的求和公式求級(jí)數(shù)的和[9]</p><p>　　除了已知的一些常見(jiàn)公式如函數(shù)函數(shù)，華利斯公式等可以作為求某些級(jí)數(shù)和時(shí)的已知恒等式，通過(guò)推導(dǎo)證明還能得到的一些固定的有趣的求和公式，便于我們直接用來(lái)求級(jí)數(shù)的和。</p><p><b>　　典型例子如下：</b></p><p>　　公式1：若為自然數(shù)，則</p>

48、<p><b>　　證明：</b></p><p>　　特例：當(dāng)公式1中時(shí)得：</p><p>　　推廣得公式2： 若為自然數(shù)同理可得，則</p><p><b>　　例13計(jì)算</b></p><p>　　解：令，,應(yīng)用公式2得：</p><p><b&

49、gt;　　原式</b></p><p>　　公式3： </p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　　例14證明 </b></p><p>　　證明：令應(yīng)用公式3得：</p><p>　　公式4：

50、若為自然數(shù)，則</p><p><b>　　證明 ：</b></p><p>　　同理可證得公式5：若為自然數(shù)，則</p><p>　　例15 計(jì)算 </p><p>　　解：應(yīng)用公式5，令，，, </p><p><b>　　原式.</b></p>

51、<p>　　2.5利用微分方程求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　級(jí)數(shù)求和的方法很多，利用微分方程求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和也不失為一種好方法，即為求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和可通過(guò)一個(gè)引進(jìn)的輔助的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)構(gòu)造級(jí)數(shù)所滿足的微分方程，然后解這個(gè)微分方程就可得到所要求的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和[10]。</p><p>　　下面就某一熟悉的級(jí)數(shù)為例，來(lái)說(shuō)明利用微分方程求和的思想方法。</p><

52、;p><b>　　例16求級(jí)數(shù)的和</b></p><p>　　解：易知該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,故在內(nèi)極數(shù)處處收斂，且可逐項(xiàng)求導(dǎo)，</p><p>　　令，對(duì)逐項(xiàng)求導(dǎo)得：</p><p>　　又當(dāng)時(shí)，解一階段微分方程得： </p><p><b>　　即</b></p><

53、p>　　2.6通過(guò)求導(dǎo)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和[11]</p><p>　　定義1[12]：算子是表示一種對(duì)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)。如同普通的運(yùn)算符號(hào)作用于數(shù)后可以得到新的數(shù)那樣，一個(gè)算子作用于一個(gè)函數(shù)后可以根據(jù)一定的規(guī)則生成一個(gè)新的函數(shù)。</p><p>　　定義2[12] ：設(shè)，是兩個(gè)線性空間，是的一個(gè)線性子空間，是一種映射，稱為的定義域，有時(shí)記做，為的值域，若（），那么稱是一個(gè)線性算子。<

54、/p><p>　　定義3：設(shè)為的任意次可導(dǎo)函數(shù)，為的多項(xiàng)式算子，</p><p>　　則規(guī)定如下：⑴ ，</p><p><b>　　……</b></p><p><b>　?、?為常數(shù)，</b></p><p>　　性質(zhì)1：和都是線性算子，即⑴；</p>

55、<p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　　其中為常數(shù)。</b></p><p>　　性質(zhì)2：設(shè)則 </p><p>　?。á。?⑴</p><p>　?。áⅲ?⑵</p>&l

56、t;p>　　定理：設(shè)，（為任意自然數(shù)），其收斂半徑，</p><p>　　則對(duì)任意多項(xiàng)式和有： ⑶</p><p>　　推論1： 設(shè)的收斂半徑,為任意多項(xiàng)式，</p><p>　　則級(jí)數(shù)收斂，且 ⑷ </p><p>　　推論2：設(shè)的收斂半徑，為任意多項(xiàng)式，</p><p>　　則級(jí)數(shù)收斂，

57、且 ⑸</p><p>　　下面舉例說(shuō)明上述結(jié)論的應(yīng)用</p><p>　　例17求下列級(jí)數(shù)之和</p><p><b>　?、?②</b></p><p><b>　　解：因 ，</b></p><p><b>　　故可取，取，</b&

