科學(xué)計(jì)算選講—復(fù)雜曲面的數(shù)學(xué)模型及應(yīng)用

1、科學(xué)計(jì)算選講 —復(fù)雜曲面的數(shù)學(xué)模型及應(yīng)用,學(xué)院：機(jī)械工程學(xué)院專業(yè)：機(jī)械工程報(bào)告人：王新波組員：吳曉強(qiáng)、胡高峰,復(fù)雜曲面數(shù)學(xué)模型概述,解析曲面：可以用初等解析方程來描述的曲面，如平面、錐面、球面復(fù)雜曲面：如飛機(jī)外殼、汽車模具，以及各種葉片的工作表面,復(fù)雜曲面數(shù)學(xué)模型概述,1963年，F(xiàn)erguson首先提出將曲線曲面表示為參數(shù)矢函數(shù)的方法，并引入?yún)?shù)三次曲線1971年，Bezier提出一種由控制多邊形設(shè)計(jì)曲線的新方法

2、1972年，de Boor和Cox分別總結(jié)并給出了關(guān)于B樣條的一套標(biāo)準(zhǔn)理論算法1973年Riesenfeld將B樣條理論應(yīng)用于形狀描述，最終提出了B樣條方法1975年，美國Syracuse大學(xué)的Versprille首次提出了有理B樣條方法后來由于Piegl和Tiller等人的功績，終于使非均勻有理B樣條（NURBS）方法稱為現(xiàn)代曲線曲面造型中最為廣泛流行的技術(shù),復(fù)雜曲面數(shù)學(xué)模型概述,可以精確地表示二次解析曲線曲面，從而用統(tǒng)一的數(shù)

3、學(xué)形式表示解析曲面和自由曲面。具有可影響曲線曲面形狀的權(quán)因子，使形狀更便于控制和實(shí)現(xiàn)。利用NURBS方法不但可以將多條曲線連接成具有統(tǒng)一表達(dá)式的一條NURBS曲線，而且可以將多張曲面拼接成單張曲面。NURBS方法可以將空間的離散點(diǎn)擬合成曲線或曲面，這給生成含有樣條指令的數(shù)控代碼帶來了極大的方便。正因?yàn)镹URBS方法具有眾多優(yōu)點(diǎn)而被ISO與1991年確定為工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換(STEP)的唯一標(biāo)準(zhǔn)。,復(fù)雜曲線模型,三維空間（O-XYZ）

4、中的一條以u(píng)為參數(shù)的曲線的矢量表達(dá)式為,,,通常將式（2-1）中的a取為0，將b取為1，即參數(shù)的范圍[0,1] i、j、k分別為X、Y、Z軸單位矢量，其中C(u)表示參數(shù)值為u處對(duì)應(yīng)的曲線上一點(diǎn)的矢量。,,,復(fù)雜曲線模型,空間一條NURBS曲線方程通常也是由參數(shù)形式進(jìn)行描述的，其定義由下式給出 式中，p為NURBS曲線的次數(shù)，p+1為其階數(shù)； 為第i個(gè)三維控制頂點(diǎn)，形成控制多邊形，共n+1個(gè)；

5、 為第i個(gè)控制點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的權(quán)重，并且對(duì)所有 i恒有 ＞0； 為第i個(gè)p次B樣條基函數(shù)。,,,,復(fù)雜曲線模型,,,,式中， 為節(jié)點(diǎn)值,復(fù)雜曲線模型,引入分段有理基函數(shù),,,則式 還可寫成如下的等效形式,,,復(fù)雜曲面模型,圖1 笛卡爾空間與參數(shù)平面的映射關(guān)系,復(fù)雜曲面模型,

6、三維空間中一張自由曲面對(duì)應(yīng)于參數(shù)平面 內(nèi)一個(gè)邊長為1的正方形，其一般矢量及矩陣表達(dá)式為,,,（2-7）,復(fù)雜曲面模型,一張pxq次NURBS曲面可表示為如下有理B樣條張量積的形式,,,,,,復(fù)雜曲面模型,,,NURBS 在CAD 曲面造型中的應(yīng)用,應(yīng)用NURBS 理論進(jìn)行曲面建模的基本步驟是： 采集曲面型值點(diǎn)數(shù)據(jù)→根據(jù)采集數(shù)據(jù)和NURBS基函數(shù)反算控制點(diǎn)→生成NURBS 曲線→在曲面范圍內(nèi)沿(u, v

7、) 方向采集控制點(diǎn)網(wǎng)格→由控制網(wǎng)格生成曲面→利用基函數(shù)作局部調(diào)整。,NURBS 在CAD 曲面造型中的應(yīng)用,根據(jù)廠家的生產(chǎn)零件或總成圖紙, 通過UG等軟件 建立其CAD 模型自由曲線曲面或原型的各點(diǎn)由三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)或激光線掃描法得到，將采樣點(diǎn)作為NURBS 曲線曲面上的點(diǎn)，已知節(jié)點(diǎn)向量，可求出基函數(shù)，然后配合適當(dāng)?shù)臋?quán)因子，反算出各曲線曲面的控制點(diǎn)，由控制多邊形或控制網(wǎng)格就可以確定NURBS 曲線曲面,NURBS 在UG 應(yīng)用實(shí)例,圖2