蒙特卡羅方法在通量計算中的應(yīng)用

1、第六章 蒙特卡羅方法在通量計算中的應(yīng)用,通量的定義通量的能譜和角分布計算體通量的模擬方法計算面通量的模擬方法計算點通量的模擬方法與通量有關(guān)的物理量的計算作 業(yè),,第六章 蒙特卡羅方法在通量計算中的應(yīng)用,通量計算在粒子輸運問題中占有非常重要的地位。很多問題，如碰撞率、反應(yīng)率以及系統(tǒng)逃脫幾率等都可以通過通量來計算。通量計算問題，包括點通量、面通量和體通量的計算問題。相對來說，點通量的計算要困難一些。,,,通量的定義,設(shè)

2、 分別表示粒子的位置、能量和運動方向。則通量 的定義為：,,,,在 r 點的體積元 dV 內(nèi)，能量E 和運動方向Ω屬于dE dΩ的粒子平均徑跡長度。,點通量的定義,,,,給定點 r0 的點通量為： 點通量的含義為：,在r0點的體積元dV內(nèi)，粒子的平均徑跡長度。,面通量的定義,,,,給定曲面 A0 上的面通量為： 面通量的含義為：,沿曲面A0的法線方向增加厚度ds 所組成

3、的體積元的體積元A0ds中，粒子的平均徑跡長度。,體通量的定義,,,,給定體 V0 內(nèi)的體通量為： 體通量的含義為：,在體V0內(nèi)，粒子的平均徑跡長度。,粒子各次散射對通量的貢獻(xiàn),,,,通量 可用粒子各次散射對通量的貢獻(xiàn)和表示： 其中 為粒子 n 次散射后對通量的貢獻(xiàn)，其含義為：,粒子在第 n 次散射到第 n＋1 次散射之間，在 r 點的體積元 dV

4、內(nèi)，能量E 和運動方向Ω屬于dE dΩ的粒子平均徑跡長度。,通量的能譜與角分布,用蒙特卡羅方法計算通量的能譜與角分布，所采用的手段與計算其它物理量一樣，即把能量和方向分成若干個區(qū)間，分別按粒子狀態(tài)所處的區(qū)間累積記錄各自的貢獻(xiàn)。,,,,,,現(xiàn)將能量分成 I 區(qū)：ΔE1，ΔE2，…，ΔEI；方向分成 J 區(qū)：ΔΩ1，ΔΩ2，…，ΔΩI。則有：,,,計算體通量的模擬方法,在實際問題中，經(jīng)常遇到要計算某一區(qū)域V0 的體通量。

5、 在通量的定義部分已經(jīng)介紹過，通量可以表示為粒子各次散射對通量的貢獻(xiàn)和。因此，下面要介紹的各種估計方法，只敘述各次散射后的通量計算方法。 計算體通量的方法主要有以下幾種。,,,,解析(統(tǒng)計)估計方法,,,粒子 n 次散射（n＝0 時為源粒子）后的通量貢獻(xiàn)為：其中，s1和s2分別為粒子由點rn出發(fā)，沿Ωn方向到達(dá)區(qū)域V0的近端和遠(yuǎn)端的交點的距離。如果點rn在V0內(nèi)，則 s1＝0。如果粒子沿Ωn方向與V0有多

6、段相交，則 為每段相交線段的通量貢獻(xiàn)之和。如果粒子沿Ωn方向與V0不相交，則 。,,,,解析估計方法就是把體通量的貢獻(xiàn)表達(dá)式直接計算出來。當(dāng)系統(tǒng)為均勻介質(zhì)時，如果只是V0為均勻介質(zhì)，則如果V0由多層介質(zhì)組成，則需分段計算積分。 在解析估計方法中，粒子每發(fā)生一次碰撞（包括零次散射），都要記錄通量的貢獻(xiàn)值。,,,,,徑跡長度方法,,,設(shè)粒子從第 n 次散射到第

7、 n＋1 次散射之間走過的徑跡長度為 s ，則 n 次散射的通量貢獻(xiàn)為： 徑跡長度方法就是把粒子在V0內(nèi)走過的徑跡長度記錄下來。,,,,下面證明，徑跡長度估計是無偏的。,,,,,碰撞密度方法,,,設(shè)粒子從第 n 次散射到第 n＋1 次散射之間走過的徑跡長度為 s ，則 n 次散射的通量貢獻(xiàn)為： 碰撞密度方法就是把粒子在V0內(nèi)發(fā)生的碰撞記錄下來。,,,,下面證明，碰撞密度估計是無偏的。,,,,,均勻徑跡長度

8、方法,,,確定一個定義在 [s1,s2] 上的概率密度函數(shù) fn(s)，從 fn(s)中抽樣 s*，則 n 次散射通量貢獻(xiàn)的估計為：fn(s)的最簡單形式是均勻分布這時,,,點通量代替方法,,,設(shè) 為在V0上定義的任一概率密度函數(shù)，則體通量可表示為：體通量的估計為：其中，r*為從 中抽取的一個樣本值。,,,幾種方法的比較,,,解析估計方法：直接計算體通量的貢

