高斯過(guò)程

1、預(yù)備知識(shí)（三）,高斯隨機(jī)過(guò)程通信原理第四講,隨機(jī)過(guò)程（噪聲信號(hào)）示例,,,,,,相關(guān)函數(shù)R（t ，t+?）,隨機(jī)過(guò)程ξ(t)（噪聲、信號(hào)）,數(shù)學(xué)期望E[ξ(t)],方差D[ξ(t)],,統(tǒng)計(jì)、觀測(cè)、計(jì)算,,,如果平穩(wěn),與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān),E[ξ(t)]=m,D[ξ(t)]=σ2,R（?）,,,,,,如果各態(tài)歷經(jīng),用時(shí)間平均代替集平均,,數(shù)字特征的計(jì)算,數(shù)學(xué)期望方差相關(guān)函數(shù),2.3 隨機(jī)信號(hào)分析,2.3 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)過(guò)

2、程基礎(chǔ)高斯隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)窄帶隨機(jī)過(guò)程正弦波加窄帶高斯噪聲,隨機(jī)過(guò)程（噪聲信號(hào)）示例,,,,,為什么研究高斯過(guò)程,中心極限定理表明：一個(gè)隨機(jī)變量，如果它是很多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，而其中每一個(gè)對(duì)總和只發(fā)生不大的影響，那么，這一總和的分布就近似于正態(tài)分布。高斯過(guò)程又稱正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。如通信中的噪聲，分子熱運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的熱噪聲等都具有高斯過(guò)程的特性。 高斯過(guò)程，是研究通信信號(hào)、特別是通信噪聲的重要數(shù)學(xué)模型。,高斯隨機(jī)

3、過(guò)程：定義,若隨機(jī)過(guò)程ξ(t)的任意n維（n=1, 2, …）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過(guò)程或正態(tài)過(guò)程。 其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下：,高斯隨機(jī)過(guò)程：重要性質(zhì),高斯過(guò)程的n維分布完全由n個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、 方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。只需要其數(shù)字特征，就可以確定高斯過(guò)程對(duì)高斯過(guò)程：廣義平穩(wěn)與狹義平穩(wěn)等價(jià)如果高斯過(guò)程中的隨機(jī)變量之間互不相關(guān)，則他們是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。高斯過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)、其輸出也是高斯

4、過(guò)程,a=0，?=1,一維高斯分布*,a=+/-2，?=0.8/1.2,一維高斯分布*,一維高斯分布的數(shù)值計(jì)算,在通信系統(tǒng)中，通常需要計(jì)算隨機(jī)變量X大于某常數(shù)的概率：,一維高斯分布的數(shù)值計(jì)算,Q函數(shù)的意義,面積=Q（?）,查Q函數(shù)表可以求出概率,一維高斯分布的數(shù)值計(jì)算,誤差函數(shù)互補(bǔ)誤差函數(shù)X>2時(shí)互補(bǔ)誤差函數(shù)近似表示Q函數(shù)與誤差函數(shù)關(guān)系,一維高斯分布的數(shù)值計(jì)算,例,,,誤碼率1錯(cuò)成0的概率加0錯(cuò)成1的概率，已知

5、均值、方差，查Q表即可求出,白噪聲,信號(hào)在信道中傳輸時(shí)， 常會(huì)遇到這樣一類噪聲， 它的功率譜密度均勻分布在整個(gè)頻率范圍內(nèi)，即 這種噪聲被稱為白噪聲，它是一個(gè)理想的寬帶隨機(jī)過(guò)程。 式中n0為一常數(shù)，單位是瓦/赫。白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即,高斯白噪聲,如果白噪聲又是高斯分布的， 我們就稱之為高斯白噪聲。 由 可以看出，高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的取值之間，是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

6、 應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在實(shí)際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。,2.3 隨機(jī)信號(hào)分析,2.3 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)過(guò)程基礎(chǔ)高斯隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)窄帶隨機(jī)過(guò)程正弦波加窄帶高斯噪聲,隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),確知信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí),,線性時(shí)不變系統(tǒng),,,隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)，關(guān)系

7、仍然成立,,線性時(shí)不變系統(tǒng),,,？,隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),輸出過(guò)程的數(shù)學(xué)期望,,輸入直流分量與直流增益的積,隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),輸出過(guò)程的自相關(guān)函數(shù),,輸出也是平穩(wěn)過(guò)程,隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),輸出過(guò)程的功率譜密度,,“功率”譜增益,隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),,線性時(shí)不變系統(tǒng),,,隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),例:輸出過(guò)程的概率分布 從原理上看，在已知輸入過(guò)程分布的情況下，通過(guò)下式：

