空間曲面.ppt-武漢大學

1、高等數(shù)學,黃明,武漢大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,曲面與曲線,二次曲面空間曲線,二次曲面,柱面旋轉曲面錐面球面橢球面，拋物面，雙曲面,一、柱面與旋轉曲面,1.概念,平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面叫做柱面，定曲線C叫做柱面的準線，動直線叫做柱面的母線.,,,L,C,柱面?： ?的母線L，L??z軸； ?的準線C：F(x,y)=0(x0y平面上的曲線）,空間點M(x,y,z), M(x,y)在x0y平面上的投影點M1(x

2、,y),1.?點M(x,y,z), M的橫、縱坐標x,y滿足F(x,y)=0，,則點M1(x,y,0) 在?的準線C上，,故點M(x,y,z)在柱面?上；,2.?點M(x,y,z) ??，,則M的橫、縱坐標x,y滿足F(x,y)=0,（點M(x,y,z)在過點M1(x,y,0) 母線L上）,（M的投影點M1(x,y,0) 在?的準線C上）,M(x,y,z),?,?,,M1(x,y,0),柱面?的方程,2.幾種常見的柱面,1.橢圓柱面,2

3、.雙曲柱面,3.拋物柱面,4.特殊的平面,1.橢圓柱面,2.雙曲柱面,3.拋物柱面,3.拋物柱面,球面,在空間中，與一定點的距離為一定長的點的集合是球面，這個定點是球心，定長是半徑。,標準方程,一般方程,錐面,一條動直線通過一定點且沿空間一條固定曲線移動所產生的曲面稱為錐面，定點稱為錐面的頂點，固定曲線稱為錐面的母線,反之,任意滿足如上方程的點必在此錐面上，故所求錐面的方程為,旋轉曲面,旋轉曲面的方程,平面上曲線C繞該平面上一條定直線

4、旋轉形成的曲面叫做旋轉曲面，平面曲線C叫做旋轉曲面的母線，定直線叫做旋轉曲面的軸。,yoz面上曲線C:f(y,z)=0 繞定直線z軸旋轉所成的曲面,?p0??,過p0作平面z=z0,與?的交線為一圓周，其半徑,但對p1(0,y1,z0)，有f(y1,z0)=0,?M(x,y,z)??,有,若點M(x,y,z)??，則其坐標x,y,z不滿足(2)式。,故(2)式為此旋轉曲面的方程。,故對曲線C:f(y,z)=0：,繞z軸旋轉而成的

5、曲面方程為,曲線C繞y軸旋轉而成的曲面方程為,類似地，可考慮其他的在某一坐標平面上的曲線繞相應的坐標軸 旋轉而成的旋轉曲面的方程。,旋轉拋物面旋轉橢球面旋轉單葉雙曲面旋轉雙葉雙曲面,圓錐面,幾種常見的旋轉曲面,例1 yoz平面上的拋物線,繞z軸旋轉而成的曲面,旋轉拋物面：,例2 yoz平面上的拋物線,繞z軸旋轉而成的曲面,旋轉橢球面：,例3 yoz平面上的雙曲線,繞z軸旋轉而成的曲面,單葉旋轉雙曲面：,例3 zox平面上的雙曲線

6、,繞x軸旋轉而成的曲面,雙葉旋轉雙曲面：,三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。上一目中例1與例2 給出的旋轉曲面就是二次曲面。相對而言，二次曲面有較廣泛的應用，并且它的形狀也比較簡單。因此作為基本問題（Ⅱ）的例子，我們主要討論以下幾個特殊的二次曲面的形狀： 1、橢球面 2、拋物面

7、 3、雙曲面 討論的方法一般是用坐標或特殊的平面與二次曲面相截，考察其截痕的形狀，然后對那些截痕加以綜合，得出曲面的全貌，這種方法叫做截痕法。,1.橢球面,方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

8、 表示的曲面叫做橢球面。下面我們根據(jù)所給出的方程，用截痕法來考察橢球面的形狀。由方程可知 即

9、 ∣x∣≤a ,∣y∣≤b ,∣z∣ ≤c , 這說明橢球面包含在由平面 x = ±a , y =±b , z =± c 圍成的長方體內。,這些截痕就是橢圓。即有：,,,先考慮橢球面與三個坐標面的截痕,,,,,,,,再用平行于xoy面的平面z = h (0 < ︱h︱< c )去截這個曲面，所得截痕的方程是這些截痕也都是橢圓。易見，當︱h︱由0變到 c

