腫瘤生長(zhǎng)的模型

1、腫瘤的生長(zhǎng)規(guī)律,倪致祥 教授,問(wèn)題,惡性腫瘤是目前威脅人類的一個(gè)主要的殺手，研究惡性腫瘤的生長(zhǎng)規(guī)律，有助于人類認(rèn)識(shí)其生長(zhǎng)特點(diǎn)，尋找控制消滅它的措施。為了定量地研究腫瘤的生長(zhǎng)規(guī)律，我們希望建立一個(gè)腫瘤生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型的第一步是從實(shí)踐的觀察結(jié)果出發(fā)。,觀察數(shù)據(jù),通過(guò)臨床觀察人們發(fā)現(xiàn)腫瘤細(xì)胞的生長(zhǎng)有下列現(xiàn)象：1.  按照現(xiàn)有手段，腫瘤細(xì)胞數(shù)目超過(guò)1011時(shí)，臨床才可能觀察到。2.  

2、在腫瘤生長(zhǎng)初期，每經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間，腫瘤細(xì)胞數(shù)目就增加一倍。3.  在腫瘤生長(zhǎng)后期，由于各種生理?xiàng)l件的限制，腫瘤細(xì)胞數(shù)目逐漸趨向某個(gè)穩(wěn)定值。根據(jù)上面的觀察結(jié)果，你能不能建立一個(gè)簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)模型，來(lái)描述惡性腫瘤的生長(zhǎng)規(guī)律？,模型一,設(shè)時(shí)刻t腫瘤細(xì)胞數(shù)目為 n ( t ) ，由觀察2 我們可以假設(shè)腫瘤細(xì)胞的增長(zhǎng)速度與當(dāng)時(shí)該細(xì)胞數(shù)目成正比，比例系數(shù)（相對(duì)增長(zhǎng)率）為 k 。則可以得到如下方程： n’(t) = k n

3、 (1)其解為 n(t) = n(0) ekt (2)據(jù)臨床觀察1，可令n(0) = 1011；據(jù)臨床觀察2，設(shè)細(xì)胞增加一倍所需時(shí)間為T，則有 n ( t＋T ) = 2 n ( t )

4、 (3),模型一,n(t) = n(0) ekt (2)據(jù)臨床觀察1，可令n(0) = 1011；據(jù)臨床觀察2，設(shè)細(xì)胞增加一倍所需時(shí)間為T，則有 n ( t＋T ) = 2 n ( t ) (3)將(2)式代入(3)式后，有 T = ln2 / k 。由此可以得到腫瘤細(xì)胞的

5、生長(zhǎng)規(guī)律為 n(t) = 1011 e t ln2 /T =1011 2 t/T (4)上面得到的模型稱為指數(shù)模型，它能夠很好地反映臨床觀察1和觀察2。但是該模型未能反映出臨床觀察3，因此需要進(jìn)一步修改。,模型二,考慮到臨床觀察3，我們需要對(duì)指數(shù)模型進(jìn)行修正。荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst提出設(shè)想：相對(duì)增長(zhǎng)率隨細(xì)胞數(shù)目n ( t ) 的增加而減少。若用N表示因生理限制腫瘤細(xì)胞數(shù)目的極限值，

6、f ( n ) 表示相對(duì)增長(zhǎng)率，則f ( n ) 為n的減函數(shù)，為處理方便，令f ( n ) 為n的線性函數(shù)： f(n) = a – b n (5)顯然當(dāng) n = N 時(shí)，f (n)＝0；假設(shè)當(dāng) n = 0 時(shí)，f (n) = k，代入上式即可解得 a = k, b = k / N

7、 (6),模型二,a = k, b = k / N (6) f(n) = k ( 1 – n/N )則n (t) 滿足微分方程 n’(t) = kn (1 - n/N ) (7)該方程稱為L(zhǎng)ogistic模型或者Verhulst-Pear

