實(shí)數(shù)完備性定理相互論證及應(yīng)用【開題報(bào)告+文獻(xiàn)綜述+畢業(yè)論文】

1、畢業(yè)論文開題報(bào)告畢業(yè)論文開題報(bào)告數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)完備性定理相互論證及應(yīng)用實(shí)數(shù)完備性定理相互論證及應(yīng)用一、選題的意義對(duì)牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，但是當(dāng)時(shí)分析的基礎(chǔ)還極其不完善，這導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，直接的結(jié)果就是大量優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家投身到了研究實(shí)數(shù)基礎(chǔ)的行列中，這其中相當(dāng)重要的一部分就是實(shí)數(shù)的完備性公理，實(shí)數(shù)的完備性定理包括七條，這七條是等價(jià)的。作為分析學(xué)早期的經(jīng)典定理之一，聚點(diǎn)定理成為了分析的基礎(chǔ)，是研究實(shí)數(shù)的幾何性質(zhì)的

2、重要工具，后來，因?yàn)樗呛芏嗤負(fù)淇臻g所共有的性質(zhì)，終于使數(shù)學(xué)家修正了聚點(diǎn)的原始定義，賦予它拓?fù)浜x，進(jìn)而建立了列緊性的概念。柯西收斂準(zhǔn)則不僅在數(shù)列收斂，求極限，證明定理中有用，還貫穿數(shù)學(xué)的各個(gè)方面。有限覆蓋定理溝通了“有限”與“無限”，是一個(gè)質(zhì)的變化，對(duì)于研究本生不連續(xù)卻具有與連續(xù)函數(shù)相似的性質(zhì)的函數(shù)，有限覆蓋定理起了很大作用。除此之外，致密性定理，確界定理，單調(diào)有界定理，區(qū)間套定理在證明一些重要的定理中有廣泛應(yīng)用。深刻了解實(shí)數(shù)的完備性

3、定理以及他們之間的相互關(guān)系對(duì)數(shù)學(xué)的近一步學(xué)習(xí)有十分重要的意義。弄清了實(shí)數(shù)完備性七個(gè)定理之間的相互轉(zhuǎn)化就弄清了實(shí)數(shù)完備性。實(shí)數(shù)完備性是微積分的理論基礎(chǔ)，七個(gè)基本定理分別從不同的角度來描述與刻畫，循環(huán)論證在很多書上可以看到，相互論證卻難以找到，因此，為了對(duì)實(shí)數(shù)完備性有一個(gè)深層次的認(rèn)識(shí)，我將對(duì)實(shí)數(shù)完備性七個(gè)定理之間的相互論證進(jìn)行探究。二、研究的主要內(nèi)容，擬解決的主要問題（闡述的主要觀點(diǎn)）研究的主要內(nèi)容：研究的主要內(nèi)容：確界存在定理（非空有上界

4、數(shù)集必有上確界，非空有下界數(shù)集必有下確界）.單調(diào)有界定理:（單調(diào)有界數(shù)列必收斂）區(qū)間套定理:（設(shè)是一閉區(qū)間套.則存在唯一的點(diǎn)使對(duì)有致密性定理（任一有界數(shù)列必有收斂子列）.聚點(diǎn)定理.（每一個(gè)有界無窮點(diǎn)集必有聚點(diǎn)）.有限復(fù)蓋定理:（閉區(qū)間的任一開復(fù)蓋必有有限子復(fù)蓋）.Cauchy收斂準(zhǔn)則:（數(shù)列收斂是Cauchy列）七個(gè)定理之間的相互論證，創(chuàng)新證明的方畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)完備性定理相互論證及應(yīng)用實(shí)

5、數(shù)完備性定理相互論證及應(yīng)用牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，但是當(dāng)時(shí)分析的基礎(chǔ)還極其不完善，這導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，直接的結(jié)果就是大量優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家投身到了研究實(shí)數(shù)基礎(chǔ)的行列中，這其中相當(dāng)重要的一部分就是實(shí)數(shù)的完備性公理。一、國內(nèi)外研究的歷史發(fā)展自從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在公元前5世紀(jì)發(fā)現(xiàn)無理數(shù)以來，人們對(duì)無理數(shù)的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了難以想象的歷史長河，直到19世紀(jì)中葉，人類的全部智慧僅停留在有理數(shù)與個(gè)別無理數(shù)的認(rèn)識(shí)階段.19世紀(jì)后半葉，柯西與魏爾斯特拉斯建立極

6、限理論為微積分奠定了基礎(chǔ)，而極限理論卻又是建立在實(shí)數(shù)連續(xù)性的假設(shè)之上的.為使微積分的基礎(chǔ)更牢固，建立系統(tǒng)的實(shí)數(shù)理論成為數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵.建立實(shí)數(shù)理論的難點(diǎn)是給無理數(shù)下定義.歷史有時(shí)真巧合，實(shí)數(shù)的三大派理論：戴德金的“分割”、康托爾的“基本序列”、魏爾斯特拉斯的“單調(diào)有界序列”是同一年（1872年）在德國出現(xiàn)的.以下分別給予簡(jiǎn)單的介紹.戴德金借助幾何直觀，通過以他名字命名的分割技術(shù)對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分割，巧妙而又嚴(yán)密的給出無理數(shù)的定義.大意如

7、下：把有理數(shù)集Q分成與兩個(gè)子集，使其滿足下列三個(gè)條件：（1）；（2）中的任何一數(shù)小于中的任一數(shù)；（3）中無最大數(shù).稱上述分解為有理數(shù)的一個(gè)戴德金分割，并記做.凡是中有最小數(shù)的分割稱為第一類分割，這類分割的界數(shù)（即從有理數(shù)范圍內(nèi)來考慮，與之間所缺乏的數(shù)）稱為無理數(shù)；有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).戴德金同時(shí)證明對(duì)實(shí)數(shù)作同樣的分割不產(chǎn)生新的數(shù).這就是實(shí)數(shù)的完備性或連續(xù)性（可用利刀切灑上金粉的細(xì)線來解釋有理數(shù)的非完備性及實(shí)數(shù)的完備性）.現(xiàn)在人們把實(shí)