直角坐標(biāo)系-武漢理工大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)

1、大學(xué)物理,主講：廖 紅 liaohong@whut.edu.cn,網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)使用說明：,武漢理工大學(xué)教務(wù)處主頁,,（左上，登錄）,,,（點(diǎn)擊：左下“申請(qǐng)選課”）,,,教學(xué)互動(dòng),網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái) 物理在線考試系統(tǒng),大學(xué)物理（上）教學(xué)內(nèi)容,力 學(xué),第一篇,（Mechanics）,經(jīng)典力學(xué)　研究宏觀物體低速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律， 理論基礎(chǔ)是牛頓運(yùn)動(dòng)定律。,力學(xué)　是研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的科學(xué)。,機(jī)械運(yùn)動(dòng) ( M

2、echanical Motion ) 　是指物體之間或物體各部分之間的相對(duì)位置發(fā)生變化的運(yùn)動(dòng)。,1．什么是力學(xué),根據(jù)研究對(duì)象的不同，力學(xué)又可分為：質(zhì)點(diǎn)力學(xué)和剛體力學(xué)。,2．力學(xué)的分類,3．?dāng)?shù)學(xué)工具 —— 微積分和矢量,運(yùn)動(dòng)學(xué)（Kinematics） 研究物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律；動(dòng)力學(xué)（Dynamics ） 研究物體運(yùn)動(dòng)的原因；,物體位置總是伴隨著時(shí)間的流逝而連續(xù)地變動(dòng)。因而，可用有關(guān)連續(xù)函數(shù)的數(shù)學(xué)理論:微分、積分學(xué)作為工具來研

3、究物體的運(yùn)動(dòng)。,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究質(zhì)點(diǎn)位置隨時(shí)間而改變的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論。,本章主要內(nèi)容有：基本概念：參考系、坐標(biāo)系、質(zhì)點(diǎn)、剛體基本物理量：位置矢量、位移、速度、加速度等幾種運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)、拋體運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)等兩類基本問題：微分問題、積分問題,第1章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué),主要教學(xué)內(nèi)容：,1.1 參照系 坐標(biāo)系 物理模型 1.2 描述運(yùn)動(dòng)的物理量 1.3 坐標(biāo)系的運(yùn)用 1.4 運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問題 1

4、.5 相對(duì)運(yùn)動(dòng),（學(xué)時(shí)：6）,§1.1 參考系 坐標(biāo)系 物理模型,,,,,,,,,,,§1.1 參考系 坐標(biāo)系 物理模型,,,,,,,,,,選取的參考系不同，對(duì)物體運(yùn)動(dòng)情況的描述不同，這就是運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性。,為描述物體的運(yùn)動(dòng)而選擇的標(biāo)準(zhǔn)物叫做參照系。,1.1.1　參照系（Reference System）,1.1.2 坐標(biāo)系（Coordinate System）,引入坐標(biāo)系的必要性： 定

5、量地描述物體相對(duì)于參照系的運(yùn)動(dòng)。,物理學(xué)中常用的坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系等,,,,研究某一物體的運(yùn)動(dòng)，如果可以忽略其大小和形狀，或者不涉及物體的轉(zhuǎn)動(dòng)和形變，就可以把物體當(dāng)作是一個(gè)具有質(zhì)量的點(diǎn)（即質(zhì)點(diǎn)）。,1.1.3　物理模型,可以將物體簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的兩種情況：,（1） 物體不變形，不作轉(zhuǎn)動(dòng)（平動(dòng)）。,（2） 物體本身線度和它活動(dòng)范圍相比小得很多。,1）質(zhì)點(diǎn)（Particle， Mass Point）,R地球 &

6、#187; 6.4×102km,地球繞太陽公轉(zhuǎn)時(shí)地球可視一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。,研究地球的自轉(zhuǎn)問題時(shí)，就不能把地球看作質(zhì)點(diǎn)。,,,,剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。,2） 剛體 （Rigid Body ）,剛體也可定義為：　　在運(yùn)動(dòng)過程中物體內(nèi)部任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變的物體。,強(qiáng)調(diào)：質(zhì)點(diǎn)和剛體都是理想的模型，都是實(shí)際物體在一定條件下的抽象。,即：剛體是一個(gè)內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)相對(duì)位置保持不變的質(zhì)點(diǎn)系。,,,,§