58、gt;</p><p>　　則利用推論1，即⑷式即得：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　同理：利用推論2，即⑸式得：</p><p>　　綜上所訴，利用多項(xiàng)式導(dǎo)算子計(jì)算級(jí)數(shù)和的方法，一般適用于下列級(jí)數(shù)：</p><p>　　冪級(jí)數(shù)滿足它的通項(xiàng)系數(shù)能分解為：其中是某函數(shù)在

59、原點(diǎn)展開(kāi)的Taylor級(jí)數(shù)的通項(xiàng)系數(shù)，為多項(xiàng)式，此時(shí)可取，且有 ⑹</p><p>　　當(dāng)然，如果數(shù)值級(jí)數(shù)它的通項(xiàng)能分解為：，c為常數(shù)，為任意多項(xiàng)式，為某函數(shù)在原點(diǎn)展開(kāi)的Taylor級(jí)數(shù)的通項(xiàng)系數(shù)，且其收斂半徑,則也能利用多項(xiàng)式導(dǎo)算子計(jì)算此級(jí)數(shù)的和，且此時(shí)可取,且</p><p>　　有 ⑺</p><p>　

60、　2.7利用差分求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和的方法較為靈活，某些級(jí)數(shù)很難找到一般思路來(lái)求它的和，下面通過(guò)介紹差分的定義及性質(zhì)，引入求一般項(xiàng)級(jí)數(shù)與某些系數(shù)為多項(xiàng)式的冪級(jí)數(shù)的和的新方法。</p><p>　　定義[13]：設(shè)數(shù)列，稱為數(shù)列的一階差分。</p><p>　　性質(zhì)[13]：：設(shè)已知數(shù)列和，則</p><p>　　

61、⑴線性性質(zhì)：若、為常數(shù)，則有</p><p><b>　?、瞥朔e性質(zhì)：</b></p><p><b>　?、欠植啃再|(zhì)：</b></p><p>　　一、利用差分的性質(zhì)求一般數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p><b>　　例18求的和</b></p><p>

62、;<b>　　解：設(shè)因</b></p><p><b>　　則（其中）</b></p><p><b>　　由差分性質(zhì)⑶</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　將，，，，，等代入表達(dá)式即得</p><p&g

63、t;<b>　　即</b></p><p>　　二、利用差分的性質(zhì)求系數(shù)為多項(xiàng)式的級(jí)數(shù)的和</p><p>　　對(duì)于大部分級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，其求和問(wèn)題方法多、技巧強(qiáng)，但對(duì)于任何一個(gè)冪級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，只要它的系數(shù)可表達(dá)為項(xiàng)數(shù)的代數(shù)多項(xiàng)式，略為改寫后我們就可以毫無(wú)困難地求出它的和。</p><p>　　下面就某一收斂半徑為正的冪級(jí)數(shù)進(jìn)行考察。</p>

64、<p>　　若是具有正的收斂半徑的冪級(jí)數(shù)，那么就有</p><p>　　在這里于是可得[14]：</p><p><b>　?。ㄆ渲校?lt;/b></p><p>　　如果，而且，為的定義域，我們可得：，</p><p><b>　　于是就有</b></p><p&g

65、t;<b>　　亦即：</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　類推之，令</b></p><p><b>　　，（）</b></p><p>　　對(duì)級(jí)數(shù) 應(yīng)用公式（1）我們可得</p><p&g

66、t;<b>　　于是就有：</b></p><p>　　把這過(guò)程連續(xù)重復(fù)次我們就可得到：</p><p><b>　　也就是：</b></p><p><b>　?。?） ，</b></p><p>　　在這里我們定義 ，現(xiàn)在假設(shè)為一個(gè)次數(shù)不大于的多項(xiàng)式，</p>

67、;<p>　　則 </p><p>　　注意到級(jí)數(shù) 的收斂半徑為1，根據(jù)（2）式可得：</p><p><b>　?。?）|x|<1</b></p><p>　　例19,|x|<1</p><p><b>　　解： 這里 </b></p>