10、 時，橢圓由大變小，最后縮成一點（0，0，±c).同樣地用平行于 yoz面或zox面的平面去截這個曲面，也有類似的結果（見圖５－３７(a)或后面所顯示的各個圖形).如果連續(xù)地取這樣的截痕，那么可以想像，這些截痕就組成了一張橢球面。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,在橢球面方程中，a，b，c按其大小，分別叫做橢球的長半軸，中半軸，短半軸。如果有兩個半軸相等，如 a=b,則方程表示的是由平面上的橢圓　　　　　　　　

11、　繞ｚ軸旋轉而成的旋轉橢球面。如果a = b = c ,則方程 x2 +y2+z2 = a2　表示一個球面。。,,,２、拋物面,拋物面分橢圓拋物面與雙曲拋物面兩種。方程　　　　　　　　　　　　　　　?。ǎ叮?所表示的曲面叫做橢圓拋物面。設方程右端取正號，現(xiàn)在來考察它的形狀。,用xoy面（z = 0）去截這曲面，截痕為原點。用平面z = h（h > 0）去截這曲面，截痕為橢圓,,當h→0時，截痕退縮為原點；當h&l

12、t;0 時,截痕不存在.原點叫做橢圓拋物面的頂點.,（2）用zox面（y = 0）去截這曲面,截痕為拋物線 用平面y = k去截這曲面，截痕也為拋物線,,（3）用yoz面（x = 0）及平面x=l去截這曲面，其結果與（2）是類似的。如下圖所示：,,,,,,,,綜 合以上分

13、析結果，可知橢 圓拋物面的形狀如圖5-38所示。,方程 (7) 所表示的曲面叫做雙曲拋物面。設方程右端取正號，現(xiàn)在來考察它們的形狀。(在方程(7)中令 ) （1）用平面

14、z = h（h > 0）去截這曲面，截痕方程是,,當h > 0時，(h=3)截痕是雙曲線，其實軸平行于 x 軸。當h = 0 時，截痕是xoy平面上兩條相交于原點的直線當h< 0時。(h=-3)截痕是雙曲線。其實軸平行于 y 軸。,,,,,,(2)用平面x = k 去截這曲面，截痕方程是

15、 當k = 0時，截痕是yoz平面上頂點在原點的拋物線且張口朝下。k≠0時，截痕都是張口朝下的拋物線，且拋物線的頂點隨∣k∣增大而升高。,,,,（3）用平面y = l 去截這曲面，截痕均是張口朝上的拋物線,,,,,綜合以上分析結果可知，雙曲拋物面的形狀如圖5-39所示。因其形狀與馬鞍相似，故也叫它鞍形面。,,,3、雙曲面,雙曲面分單葉雙曲面與雙葉雙曲面兩種。其中方程

16、 所表示的曲面叫做單葉雙曲面。用截痕法可得出它的形狀如圖5-40（a）（b）所示。,,,,方程

17、 所表示的曲面叫做雙葉雙曲面。它的形狀如圖5-40（c）所示。,,最后我們指出兩點：（1）以上討論的二次曲面都稱為標準

18、型二次曲面,它們的方程也稱為標準型二次方程.在Oxyz坐標系中,如果將二次曲面作平移,那么曲面的方程就有所改變.若曲面 ? 的方程是F(x,y,z) = 0, 則方程F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0的圖形 ?´與 ? 有相同的形狀.有兩種方法可得到方程F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0 的圖形: 一種方法是在同一坐標架下,將 ? 沿著向徑 r = (x0 ,y0 ,z0) 方平移? r ?

19、距離而得到方程 F(x-x0 , y-y0 , z-z0) = 0 的圖形?´；另一種方法是先在O?XYZ坐標系下作出 ?：F(x,y,z) = 0的圖形， 然后將坐標架平移，使移動后的坐標原點位于原坐標系的（-x0 ,-y0,- z0)處，并將坐標系改成Oxyz,這與平面解析幾何中的情形是類似的。利用這一點，就可將某些非標準二次方程用簡單的配平方法，找出它的標準形式，再用上述平移方法獲得它的圖形并確定其位置，

20、 例如方程 經(jīng)過配完全平方，得 故其標準形為,由此可知它表示橢圓拋物面，在O?XYZ坐標系中作出橢圓拋物面。如下圖,,,然后將坐標系Oxyz的原點O取在O’XYZ坐標系的點（1，-1，3）處，作出x軸、y軸、z軸，使之分別平行于x軸、y軸、z軸與z軸并略去O’XYZ坐標架，即得到原方程表示的圖形。,,,（2）對一般的三元方程表示的曲面，用手工描點法是很難繪出它的三維立體圖形的，讀者