7、;1.2 描述運(yùn)動(dòng)的物理量,,,運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一個(gè)問題就是描述質(zhì)點(diǎn)的空間位置。,選擇參照系，,選擇一個(gè)參照點(diǎn)，標(biāo)記為O。,連接O 與此時(shí)被考察質(zhì)點(diǎn)的位置P,1 ） 位置矢量 （Position Vector ),,*,位矢 的大小為,確定質(zhì)點(diǎn)P某一時(shí)刻在坐標(biāo)系里的位置的物理量稱位置矢量, 簡(jiǎn)稱位矢 。,式中 、 、 分別為 x、y、z 方向的單位矢量。,(x, y, z),1.2.1 位矢和運(yùn)動(dòng)方程,,在直角坐

8、標(biāo)系中：,,位矢 的方向余弦：,P,2） 運(yùn)動(dòng)方程,,,運(yùn)動(dòng)方程：質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系。,cos2 ? + cos2 ? + cos2 ? = 1,它包含了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的全部信息。,例：斜拋運(yùn)動(dòng),分量（投影）式：,例: 勻速率圓周運(yùn)動(dòng)：,從中消去參數(shù) 得軌跡方程。,在直角坐標(biāo)系中，運(yùn)動(dòng)方程為：,1） 位移（Displacement ）,,,,,1.2.2 位移和速度,,,?S,,位移的大小為：,若質(zhì)點(diǎn)

9、在三維空間中運(yùn)動(dòng)，則在直角坐標(biāo)系 中其位移為：,路程（ ）：質(zhì)點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度。,,A) 確切反映物體在空間位置的變化, 與路徑無關(guān)，只決定于質(zhì)點(diǎn)的始末位置。,B）反映了運(yùn)動(dòng)的矢量性,,,,,,,,,,2） 速度（Velocity ）,（1）平均速度,在 時(shí)間內(nèi), 質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) B, 其位移為,時(shí)間內(nèi), 質(zhì)點(diǎn)的平均速度：,平均速率：,是標(biāo)量。,顯然：,（2） 瞬時(shí)速度（I

10、nstantaneous Velocity ）,當(dāng) 時(shí)平均速度的極限值叫做瞬時(shí)速度, 簡(jiǎn)稱速度。,方向：為 的極限方向,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí), 質(zhì)點(diǎn)在某一點(diǎn)的速度方向就是沿該點(diǎn)曲線的切線方向。,質(zhì)點(diǎn)在三維空間中運(yùn)動(dòng)，其速度為：,在直角坐標(biāo)中：,速度的大小為：,,,速度 的大小為：,當(dāng) 時(shí),,，,瞬時(shí)速率為 ?t → 0 時(shí)平均速率的極限，簡(jiǎn)稱速率。,

11、速度的大小等于速率！,例： 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 其中求：1） 時(shí)的速度。2） 質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。,解： 1）由題意可得速度分量分別為：,速度 與 軸之間的夾角：,速度的大小為：,（2） 運(yùn)動(dòng)方程：,,由運(yùn)動(dòng)方程消去參數(shù) 可得軌跡方程為：,,,1） 平均加速度,,與 同方向。,單位時(shí)間內(nèi)的速度增量即

12、平均加速度。,2）（瞬時(shí)）加速度,1.2.3 加速度（Acceleration）,加速度的方向：?t?0時(shí)速度增量的極限方向； 在曲線運(yùn)動(dòng)中，總是指向曲線的凹側(cè)。,,加速度大小為：,在直角坐標(biāo)系中，加速度的表示式為：,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)兩類基本問題,一、 由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可以求得質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的位矢、速度和加速度；,二、 已知質(zhì)點(diǎn)的加速度以及初始速度和初始位置, 可求質(zhì)點(diǎn)速度及其運(yùn)動(dòng)方程 。,一、 已知質(zhì)點(diǎn)

