高斯過程

1、預(yù)備知識（三）,高斯隨機(jī)過程通信原理第四講,隨機(jī)過程（噪聲信號）示例,,,,,,相關(guān)函數(shù)R（t ，t+?）,隨機(jī)過程ξ(t)（噪聲、信號）,數(shù)學(xué)期望E[ξ(t)],方差D[ξ(t)],,統(tǒng)計、觀測、計算,,,如果平穩(wěn),與時間起點(diǎn)無關(guān),E[ξ(t)]=m,D[ξ(t)]=σ2,R（?）,,,,,,如果各態(tài)歷經(jīng),用時間平均代替集平均,,數(shù)字特征的計算,數(shù)學(xué)期望方差相關(guān)函數(shù),2.3 隨機(jī)信號分析,2.3 隨機(jī)信號分析隨機(jī)過

2、程基礎(chǔ)高斯隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶高斯噪聲,隨機(jī)過程（噪聲信號）示例,,,,,為什么研究高斯過程,中心極限定理表明：一個隨機(jī)變量，如果它是很多個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，而其中每一個對總和只發(fā)生不大的影響，那么，這一總和的分布就近似于正態(tài)分布。高斯過程又稱正態(tài)隨機(jī)過程。如通信中的噪聲，分子熱運(yùn)動產(chǎn)生的熱噪聲等都具有高斯過程的特性。 高斯過程，是研究通信信號、特別是通信噪聲的重要數(shù)學(xué)模型。,高斯隨機(jī)

3、過程：定義,若隨機(jī)過程ξ(t)的任意n維（n=1, 2, …）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。 其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下：,高斯隨機(jī)過程：重要性質(zhì),高斯過程的n維分布完全由n個隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、 方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。只需要其數(shù)字特征，就可以確定高斯過程對高斯過程：廣義平穩(wěn)與狹義平穩(wěn)等價如果高斯過程中的隨機(jī)變量之間互不相關(guān)，則他們是統(tǒng)計獨(dú)立的。高斯過程通過線性系統(tǒng)、其輸出也是高斯

4、過程,a=0，?=1,一維高斯分布*,a=+/-2，?=0.8/1.2,一維高斯分布*,一維高斯分布的數(shù)值計算,在通信系統(tǒng)中，通常需要計算隨機(jī)變量X大于某常數(shù)的概率：,一維高斯分布的數(shù)值計算,Q函數(shù)的意義,面積=Q（?）,查Q函數(shù)表可以求出概率,一維高斯分布的數(shù)值計算,誤差函數(shù)互補(bǔ)誤差函數(shù)X>2時互補(bǔ)誤差函數(shù)近似表示Q函數(shù)與誤差函數(shù)關(guān)系,一維高斯分布的數(shù)值計算,例,,,誤碼率1錯成0的概率加0錯成1的概率，已知

5、均值、方差，查Q表即可求出,白噪聲,信號在信道中傳輸時， 常會遇到這樣一類噪聲， 它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)，即 這種噪聲被稱為白噪聲，它是一個理想的寬帶隨機(jī)過程。 式中n0為一常數(shù)，單位是瓦/赫。白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即,高斯白噪聲,如果白噪聲又是高斯分布的， 我們就稱之為高斯白噪聲。 由 可以看出，高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間，是統(tǒng)計獨(dú)立的。

6、 應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在實(shí)際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。,2.3 隨機(jī)信號分析,2.3 隨機(jī)信號分析隨機(jī)過程基礎(chǔ)高斯隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶高斯噪聲,隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng),確知信號通過線性時不變系統(tǒng)時,,線性時不變系統(tǒng),,,隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng),平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時不變系統(tǒng)時，關(guān)系

7、仍然成立,,線性時不變系統(tǒng),,,？,隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng),輸出過程的數(shù)學(xué)期望,,輸入直流分量與直流增益的積,隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng),輸出過程的自相關(guān)函數(shù),,輸出也是平穩(wěn)過程,隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng),輸出過程的功率譜密度,,“功率”譜增益,隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng),隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng),,線性時不變系統(tǒng),,,隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng),例:輸出過程的概率分布 從原理上看，在已知輸入過程分布的情況下，通過下式：

8、 總可以確定輸出過程的概率分布，其中一個十分有用的情形是：如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。但要注意，由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。,,隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng),例題：帶限白噪聲 試求功率譜密度為n0/2的白噪聲通過理想矩形的低通濾波器后的功率譜密度、自相關(guān)函數(shù)和噪聲平均功率。理想低通的傳輸特性為：,,隨機(jī)過程通

