r平方上的完備性定理的證明及應(yīng)用【文獻(xiàn)綜述】

1、1畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)上的完備性定理的證明及應(yīng)用上的完備性定理的證明及應(yīng)用2R數(shù)學(xué)分析課程是高等學(xué)校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的主要基礎(chǔ)課程之一更是高等師范學(xué)校數(shù)學(xué)教育專(zhuān)業(yè)最主要的基礎(chǔ)課程.在數(shù)學(xué)分析教材中實(shí)數(shù)集的確界定理、數(shù)列的單調(diào)有界定理、區(qū)間套定理、柯西收斂準(zhǔn)則、聚點(diǎn)定理和有限覆蓋定理通稱(chēng)為實(shí)數(shù)的完備性定理它們各自從不同角度反映了實(shí)數(shù)的完備性或稱(chēng)為實(shí)數(shù)的連續(xù)性成為極限理論乃至數(shù)學(xué)分析的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).這6個(gè)基本定理

2、是相互等價(jià)的也就是說(shuō)可以相互循環(huán)論證.但一般是以其中某一個(gè)定理做為公理然后推證其余5個(gè)定理的正確性.上的完備性定理相比較實(shí)數(shù)上的完備性定理因?yàn)榇_界存在定理和單調(diào)有界定理是以實(shí)數(shù)2R集是有序域?yàn)榛A(chǔ)的而平面上的點(diǎn)不能比較大小所以在上的完備性定理只有閉區(qū)域套定理2R有限覆蓋定理聚點(diǎn)定理致密性定理及Cauthy準(zhǔn)則。在《數(shù)學(xué)分析下冊(cè)》（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編）中在第16章平面點(diǎn)集和多元函數(shù)中的第一節(jié)中提及了上的完備性定理，因?yàn)樯系耐陚湫远ɡ硎嵌?/p>

3、元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ)。為此，在本書(shū)中2R2R飯先給出平面點(diǎn)列的收斂性概念。定義1設(shè)為平面點(diǎn)列，為一固定點(diǎn)，若，2nPR?20PR?0???0N??使當(dāng)有則稱(chēng)點(diǎn)列收斂于記作nN?0()nPUP??nP0P或0limnnPP???0.nPPn???然后再給出上的完備性定理：2R定理16.1（柯西準(zhǔn)則）平面點(diǎn)列收斂的充要條件是：任給正數(shù)，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)nP?時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)，都有nN?p()nnpPP????定理16.2（閉域套定理）設(shè)

4、是中的閉域列，它滿(mǎn)足：nD2R（i）1123...nnDDn???（ii）()lim0nnnddD????則存在唯一的點(diǎn)012...nPDn??定理16.3（聚點(diǎn)定理）設(shè)為有界無(wú)限點(diǎn)2ER?集，則在中至少有一個(gè)聚點(diǎn)。E2R3N，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)，都有nN?p()nnpPP????接下來(lái)在本文中證明了上的四個(gè)完備性定理是等價(jià)的，他所給定的證明順序是：定理1→定理2R2→定理3→定理4→定理1。通過(guò)這樣的循環(huán)證明達(dá)到驗(yàn)證等價(jià)的目的而在

5、李博、梅瑞、利用完全覆蓋定理證明二維空間的幾個(gè)完備性定理，河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)；中則是將完全覆蓋的概念和完全覆蓋定理從一維空間推廣到二維空間利用完全覆蓋定理證明二維空間的幾個(gè)完備性定理.在二維空間采用四等分矩形區(qū)域的方法構(gòu)造閉區(qū)域列再根據(jù)閉區(qū)域套定理給出二維空間完全覆蓋定理的嚴(yán)格證明.則推廣到二維空間的完全覆蓋定理從另一個(gè)側(cè)面刻劃二維空間的完備性豐富了證明二維空間連續(xù)性的方法和手段為把完全覆蓋定理推廣到n維空間作出必要的準(zhǔn)備和鋪墊.因?yàn)橥耆?/p>

6、覆蓋定理在二維空間有廣泛的應(yīng)用對(duì)二維空間整體性的描述具有重要的意義可以利用完全覆蓋定理證明二維空間的聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理和柯西收斂準(zhǔn)則.在本文中作者應(yīng)用完備性四個(gè)定理中的一個(gè)區(qū)證明另外三個(gè)定理，從另一個(gè)角度去證明上完備性2R的等價(jià)性。而在金玉徐永春：二維空間完備性基本定理的相互證明：河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)。中他的完備性定理相對(duì)于其他的多了一個(gè)致密性定理（致密性定理）：有界數(shù)列必有收斂子列.所以在本文中的完備性定理是有五個(gè)：定理

7、1：閉區(qū)間套定理，定理2：有限覆蓋定理，定理3：聚點(diǎn)定理，定理4：致密性定理，定理5：平面點(diǎn)列收斂的柯西準(zhǔn)則。在本文的證明中，作者分別以定理1，定理2，定理3為公理去推導(dǎo)出另外的定理。以此證明上的完備性定理之間的等價(jià)性。2R通過(guò)對(duì)以上幾篇文章的研究可知對(duì)于當(dāng)前完備性定理的證明主要是證明幾個(gè)定理之間的等價(jià)性，但這4個(gè)定理各有特點(diǎn)但都從不同的側(cè)面刻劃了上的完備性。而目前證明其等價(jià)性的手段是循2R環(huán)論證或則以其某一個(gè)定理為公理去證明另外幾個(gè)定

8、理。我們知道這幾個(gè)定理是實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)也可以說(shuō)是數(shù)學(xué)分析的理論基礎(chǔ)以后微分學(xué)與積分理論的建立都是以實(shí)數(shù)理論為基礎(chǔ)的。因此深入了解這4個(gè)定理所反映的實(shí)數(shù)系的完備性的不同特點(diǎn)對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)分析這門(mén)課程有著非常重要的作用。通過(guò)對(duì)上四個(gè)完備性定理之間的詳細(xì)循2R環(huán)證明更加充分的體現(xiàn)了相互之間的等價(jià)性使其等價(jià)性的依據(jù)更加充分參考文獻(xiàn)[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社2001.[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(