13、的運(yùn)動(dòng)方程，可以求得質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的位矢、速度和加速度；,二、 已知質(zhì)點(diǎn)的加速度以及初始速度和初始位置, 可求質(zhì)點(diǎn)速度及其運(yùn)動(dòng)方程 。,例：一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為一常量 a0 ，已知在 t = 0 時(shí)刻，x = x0， v = v0，試求：1）速度與時(shí)間的關(guān)系；2）位置與時(shí)間的關(guān)系；3）速度與位置的關(guān)系。,解：1）,,2）,注意：這都是勻加速直線運(yùn)動(dòng)公式，它們不具有一般意義！,（變量變換）,（分離變量）,（兩邊同時(shí)積分

14、）,3）,例：質(zhì)點(diǎn)沿 x 軸作直線運(yùn)動(dòng)，加速度 a = 2t 。t = 0 時(shí)， x = 1m，v = 0，求：任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和位置。,解：,質(zhì)點(diǎn)作非勻加速的運(yùn)動(dòng)。,,積分：,即有：,可得：,§1.3 坐標(biāo)系的運(yùn)用,1.3.1　直角坐標(biāo)系,1.3.2　自然坐標(biāo)系,,,——切向單位矢量,——法向單位矢量,,s,速度方向?yàn)榍邢蜃鴺?biāo)方向；指向曲率中心的方向?yàn)榉ㄏ蜃鴺?biāo)方向（與速度的方向垂直）。,O.,在已知運(yùn)動(dòng)軌道

15、上任取一參照點(diǎn) O，由質(zhì)點(diǎn)與參考點(diǎn)之間軌跡的長(zhǎng)度 s 來表示質(zhì)點(diǎn)的位置。,S為弧坐標(biāo)。,運(yùn)動(dòng)方程：s = s (t),軌跡上各點(diǎn)處，自然坐標(biāo)軸的方位不斷變化。,速率：,速度：,例：一質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為 r ，角速度為 ? 。求：質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。1）用直角坐標(biāo)、位矢表示；2）用自然坐標(biāo)表示。,以圓心O 為原點(diǎn)。建立直角坐標(biāo)系Oxy ，O ?點(diǎn)為初始位置，,用位矢表示為：,用自然坐標(biāo)表示為：,,,,,,解：,,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

16、為：,1）,2）,設(shè) t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于 P（x , y），,加速度由兩項(xiàng)組成，分別反映了速度大小變化和方向變化。,一般曲線運(yùn)動(dòng)的加速度,第一項(xiàng)，叫切向加速度，,方向：,,,,大?。?,?,寫成：,（沿切向）,?,,,,,?,?,,,曲率圓,,速度：,,,,,,,,?,?,,,第二項(xiàng)，叫法向加速度，,切向單位矢量的時(shí)間變化率：,,,,,寫成：,,總加速度：,法向加速度：,為曲率半徑。,大?。?方向：,（沿法向）,1）一般曲線運(yùn)動(dòng)的法向加速

17、度指向瞬時(shí)曲率中心；,2）在曲線運(yùn)動(dòng)中，加速度的方向總是指向曲線 凹的一側(cè)。,大?。?加速度：,方向：,,,,,,,?,,,,,?,說明：,,,1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果同時(shí)有切向加速度和法向加速度，這就是一般的曲線運(yùn)動(dòng)；,2）如果只有切向加速度，沒有法向加速度，,3）如果只有法向加速度，沒有切向加速度，,,則質(zhì)點(diǎn)作變速率直線運(yùn)動(dòng)；,則質(zhì)點(diǎn)作勻速率曲線運(yùn)動(dòng)。,大?。?方向：沿半徑指向圓心。,曲線運(yùn)動(dòng)的加速度小結(jié)：,法向加速度：,