9、過線性系統(tǒng),,2.3 隨機(jī)信號分析,2.3 隨機(jī)信號分析隨機(jī)過程基礎(chǔ)高斯隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶高斯噪聲,窄帶隨機(jī)過程,窄帶(帶通)信號(過程)示意 通信中信號與噪聲都滿足“窄帶”假設(shè)，即△f<<fc。△f為信號帶寬，fc為載頻。其包絡(luò)和相位相對于fc是緩慢變化的，波形和頻譜示意如下:,窄帶隨機(jī)過程,窄帶信號的兩種描述方法包絡(luò)與相位參數(shù)的描述方法同相分量和正交分量的描述方法

10、兩種描述方法對隨機(jī)過程仍然適用,窄帶隨機(jī)過程,,,,,,,,,,窄帶隨機(jī)過程的性質(zhì),數(shù)學(xué)期望,窄帶隨機(jī)過程的性質(zhì),相關(guān)函數(shù)Rx是平穩(wěn)過程，與t無關(guān),,,窄帶隨機(jī)過程的性質(zhì),,,,,,,,窄帶隨機(jī)過程的性質(zhì),輸入為高斯過程時根據(jù)平穩(wěn)性，因此：I、Q分量也是高斯過程 一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程，它的同相分量I和正交分量Q也是平穩(wěn)高斯過程， 而且均值都為零，方差相同， 在同一時刻同相分

11、量和正交分量互不相關(guān)。,高斯變量,包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性,將同相與正交的聯(lián)合分布函數(shù)進(jìn)行二維轉(zhuǎn)換，變成包絡(luò)與相位的聯(lián)合PDF,,,,,,包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性,,,,,,相互獨(dú)立,包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性,利用雅各比行列式,包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性,包絡(luò)符合瑞利分布,相位符合均勻分布,,求條件邊際分布,窄帶高斯噪聲,高斯噪聲時域波形,近似高斯白噪聲頻譜示意圖,窄帶濾波,窄帶高斯噪聲示意圖,包絡(luò)符合瑞利分布,平穩(wěn)高斯過程通過窄帶系統(tǒng)輸出結(jié)論,一個均

12、值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程，它的同相分量I和正交分量Q也是平穩(wěn)高斯過程， 而且均值都為零，方差相同， 在同一時刻同相分量和正交分量互不相關(guān)。 均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程 ，其包絡(luò)符合瑞利分布、相位符合均勻分布。,2.3 隨機(jī)信號分析,2.3 隨機(jī)信號分析隨機(jī)過程基礎(chǔ)高斯隨機(jī)過程隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)窄帶隨機(jī)過程正弦波加窄帶高斯噪聲,正弦波加窄帶高斯噪聲,,發(fā)送端,,信道,,接收端,,噪聲源,,,,,,,窄帶調(diào)制

13、后，近似為高頻正弦波,,,正弦波加窄帶高斯噪聲,,,,,等效為同相正交分量,,,,正弦波加窄帶高斯噪聲,同相、正交分量的聯(lián)合概率密度,,包絡(luò)、相位聯(lián)合概率密度,,求包絡(luò)、相位的條件邊際分布,,同相、正交分量相互獨(dú)立的高斯過程,,雅各比行列式進(jìn)行變換,正弦波加窄帶高斯噪聲,,廣義瑞利分布，萊斯分布,,正弦波加窄帶高斯噪聲,,隨機(jī)信號分析：小結(jié),通信中的信號與噪聲通常是高斯過程利用Q函數(shù)或其他函數(shù)可以數(shù)值計算出符合高斯分布的概率數(shù)值，是后

14、續(xù)分析中計算誤碼率的基礎(chǔ)白噪聲、帶限白噪聲、高斯噪聲的物理意義平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)窄帶高斯過程及其分析方法正弦信號加窄帶高斯噪聲是通信系統(tǒng)分析的重要數(shù)學(xué)模型,小結(jié)：隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng),隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng),,線性時不變系統(tǒng),,,小結(jié)：窄帶高斯過程及其分析方法,一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程，它的同相分量I和正交分量Q也是平穩(wěn)高斯過程， 而且均值都為零，方差相同， 在同一時刻同相分量和正交分量互不相關(guān)。