4.3.1 空間直角坐標(biāo)系

1、431空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系學(xué)習(xí)目標(biāo)主要概念：空間直角坐標(biāo)系從空間某一個(gè)定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸Ox、Oy、Oz，這樣的坐標(biāo)系叫做空間直角坐標(biāo)系Oxyz，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸。坐標(biāo)平面通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面?？臻g直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)對于空間任一點(diǎn)M，作出M點(diǎn)在三條坐標(biāo)軸Ox軸、Oy軸、Oz軸上的射影，若射影在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x、y

2、、z，則把有序?qū)崝?shù)對(xyz)叫做M點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(xyz)，其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)。教材分析一、重點(diǎn)難點(diǎn)本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是建立空間直角坐標(biāo)系，難點(diǎn)是用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置和根據(jù)點(diǎn)的位置表示出點(diǎn)的坐標(biāo)。二、教材解讀本節(jié)教材的理論知識有問題提出、知識探求、思考交流三個(gè)板塊組成。第一板塊問題提出解讀借助平面直角坐標(biāo)系，我們就可以用坐標(biāo)表示平面上任意一點(diǎn)的位置，那么空間的點(diǎn)如何表

3、示呢？類比于平面直角坐標(biāo)系的建立。通過具體情境，如要確定教室內(nèi)所掛電燈的位置，一方面發(fā)現(xiàn)用平面直角坐標(biāo)系不能再確定點(diǎn)的位置，需要第三個(gè)坐標(biāo)，拓寬了思維空間；另一方面感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性。第二板塊知識探求解讀如何建立空間直角坐標(biāo)系？1、在平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，通過原點(diǎn)再增加一根豎軸，就成了空間直角坐標(biāo)系。2、如無特別說明，本書建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系。3、空間直角坐標(biāo)系象平面直角坐標(biāo)系一樣，有“三要素”：原點(diǎn)、坐標(biāo)軸方向

4、、單位長度。4、在平面上畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí)，一般使，，且使y軸和z軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸(或z軸)的單位長度的一半，即用斜二測的方法畫。?135????xOzxOy?90??yOz第三板塊思考交流解讀1、為什么空間的點(diǎn)M能用有序?qū)崝?shù)對(xyz)表示？設(shè)點(diǎn)M為空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作垂直于x軸、y軸、z軸的平面，依次交x軸、y軸、z軸于P、Q、R點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P、Q、R在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別是x、y

5、和z，那么點(diǎn)M就有唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(xyz)；反過來，給定有序?qū)崝?shù)組(xyz)，可以在x軸、y軸、z軸上依次取坐標(biāo)為x、y和z的點(diǎn)P、Q和R，分別過P、Q和R點(diǎn)各作一個(gè)平面，分別垂直于x軸、y軸、z軸，這三個(gè)平面的唯一的交點(diǎn)就是有序?qū)崝?shù)組(xyz)確定的點(diǎn)M。拓展閱讀如果把坐標(biāo)法理解為通過某一特定系統(tǒng)中的若干數(shù)量來決定空間位置的方法，那么戰(zhàn)國時(shí)代魏人石申用距度（或入宿度）和去極度兩個(gè)數(shù)據(jù)來表示恒星在天球上位置的星表，可以說是一種球面

6、坐標(biāo)系統(tǒng)的坐標(biāo)法。古希臘的地理學(xué)家和天文學(xué)家也廣泛地使用球面坐標(biāo)法。西晉人裴秀（223－271）提出“制圖六體”，在地圖繪制中使用了相當(dāng)完備的平面網(wǎng)絡(luò)坐標(biāo)法。用坐標(biāo)法來刻劃動(dòng)態(tài)的、連結(jié)的點(diǎn)，是它溝通代數(shù)與幾何而成為解析幾何的主要工具的關(guān)鍵。阿波羅尼在中，已借助坐標(biāo)來描述曲線。十四世紀(jì)法國學(xué)者奧雷斯姆用“經(jīng)度”和“緯度”(相當(dāng)于縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo))的方程來刻劃動(dòng)點(diǎn)的軌跡。十七世紀(jì)，費(fèi)馬和笛卡兒分別創(chuàng)立解析幾何，他們使用的都是斜角坐標(biāo)系：即選定

7、一條直線作為X軸，在其上選定一點(diǎn)為原點(diǎn)，y的值則由那些與X軸成一固定角度的線段的長表示。1637年笛卡兒出版了他的著作，這書有三個(gè)附錄，其中之一名為，解析幾何的思想就包含在這個(gè)附錄里。笛卡兒在中論述了正確的思想方法的重要性，表點(diǎn)撥先由條件求出正四棱錐的高，再根據(jù)正四棱錐的對稱性，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系。解答∵正四棱錐PABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，∴正四棱錐的高為。232以正四棱錐的底面中心為原點(diǎn)，平行于AB、BC所在的直線分

8、別為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則正四棱錐各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，20)、B(22，0)、C(22，0)、D(2，20)、P(00，)。232總結(jié)在求解此類問題時(shí)，關(guān)鍵是能根據(jù)已知圖形，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，從而便于計(jì)算所需確定的點(diǎn)的坐標(biāo)。變式題演練在長方體中，AB=12，AD=8，1111DCBAABCD?1AA=5，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。答案：以A為原點(diǎn)，射線AB、AD、1AA分別為x軸、

9、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(00，0)、B(120，0)、C(128，0)、D(08，0)、(00，5)、(120，5)、(128，5)、(08，5)。1A1B1C1D例3：在空間直角坐標(biāo)系中，求出經(jīng)過A(23，1)且平行于坐標(biāo)平面yOz的平面的方程。?點(diǎn)撥求與坐標(biāo)平面yOz平行的平面的方程，即尋找此平面內(nèi)任一點(diǎn)所要滿足的條件，可利用與坐標(biāo)平面yOz平行的平面內(nèi)的點(diǎn)的特點(diǎn)來求解。解答∵坐標(biāo)平面yOz⊥x軸，而平面與坐標(biāo)

10、平面yOz平行，?∴平面也與x軸垂直，?∴平面內(nèi)的所有點(diǎn)在x軸上的射影都是同一點(diǎn)，即平面與x軸的交點(diǎn)，??∴平面內(nèi)的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都相等。?∵平面過點(diǎn)A(23，1)，∴平面內(nèi)的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是2，??∴平面的方程為x=2。?總結(jié)對于空間直角坐標(biāo)系中的問題，可先回憶與平面直角坐標(biāo)系中類似問題的求解方法，再用類比方法求解空間直角坐標(biāo)系中的問題。本題類似于平面直角坐標(biāo)系中，求過某一定點(diǎn)且與x軸(或y軸)平行的直線的方程。變式題演練在空間直角

11、坐標(biāo)系中，求出經(jīng)過B(23，0)且垂直于坐標(biāo)平面xOy的直線方程。答案：所求直線的方程為x=2y=3.知識結(jié)構(gòu)知識點(diǎn)圖表空間直角坐標(biāo)系右手直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)的確定學(xué)法指導(dǎo)1、在建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí)，要注意使，?135????xOzxOy?90??yOz，且使y軸和z軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸(或z軸)的單位長度的一半。2、在確定給出空間圖形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，關(guān)鍵是能根據(jù)已知圖形，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，以便于計(jì)算所