微分的逆運算問題－不定積分

1、微分的逆運算問題－不定積分,歐陽順湘北京師范大學珠海分校,§1 原函數(shù)與不定積分,§1.1 原函數(shù)與不定積分的概念§1.2 基本積分公式§1.3 不定積分的線性運算法則,§1.1 原函數(shù)與不定積分的概念,不定積分微分的逆運算,微分問題,已知作勻加速直線運動的物體的位移S(t)，求速度.,積分問題,已知作勻加速直線運動的物體的速度v(t)，求位移. 即已知 求 S=S

2、(t) 使得,積分問題,已知作勻加速直線運動的物體的速度v(t)，求位移. 即已知 求 S=S(t) 使得,這樣的函數(shù)有,或,一般問題,在實際中，常常有這樣的問題： 要找一個函數(shù)，它關于自變量 x 的變化速度對于任何 x 的值都是已知的,例：放射性衰減,放射性物質(zhì)的總量 p＝f(t) (時間 t 的函數(shù)) 減少的速率都同這一時刻存在的物質(zhì)總量成正比。這

3、一點是可以想象的，因為每一部分物質(zhì)減少速度同其它每一部分物質(zhì)是一樣的。,例：放射性衰減的數(shù)學模型,放射性物質(zhì)的總量 p＝f(t) (時間 t 的函數(shù)) 減少的速率都同這一時刻存在的物質(zhì)總量成正比。,放射性衰減模型中的參數(shù),k: 減少的速率都同該時刻存在的物質(zhì)總量的比例,p_0=f(0): 初始時刻物質(zhì)總量,k 的計算 與 半衰期,在一定時間τ以后，放射性物質(zhì)將減少到其初始總

4、量的一半， τ即所謂的半衰期。,,一般，各種放射性元素的半衰期是已測定的，從而k也是確定的,生物體年齡測定的原理,碳14是放射性物質(zhì)，隨時間而衰減，碳12是非放射性物質(zhì)。活性人體因吸收食物和空氣，恰好補償碳14衰減損失量而保持碳14和碳12的含量不變，因而所含碳14與碳12之比為常數(shù)。,生物體年齡的測定,碳14是放射性物質(zhì)，隨時間而衰減，碳12是非放射性物質(zhì)?；钚匀梭w因吸收食物和空氣，恰好補償碳14衰減損失量而保持碳14和碳12的含量不

5、變，因而所含碳14與碳12之比為常數(shù)。已測定一古墓中遺體所含碳14的數(shù)量為原有碳14含量的80％。求遺體的死亡年代。,回到：一般問題,要找一個函數(shù)，它關于自變量 x 的變化速度對于任何 x 的值都是已知的,定義,即,如:,是,的一個原函數(shù),是,的一個原函數(shù),是,的一個原函數(shù),Table of Basic Antiderivatives,,Each function F(x): (a,b) ?? that verifies ?

6、x?(a,b) F’(x) = f(x)is called an Primitive funtion of f(x) on (a,b).,原函數(shù)的一般研究,存在性：什么函數(shù)的原函數(shù)存在？有多少：如果不只一個，那么各個原函數(shù)之間有什么聯(lián)系？,存在性,定理1：如果函數(shù) f(x) 在區(qū)間 I 上連續(xù)，則 f(x) 在 I 上存在原函數(shù)。（作為以后的定理的推論）,存在性,初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上存在原函數(shù),有多少－無窮多,定

7、理2 設 F(x) 是 f(x) 在區(qū)間 I 上的一個原函數(shù)，則F(x)+C也是f(x)的一個原函數(shù)，其中C為任意常數(shù),原函數(shù)的結構,定理2 設 F(x) 是 f(x) 在區(qū)間 I 上的一個原函數(shù)，則F(x)+C也是f(x)的一個原函數(shù)，其中C為任意常數(shù)f(x)的任意兩個原函數(shù)之間相差一個常數(shù),如果知道一個原函數(shù)F,F＋C也是原函數(shù) 其它原函數(shù)一定是 F+某個常數(shù),Table of Basic Antiderivatives,定

8、義,則,稱為,在開區(qū)間,內(nèi)的,記為,即,積分符號,被積函數(shù),積分變量,被積表達式,不定積分,,,C 積分常數(shù),The Indefinite Integral,,不定積分的幾何意義：,,,,,,,,,積分曲線：,的一個原函,數(shù)的圖形．,積分曲線族：,在積分曲線族上橫坐標相同的點處作切線彼此是平行的．,例,設曲線通過點（0，0），且曲線上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標的余弦值，求此曲線.,例,設曲線通過點（0，0），且曲線上任一點處的

9、切線斜率等于該點橫坐標的余弦值，求此曲線. 解：設所求曲線為 y=f(x), 有下面的微分方程：,基本積分公式,求導公式與積分公式相對應,Table of Indefinite Integrals,Table of Indefinite Integrals,Hint,,不定積分的線性運算法則,先補充兩個基本規(guī)則<－微分與不定積分互為逆運算的體現(xiàn),線性運算法則 I,線性運算法則 II,例2,例3,例4,Exercise,P94 1