8、 總可以確定輸出過(guò)程的概率分布，其中一個(gè)十分有用的情形是：如果線性系統(tǒng)的輸入過(guò)程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過(guò)程也是高斯型的。但要注意，由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過(guò)程相比，輸出過(guò)程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。,,隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),例題：帶限白噪聲 試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過(guò)理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為：,,隨機(jī)過(guò)程通

9、過(guò)線性系統(tǒng),,2.3 隨機(jī)信號(hào)分析,2.3 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)過(guò)程基礎(chǔ)高斯隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)窄帶隨機(jī)過(guò)程正弦波加窄帶高斯噪聲,窄帶隨機(jī)過(guò)程,窄帶(帶通)信號(hào)(過(guò)程)示意 通信中信號(hào)與噪聲都滿足“窄帶”假設(shè)，即△f<<fc。△f為信號(hào)帶寬，fc為載頻。其包絡(luò)和相位相對(duì)于fc是緩慢變化的，波形和頻譜示意如下:,窄帶隨機(jī)過(guò)程,窄帶信號(hào)的兩種描述方法包絡(luò)與相位參數(shù)的描述方法同相分量和正交分量的描述方法

10、兩種描述方法對(duì)隨機(jī)過(guò)程仍然適用,窄帶隨機(jī)過(guò)程,,,,,,,,,,窄帶隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì),數(shù)學(xué)期望,窄帶隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì),相關(guān)函數(shù)Rx是平穩(wěn)過(guò)程，與t無(wú)關(guān),,,窄帶隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì),,,,,,,,窄帶隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì),輸入為高斯過(guò)程時(shí)根據(jù)平穩(wěn)性，因此：I、Q分量也是高斯過(guò)程 一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程，它的同相分量I和正交分量Q也是平穩(wěn)高斯過(guò)程， 而且均值都為零，方差相同， 在同一時(shí)刻同相分

11、量和正交分量互不相關(guān)。,高斯變量,包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性,將同相與正交的聯(lián)合分布函數(shù)進(jìn)行二維轉(zhuǎn)換，變成包絡(luò)與相位的聯(lián)合PDF,,,,,,包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性,,,,,,相互獨(dú)立,包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性,利用雅各比行列式,包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性,包絡(luò)符合瑞利分布,相位符合均勻分布,,求條件邊際分布,窄帶高斯噪聲,高斯噪聲時(shí)域波形,近似高斯白噪聲頻譜示意圖,窄帶濾波,窄帶高斯噪聲示意圖,包絡(luò)符合瑞利分布,平穩(wěn)高斯過(guò)程通過(guò)窄帶系統(tǒng)輸出結(jié)論,一個(gè)均

12、值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程，它的同相分量I和正交分量Q也是平穩(wěn)高斯過(guò)程， 而且均值都為零，方差相同， 在同一時(shí)刻同相分量和正交分量互不相關(guān)。 均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程 ，其包絡(luò)符合瑞利分布、相位符合均勻分布。,2.3 隨機(jī)信號(hào)分析,2.3 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)過(guò)程基礎(chǔ)高斯隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)窄帶隨機(jī)過(guò)程正弦波加窄帶高斯噪聲,正弦波加窄帶高斯噪聲,,發(fā)送端,,信道,,接收端,,噪聲源,,,,,,,窄帶調(diào)制

13、后，近似為高頻正弦波,,,正弦波加窄帶高斯噪聲,,,,,等效為同相正交分量,,,,正弦波加窄帶高斯噪聲,同相、正交分量的聯(lián)合概率密度,,包絡(luò)、相位聯(lián)合概率密度,,求包絡(luò)、相位的條件邊際分布,,同相、正交分量相互獨(dú)立的高斯過(guò)程,,雅各比行列式進(jìn)行變換,正弦波加窄帶高斯噪聲,,廣義瑞利分布，萊斯分布,,正弦波加窄帶高斯噪聲,,隨機(jī)信號(hào)分析：小結(jié),通信中的信號(hào)與噪聲通常是高斯過(guò)程利用Q函數(shù)或其他函數(shù)可以數(shù)值計(jì)算出符合高斯分布的概率數(shù)值，是后

14、續(xù)分析中計(jì)算誤碼率的基礎(chǔ)白噪聲、帶限白噪聲、高斯噪聲的物理意義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)窄帶高斯過(guò)程及其分析方法正弦信號(hào)加窄帶高斯噪聲是通信系統(tǒng)分析的重要數(shù)學(xué)模型,小結(jié)：隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng),,線性時(shí)不變系統(tǒng),,,小結(jié)：窄帶高斯過(guò)程及其分析方法,一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程，它的同相分量I和正交分量Q也是平穩(wěn)高斯過(guò)程， 而且均值都為零，方差相同， 在同一時(shí)刻同相分量和正交分量互不相關(guān)。