68、;<p><b>　　應(yīng)用公式（3）得：</b></p><p>　　2.8利用概率組合求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和</p><p>　　為求某些級(jí)數(shù)的和，我們還可以很巧妙地運(yùn)用概率知識(shí)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ?，再運(yùn)用概率論的有關(guān)性質(zhì)、公式、結(jié)論和數(shù)學(xué)特征，計(jì)算出所構(gòu)造模型中相關(guān)事件的概率，進(jìn)而推導(dǎo)出某些組合恒等式來(lái)求得級(jí)數(shù)的和；還可以對(duì)組合數(shù)公式進(jìn)行深入探討，得到新的性

69、質(zhì)并通過(guò)對(duì)其恒等式的變形來(lái)求得級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　一、概率在數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和中的應(yīng)用[15]</p><p>　　某些無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題，有時(shí)不論是用初等方法還是用分析方法等都有相當(dāng)?shù)睦щy。但是，如果我們轉(zhuǎn)換角度，另僻解題門徑，利用概率計(jì)算的基本方法，構(gòu)造相應(yīng)的概率模型，往往可期望獲得“柳暗花明”的功效。</p><p>　　例20證明無(wú)窮級(jí)數(shù)</p

70、><p><b>　　的和為</b></p><p>　　證明：建立下面的概率模型：</p><p>　　設(shè)袋中有紅、白各一個(gè)球（大小型號(hào)相同），現(xiàn)有放回地抽取兩次，每次抽一個(gè)球。如果兩次取出的都是紅球，就“中獎(jiǎng)”；倘若失敗，則必須在袋中再添加一個(gè)同型號(hào)的白球后，再試驗(yàn)取兩次，如果取到兩次紅球，算“中獎(jiǎng)”；但如果仍失敗，則繼續(xù)于袋中添加一個(gè)同型號(hào)白

71、球，如此連續(xù)進(jìn)行，以至無(wú)窮，試計(jì)算“中獎(jiǎng)”的概率。</p><p>　　設(shè)：“第回中獎(jiǎng)”（ ），：“中獎(jiǎng)”</p><p><b>　　則，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><

72、b>　　……</b></p><p>　　可見(jiàn)，求原級(jí)數(shù)的和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算在所設(shè)模型下“中獎(jiǎng)“的概率。</p><p>　　利用逆概率知識(shí)，可知在各回不同摸球中失敗概率依次為：</p><p>　　此無(wú)窮級(jí)數(shù)前項(xiàng)部分和極限，即</p><p>　　二、利用組合數(shù)公式求級(jí)數(shù)的和[16]</p><p>

73、　　對(duì)于某一類形式較特殊的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，我們還可以通過(guò)對(duì)組合數(shù)公式進(jìn)行深入探討，來(lái)得到新性質(zhì)并通過(guò)對(duì)其恒等式變形，來(lái)求得此類數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　定義：組合數(shù)也叫二項(xiàng)式系數(shù)，對(duì)于任何的整數(shù)和（），有</p><p>　　性質(zhì)1： n,，k為正整數(shù)</p><p>　　性質(zhì)2： n,，k為正整數(shù)</p

74、><p>　　由性質(zhì)1、2可得等式：， </p><p><b>　　證明：.</b></p><p>　　推廣得，某些形如的級(jí)數(shù)之和的求法如下：</p><p>　　首先求級(jí)數(shù)的前項(xiàng)部分和</p><p><b>　　所以 </b></p><p>

75、;　　可看出這種數(shù)列的通項(xiàng)，其部分和 </p><p>　　所以是由通項(xiàng)的組合表達(dá)式符號(hào)“”的上下加1而得到的，再對(duì)部分和求極限即可求得此類級(jí)數(shù)的和。</p><p>　　例21求級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　由，則</b></p>

76、;<p><b>　　4 參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] [美]莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第二冊(cè)）[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2002:199-202.</p><p>　　[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編. 數(shù)學(xué)分析（第三版）[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001.</p><p>　　[3]

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