9、獻(xiàn)表達(dá)式，因此該方法的方差小，但計算時間長，需要計算指數(shù)函數(shù)的積分。徑跡長度方法：記錄貢獻(xiàn)方法簡單，可與輸運過程同時進(jìn)行，只要粒子穿過記錄區(qū)域就有貢獻(xiàn)。但該方法方差大些，對于較小的系統(tǒng)（如自由程個數(shù)小于2），該方法較好。碰撞密度方法：由于只在記錄區(qū)域內(nèi)發(fā)生碰撞才有貢獻(xiàn)，因此方差較大，尤其在記錄區(qū)域較小時更是如此。但該方法省時間，適用于大的記錄區(qū)域。,,,,均勻徑跡長度方法：在記錄區(qū)域為多層介質(zhì)時，較解析估計方法容易實現(xiàn)。但在記錄貢獻(xiàn)

10、時仍需計算指數(shù)函數(shù)，也費時間。點通量代替方法：可以較好地解決小區(qū)域的體通量計算問題。尤其是記錄區(qū)域與粒子的輸運區(qū)域分開時，更是如此。,,,,,計算面通量的模擬方法,計算面通量的方法主要有以下幾種。,,,,解析估計方法,,,設(shè)經(jīng)過 n 次散射的粒子，由點rn出發(fā)，沿Ωn方向到達(dá)曲面域A0的距離為 s1，與曲面相交處曲面的法線方向為 n，則 n 次散射粒子對該曲面的通量貢獻(xiàn)為：如果粒子沿Ωn方向與A0有多個交點，則

11、 為每個交點處的通量貢獻(xiàn)之和。如果粒子沿Ωn方向與A0沒有交點，則 。 解析估計方法就是把面通量的貢獻(xiàn)表達(dá)式直接計算出來。粒子每發(fā)生一次碰撞（包括零次散射），都要記錄通量的貢獻(xiàn)值。,,,加權(quán)（徑跡長度）方法,,,設(shè)粒子從第 n 次散射到第 n＋1 次散射之間走過的徑跡長度為 s ，則 n 次散射的通量貢獻(xiàn)為： 加權(quán)方法只有在粒子穿過曲面A0時，才對該曲面有通

12、量貢獻(xiàn)。,,,點通量代替方法,,,設(shè) 為在A0上定義的任一概率密度函數(shù)，則面通量可表示為：面通量的估計為：其中，r*為從 中抽取的一個樣本值。,,,體通量代替方法,,,沿曲面A0的法線方向均勻地增加一個厚度Δs，由此構(gòu)成的體積為 。 的體通量為： A0的面通量為：因此，如取得足夠小，有如下近似：,,,計算點通量的模擬方法,與體通量、面通量的

13、計算相比，點通量的計算最困難。這是因為，在大量的模擬粒子中，只能有很少的粒子穿過該點所包含的一個小區(qū)域，因此無法使用通常的通量計算方法。,,,,指向概率方法,,,設(shè) n 次散射后粒子的狀態(tài)為 ，進(jìn)入 n 次碰撞的粒子的狀態(tài)為 ， 表示粒子的碰撞核，其定義為：,,,一個粒子在點 r 發(fā)生碰撞后，能量由E

14、9;變?yōu)镋的dE內(nèi)，方向由Ω'變?yōu)棣傅膁Ω內(nèi)的粒子平均數(shù)。,,則 n 次散射的粒子對點 r* 的通量貢獻(xiàn)為：其中當(dāng) n＝0時，用源分布密度函數(shù) 代替碰撞核 。,,,,,,,,光子問題的指向概率方法光子問題的碰撞核為：其中光子能量E以電子靜止能量mec2≈0.5

15、11 MeV為單位；K(E'→E/r) 為Klein－Nishina公式，由下式確定N(r) 表示在 r 處單位立方體內(nèi)的原子數(shù)，z (r) 表示在 r 處元素的原子序數(shù)，r0表示電子的經(jīng)典半徑。,,,,,其中,,,,,中子問題的指向概率方法中子問題的碰撞核為：其中下標(biāo)A和 i 分別表示不同的原子核和不同的反應(yīng)； 和 分別表示能量為E'的中子

16、與第A種原子核發(fā)生第 i 種反應(yīng)后產(chǎn)生的平均次級中子數(shù)和微觀截面；NA(r) 表示在 r 處第A種原子核的核密度； 表示能量為E'和方向為Ω'的中子與第A種原子核發(fā)生第 i 種反應(yīng)后的能量E和方向Ω的分布。,,,,,則有中子的通量貢獻(xiàn)為：,,關(guān)于估計量無界問題,,,當(dāng) r*點附近不含散射物質(zhì)時（如真空），也就是說，粒子的輸運區(qū)域與記錄點分開時，指向概率方法的估計量是有界的，因此是一種比較好的計算點通量的方

17、法。不含散射物質(zhì)的區(qū)域越大，指向概率方法的優(yōu)點越明顯。 然而，當(dāng) r*點附近含有散射物質(zhì)時，由于在指向概率方法的估計量中含有無界因子因此，指向概率方法的估計量一般來說是無界的。,,,與通量有關(guān)的物理量的計算,一些物理量可以通過通量來計算。,,,,系統(tǒng)逃脫概率,,,狀態(tài)為 的粒子的系統(tǒng)逃脫概率為：系統(tǒng)逃脫概率為：,,,各種反應(yīng)率,,,碰撞密度裂變中子密度吸收率反應(yīng)率,,,作 業(yè)