8、l阻滯方程，廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、生態(tài)和商業(yè)等領(lǐng)域。Verhulst-Pearl阻滯方程的意義也可以作如下理解：k是腫瘤的固有增長(zhǎng)率(Potential rate)，即如果沒有生理限制而且細(xì)胞之間互不影響時(shí)的增長(zhǎng)率。,模型二,Verhulst-Pearl阻滯方程的意義也可以作如下理解：k是腫瘤的固有增長(zhǎng)率(Potential rate)，即如果沒有生理限制而且細(xì)胞之間互不影響時(shí)的增長(zhǎng)率。由于有生理限制和細(xì)胞之間的相互影響，存在一個(gè)最

9、大可能的細(xì)胞數(shù)目N。細(xì)胞數(shù)目為n的腫瘤中還未出生部分所占的比例為1－n / N 。因此，腫瘤細(xì)胞數(shù)目的實(shí)際增長(zhǎng)率應(yīng)為其固有增長(zhǎng)率乘以上述比例，即 k (1 – n/N ) (8)這個(gè)結(jié)果與方程(7)完全一致。,模型二,n’(t) = k n (1 - n/N ) (7)利用分離變量法

10、，上述方程可以化為(9),由此可以解出(10),模型二,由上面的結(jié)果，n (0) = n0 = 1011 ；在腫瘤生長(zhǎng)初期，t～0，因此有 n(t) = n0 ekt容易驗(yàn)證 n ( t＋ln2/k ) = 2 n ( t ) ，即每經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間，腫瘤細(xì)胞數(shù)目就增加一倍；在腫瘤生長(zhǎng)后期，t ? ? ，n ( t ) ? N ，即腫瘤細(xì)胞數(shù)目逐漸趨向某個(gè)穩(wěn)定值。這些與觀察結(jié)果完全一致。,Gompertzlan模型,在某

11、些情況下，Verhulst模型與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合得不好，模型的理論增長(zhǎng)率下降得過(guò)快，小于實(shí)際增長(zhǎng)率。這時(shí)我們可以考慮將相對(duì)增長(zhǎng)率從n的線性函數(shù)修改為n的對(duì)數(shù)函數(shù)，即把相對(duì)增長(zhǎng)率取為 f(n) = - k ln(n/N) (11)其中負(fù)號(hào)表示隨n的增加而減少，但不是線性關(guān)系，而是與n在極限值中所占比例的對(duì)數(shù)有關(guān)。由此得到微分方程 n’(t) =

12、- k n ln(n/N) (12),Gompertzlan模型,由此得到微分方程 n’(t) = - k n ln(n/N) (12)解為 n(t) = n0 [N/n0] 1-exp(-kt) (13)在腫瘤生長(zhǎng)初期，t～0，exp(-kt)

13、=1-kt 因此有 n(t) = n0 (N/n0)kt容易驗(yàn)證 每經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間，腫瘤細(xì)胞數(shù)目就增加一倍；在腫瘤生長(zhǎng)后期，t ? ? ，n ( t ) ? N ，即腫瘤細(xì)胞數(shù)目逐漸趨向某個(gè)穩(wěn)定值。這些與觀察結(jié)果完全一致。,一般模型,本世紀(jì)80年代，有人對(duì)腫瘤生長(zhǎng)規(guī)律提出了更一般的模型： n’(t) = (kn/a)[1-(n/N)a], a≥0 (14)其解為 n(t

14、) = N{1+e-kt[(N/n0)a-1]}-1/a (15)顯然當(dāng)a = 1時(shí)，我們回到了Logistic模型；而當(dāng)a ? 0時(shí)，我們又可以得到Gompertzlan模型。由于參數(shù) a 可以在大于零的范圍內(nèi)任意取值，故上述模型具有高度的一般性和廣泛的適應(yīng)性。,結(jié)束語(yǔ),人類的認(rèn)識(shí)就是這樣由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到普遍、由個(gè)別到一般的?？戳松鲜龅膽?yīng)用數(shù)學(xué)范例，你能把我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的各種數(shù)學(xué)物理模型也