18、總加速度的大?。?大小：,方向：沿軌道切線方向。,,切向加速度：,方向：,,,,例：一汽車在半徑 R = 200 m 的圓弧形公路上行 駛，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為 s = 20 t - 0.2 t 2 (SI)。求：汽車在 t = 1 s 時(shí)的速度和加速度大小。,在自然坐標(biāo)系中，,解：,t = 1 s 時(shí)：,解：,t = 1s 時(shí),例：已知質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為：

19、 ， 求：t = 1s 時(shí)的 切向加速度、法向加速度和軌道曲率半徑。,,,☆圓周運(yùn)動(dòng) (Circular Motion） 的角量描述,角坐標(biāo)：,（約定：逆時(shí)針為正）,角位移：,運(yùn)動(dòng)方程：,1、 角坐標(biāo)與角位移,角速度,2、 角速度 (Angular Velocity ),角量與線量的關(guān)系：,,角加速度：,3、 角加速度 (Angula

20、r Acceleration ),方向：角速度矢量 的方向垂直于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的平面，其指向由右手螺旋定則確定。,角速度矢量,圓周運(yùn)動(dòng)的角量與線量的關(guān)系：,例 ：質(zhì)點(diǎn)作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，其速率滿足 （k為常數(shù)），求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。,解：,切向加速度：,法向加速度：,加速度：,勻速率圓周運(yùn)動(dòng)和勻變速率圓周運(yùn)動(dòng),1）勻速率圓周運(yùn)動(dòng)：速率

21、 和角速度 都為常量。,2） 勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)：,,如 時(shí),,常量,例：一飛輪受摩擦力矩作用做減速運(yùn)動(dòng)，其角加速度與θ 成正比，比例系數(shù) k > 0。當(dāng) t = 0, ω =ω0 ， θ = 0。求： 1）角速度作為θ的函數(shù)表達(dá)式； 2）最大角位移。,解：1）,2）,當(dāng) ω = 0 時(shí)，,§1.4 運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類基本問題,一

22、 由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可以求得質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的位矢、速度和加速度；,二 已知質(zhì)點(diǎn)的加速度以及初始速度和初始位置, 可求質(zhì)點(diǎn)速度及其運(yùn)動(dòng)方程 。,一 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，可以求得質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的位矢、速度和加速度；,二 已知質(zhì)點(diǎn)的加速度以及初始速度和初始位置, 可求質(zhì)點(diǎn)速度及其運(yùn)動(dòng)方程 。,例：一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為一常量 a0 ，已知在 t = 0 時(shí)刻，x = x0， v = v0，試求：（1）速

23、度與時(shí)間的關(guān)系；（2）位置與時(shí)間的關(guān)系；（3）速度與位置的關(guān)系。,解：（1）,（2）,注意：這都是勻加速直線運(yùn)動(dòng)公式，它們不具有一般意義！,（變量變換）,（分離變量）,（兩邊同時(shí)積分）,（3）,§1.5 相對(duì)運(yùn)動(dòng),我們知道對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述具有相對(duì)性，即同一物體在不同參照系中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述結(jié)論可能不一樣?，F(xiàn)在我們要問：不同參照系上的觀察者對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)描述結(jié)果之間的關(guān)系如何 ? 由于不同觀察者可以選取不同參照系，所以弄

24、清楚不同參照系上的觀察者，對(duì)運(yùn)動(dòng)描述結(jié)果之間的關(guān)系是很重要的。,可是，關(guān)于相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題卻并不象看上去那么簡(jiǎn)單，它牽涉到物理學(xué)最基本的問題之一，即時(shí)間和空間的基本屬性。,,一、 時(shí)間與空間,在兩個(gè)相對(duì)作直線運(yùn)動(dòng)的參考系中， 時(shí)間的測(cè)量是絕對(duì)的，空間的測(cè)量也是絕對(duì)的， 與參考系無關(guān)， 時(shí)間和長(zhǎng)度的的絕對(duì)性是經(jīng)典力學(xué)或牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)。,,,A,B,,小車以較低的速度 沿水平軌道先后通過點(diǎn) A 和點(diǎn) B。地面上人測(cè)得車通過 A、B